教學能力大賽背景下的函數單調性的教學模式新探究

鄧學明

一、教學能力大賽背景

隨著信息化的發展，教學能力大賽對于中高職院校的教師提出了許多新要求，如何突破傳統教學的束縛，結合新時期的教學手段和平臺，特別是疫情之后的線上教育的發展，讓職業教育教學達到新的高度是教學能力大賽的一大目標。

筆者作為負責人組建了四人教學團隊，根據團隊成員特點，按照教學能力比賽的要求，從東莞市的2020年市賽到廣東省省賽，再到廣東省的國賽遴選賽，一步一步進行教學設計調整，最終取得了東莞市的市賽二等獎、廣東省省賽一等獎并以數學類的第一名進入遴選賽。在此基礎上，筆者對參賽作品中的函數單調性進行教學探究，探討中職數學教學改革的一個可借鑒思路。

二、中職數學的教學改革背景

結合國家對于職業教育的發展規劃，順應時代信息化、智能化的發展，中職數學的教改已進入了比較活躍的狀態，大批教師開始采用新的手段、新的模式進行教學探索。筆者作為其中的一員，以2020年教學能力大賽為契機，結合函數單調性的教學進行實踐探究。

三、函數單調性的教學

（一）課時1課前

教師制定了認識曲線在生活中的應用這一知識目標。為達成這一目標，教師通過布置網上搜集曲線在生活中的應用實例，并將搜集到的曲線上傳到雨課堂平臺，要求學生對于所搜集曲線的含義進行闡述這一課前任務。同時，教師在希沃白板中上傳自制的曲線應用的微課，要求學生觀看學習并發表學習感想。

為了引入新知，教師通過設置兩個導學任務，讓學生在導學稿上完成如下練習——練習1：某公司采購一批原材料，固定成本為1千元，該材料每噸2千元，那么購買x噸所需的費用y與x之間的關系式是什么？練習2：某公司有一批資產，初始價值為12萬元，每年折舊貶值1萬元，那么x（不超過12）年后該資產的價值y與x的關系式如何？

課前微課實現抽象知識生活化、具體化，激發學生學習興趣。導學稿能夠讓學生對于函數的表示法進行復習，同時引出新知識。整個課前任務既能培養學生自主學習的能力，又能培養學生搜集素材的能力。教師利用智能平臺掌握學生的課前學習情況以及任務完成度，從而有針對性地調整課中教學。

（二）課時1課中

為實現函數單調性概念和性質的教學，達到90%的學生掌握什么是單調性、如何根據圖象觀察單調性并正確地指出單調區間，教師在教學過程中實施以下五個步驟的教學。

1.感悟分享，新知引入

教師通過平臺反饋學生搜集的曲線，并抽號邀請學生分享自己搜集的曲線案例。緊接著，教師重新播放曲線在生活中的應用微課并要求學生談談觀看感悟。這一環節，通過分享學生自身搜集的曲線案例，提升其語言表達能力以及職業素養。微課重溫以及感悟分享，讓學生加深對曲線的起伏變化意義的理解。

2.實例探究，初感新知

教師要求學生互評前置練習中大家完成的兩個函數關系式——y=2x+1（x>0）和y=12-x（0≤x≤12）;發現多數學生容易忽略自變量x的取值范圍，針對這一問題，教師邀請掌握較好的學生進行解釋以糾正學生容易忽略的知識點。進一步，教師要求學生小組合作，利用列表法在導學稿上繪制上述兩個函數的圖象，并拍照上傳至易課堂平臺。然后提問：觀察兩個函數圖象，最大的差別是什么？多數學生容易發現，這兩個函數的函數圖象一個是上升，一個是下降。在此基礎上，教師引出新知：本節課要學習的就是圖象具有類似這樣的上升或者下降趨勢的函數性質——單調性。函數圖象從左至右呈上升趨勢的函數叫做單調遞增函數;函數圖象從左至右呈下降趨勢的函數叫做單調遞減函數。

這一環節發揮了線下課堂的優勢，讓學生動手繪制函數圖象，從而更直觀感受圖象的差別。也利用了線上優勢，將所繪制的圖象上傳至易課堂平臺，方便教師掌握學生的學習情況。通過具體實例引出新知，讓學生對所學知識有初步感知。

3.深度挖掘，歸納定義

教師引導學生分別觀察課前練習1和2中的表格數據，找出其自變量的變化趨勢以及對應的函數值的變化趨勢。通過探究表格中數據的變化，得出增減函數中自變量與函數值的變化規律。

在教師引導下，學生嘗試用數學語言來描述所找到的變化規律，得出單調性的本質。然后將變化規律轉化為數學符號，引出增函數（增區間）的數學定義，同時類比得到減函數（減區間）的數學定義。這一探究活動的設置，讓學生逐步提升數學歸納和數學抽象的能力。

4.例題探究，層層推進

在得出單調性圖象性質、數學定義以及本質規律后，教師及時設置如下例題，幫助學生內化所學知識。

例題1：根據圖象找出函數的單調區間。

例題1的設置培養學生的直觀想象，并借此分析出端點不影響單調性，學生掌握并理解有限區間上定義的函數如何描述其單調性。

例題2：利用繪圖軟件繪制函數y=-2/x的圖象，并判斷其單調性、指出單調區間。這道題設置從兩個方面培養學生：一方面，超級計算器的使用讓學生體會利用信息技術平臺解決數學問題，培養其職業素養;另一方面，體會無限區間上的函數描述其單調性時需要注意的不同點。

例題3：觀看抗疫時間線視頻。通過觀看抗疫戰線的視頻，有助于學生理解生活中曲線單調性的真實含義，也無形中再次向學生展示祖國抗疫的歷程，增強愛國教育，體現思政進課堂的思政要求。而課程融入思政正是職業教育課改需要走的一個方向，這也是本節課的一個亮點特色。

（三）課時2課中

在課時1的基礎上，為了實現90%以上的學生能夠深度理解函數單調性的定義，并能夠利用定義判定單調性這一教學目標，教師實施以下五個步驟的教學。

1.微課復習，創設情境

回顧函數單調性的性質及其定義，微課重溫分享單調性概念，為單調性的進一步應用做好鋪墊。在此基礎上創設矛盾：沒有圖象的情況下如何判斷單調性？以此激發學生探究欲望，調動學生參與學習，從而引入新課。

2.概念剖析，按部就班

活動一：剖析自變量。

小組合作討論，判斷函數y=x²-x的單調性的如下方法是否正確：

∵y=x²=x²-x的定義域為R，并且-1，3∈R，又因為-1<3，且.f（-1）=（-1）²-（-1）=2，f（3）=3²-3=6，∴f（-1）

在這個活動中，學生很容易分析得出，該函數圖象是開口向上的一條拋物線，那么它不可能一直都是上升的圖象，故而說它是R上的增函數這一結論是錯的。在此基礎上，教師提問錯在什么地方，提示學生用單調性的定義去套，那么學生不難得出我們需要的自變量是任意取的兩個自變量x₁和x₂，而非兩個具體的自變量-1和3，進而總結出定義中的“任取兩個自變量”的重要性和必要性。

活動二：剖析函數值。

部分學生在計算自變量為具體實數時能夠準確算出對應的函數值，當自變量為其他抽象的符號如x₁和x₂時，計算對應的函數值存在困難。為此教師設置活動：

已知函數f（x）=x²+2x，計算函數值f（1），f（-1），f（a），f（x₁）f（x₂）。

為了檢測學生的掌握情況，教師通過易課堂平臺發布練習，學生通過計算得到相應的結果后，利用智能平臺作答。

本活動中的函數值的計算算式中，自變量從易到難，從具體到抽象，讓學生在完成的過程中能夠逐步尋覓到規律進而掌握相應的計算方法，從平臺反饋數據來看，90%以上的學生能夠全部正確。只有少數學生存在錯誤。

活動三：剖析比較大小。

在函數單調性定義中，最為困難的一步是如何比較f（x₁）和f（x₂）的大小。為此教師設置本活動：當a>b>0時，比較a²b和ab²的大小。

這一活動難度較大，為此教師發揮小組合作討論的優勢，讓學生互助，從作差、變形、分解，利用已知條件判斷符號進而得出大小。完成之后學生利用平板作答器拍照上傳到易課堂平臺。最后，教師隨機抽取一位學生的答案進行點評，并板書整個解答過程。

這一活動充分發揮線上和線下的優勢，線上調動學生積極性和主動性，線下充分克服學生理解時存在的數學抽象困難以及解題規范性缺乏的弱點，從而做到讓學生真正掌握作差法比較大小，為后續單調性定義的應用做好鋪墊。

3.實例展示，規范格式

教師展示例題：利用函數單調性的定義判斷下列函數的單調性。

（1）y=3_x-1;（2）y=-x²+2（x>0）。

本模塊為本節課的教學重點，教師在黑板上板書第1小題，根據定義法如何規范地完成整個判斷過程，在完成的過程中及時提問，讓學生參與思考，從而實現知識的內化。在學生對于第1小題有了較為深刻的認識后，接下來利用線上優勢，教師通過微課視頻展示第2小題，從而提升整個課堂效率。

本環節目的主要是讓學生體會在具體實例中，如何應用所學的知識進行單調性的判定，并且形成規范化的解題步驟。在這一過程中，對于學生形成嚴謹的數學思維具有重大幫助，學生的數值計算、類比歸納和邏輯分析的學科核心素養也得到提升，實現了教學重點。

4.分組訓練，分組點評

這一模塊是檢驗學生的學習成果，為此，教師發布兩個課堂練習：利用定義法判斷下列兩個函數的單調性。

（1）y=-2x+1;

（2）y=x²+3（x>0）。

這兩個練習與例題的類型相同，只需要學生做簡單的知識遷移即可完成。為此教師分組前面兩組完成小題（1），后面兩組完成小題（2），完成后，所有學生將答案上傳至易課堂平臺，然后分別抽取一組派一位同學上臺展示過程，另外一組派代表進行點評分析。

在這樣的設置環節下，學生的積極性得到調動，同時學生在這樣的學習氛圍中更容易集中思考，良好地應用所學知識，模仿例題完成練習，達到真正掌握本節課的教學重點這一目的。在這一過程中，學生在團隊合作、自我展示、言語表達等職業素養方面得到進步。

5.課堂總結，知識回顧

在課堂的最后，教師利用思維導圖理順單調性的知識結構，升華所學知識。

（四）課時2課后

課堂結束后，教師布置如下活動：離開教室之前，打掃好自己課桌椅周圍的衛生，將平板電腦按照號碼歸位并充電;錄制復習微課推送至平臺;布置線上作業;發布調查問卷，進行教學調查;匯總學習數據，進行教學評價。

四、學習效果與總結

（一）學習效果

通過數據分析，得出結論：85%的學生理解函數單調性的本質規律和數學概念;90%的學生理解了函數單調性的圖象幾何性質;90%的學生會利用圖象判斷單調性并識別單調區間。100%的學生會利用工具繪制函數圖象;90%的學生在數學核心素養方面得到進步和提升;85%的學生在團隊合作、愛國教育方面得到進步。

（二）總結

為了實現函數單調性的教學，教師以符合教學規律，重視學生探究的理念進行教學設計、實施教學。課前：充分利用雨課堂、希沃白板等教學平臺實現微課和課前練習以及任務的推送。課中，以和會計專業結合的材料成本和資產折舊的實例促使學生自主探究，引導學生團隊合作，逐步實現單調性的圖象性質、本質規律以及數學概念的教學，實現教學重點;先剖析定義再總結步驟，將抽象的難點逐步分解容易掌握的小點，實現利用定義法判定單調性，突破教學難點。為了實現教學效果的優化，教師采用多手段，包括導學稿、數學工具、信息化平臺以及教學調查問卷進行混合式教學。