基于物料運動特性和破碎機理的旋回破碎機生產率分析

王林偉，高 勇，宋偉剛，劉 宇

1東北大學機械工程與自動化學院 遼寧沈陽 110819

2北方重工集團有限公司 遼寧沈陽 110000

旋 回破碎機應用于煤礦、冶金建材等行業的初級破碎階段，是中粗碎礦石的典型機械設備。為預測旋回破碎機的性能、優化腔型以及為研制新型旋回破碎機提供理論根據，對旋回破碎機生產率計算方法的研究具有重要意義。國內外學者已對破碎機生產率的計算進行了深入研究：Briggs 分析了散體物料在動錐上的受力及運動特性，推導了圓錐破碎機的生產率計算模型[1]；Evertsson 基于散體物料和動錐運動學和動力學特性，建立了圓錐破碎機的生產率計算模型[2-5]；郎寶賢等人[6]根據動錐每轉一周排出的一個環形體積的物料，結合物料物理參數計算旋回破碎機的生產率；黃冬明[7]結合 Evertsson 的研究成果，提出了動錐在高轉速下物料以自由落體方式通過破碎腔的圓錐破碎機生產率計算新方法；李強等人[8]基于物料運動特性建立動錐在低轉速下物料滑動模型，提出了旋回破碎機生產率計算的新方法。

目前對旋回破碎機生產率的研究大多基于物料以自由落體的方式通過破碎腔，未考慮物料以滑動方式通過破碎腔。而在實際生產中動錐轉速不同，物料通過破碎腔的運動方式亦不同，直接影響破碎機生產率。相對于細碎圓錐破碎機，中粗碎旋回破碎機的破碎比較大，擠壓破碎力大，若采用高轉速，襯板磨損速度加快，破碎機壽命降低，因此物料在旋回破碎機中多以滑動運動方式為主。

筆者對物料在擠壓和排料半周期的運動特性進行研究，推導物料的運動方程，并采用數值計算方法求解。依據物料運動特性和層壓破碎機理，建立動錐在低轉速下物料以滑動方式通過破碎腔的旋回破碎機生產率計算模型。最后以 PXF6089 旋回破碎機為例，通過離散元法仿真和現場測量試驗，驗證該旋回破碎機理論生產率計算模型的可行性。

1 散體物料通過破碎腔的運動方式

1.1 旋回破碎機腔型結構分析

如圖 1 所示，PXF6089 旋回破碎機的動錐襯板由直線段和曲線段組成，曲線段又由 18 段直線段相連而成。為便于研究，建立以懸掛點為原點O，豎直方向為Y軸的全局坐標系。當動錐對稱中心線和Y軸重合時，取曲線段上各直線段端點作為擬合點，采用最小二乘法構造正則方程組，運用 Gauss 消去法求解得到二次擬合函數各項系數。動錐擬合曲線如圖 2 所示，在全局坐標系下動錐母線函數式為

圖1 PXF6089 旋回破碎機三維圖Fig.1 3D diagram of PXF6089 gyratory crusher

圖2 動錐擬合曲線Fig.2 Fitting curve of moving cone

式中：am、bm分別為動錐直線段斜率和截距，m；cm、dm、em分別為動錐曲線段擬合二次項系數、一次項系數和常數項，m。

1.2 散體物料的運動方式分析

物料通過破碎腔的運動方式主要取決于動錐轉速及動錐在擠壓和排料極限同一位置的高度差。其運動方式分為自由落體、滑動運動以及 2 種運動方式并存3 種。

如圖 3 所示，在給料口，物料在A點與動錐襯板接觸，假設物料發生自由落體運動，將在B點與動錐再次接觸，則物料自由下落距離為hmin；同理，在排料口處，物料自由下落距離為hmax，其中hmax>hmin。若物料在破碎腔內每個旋回周期都發生自由落體運動，則物料在重力作用下的位移應小于hmin，即動錐轉速應大于物料發生自由落體運動的臨界速度nc2；若每個周期內物料都發生滑動運動，則物料的位移應大于hmax，即動錐轉速應小于物料發生滑動運動的臨界速度nc1。因此旋回破碎機動錐的臨界轉速模型為

圖3 動錐的臨界轉速模型Fig.3 Critical speed model of moving cone

式中：hmax、hmin分別為動錐在擠壓和排料極限同一位置高度差的最大和最小值，m。

根據動錐擠壓和排料極限位置方程求得hmax=0.178 m，代入式 (2) 得出 PXF6089 旋回破碎機物料發生滑動運動的臨界速度nc1=157.5 r/min。該破碎機推薦的動錐轉速n=120 r/min，因此，物料通過破碎腔的運動方式為滑動運動。

2 旋回破碎機生產率計算

2.1 生產率建模

為了預測 PXF6089 旋回破碎機的生產性能和進行腔型優化，需要基于物料運動特性和層壓破碎理論，建立動錐在低轉速下物料以滑動方式通過破碎腔的旋回破碎機生產率計算模型。

如圖 4 所示，根據物料滑動和隨動錐襯板旋擺上拱的運動特性，將堵塞層截面分為排料和擠壓半周期，在動錐轉角α處任取微元進行二重積分，可分別計算出排料和擠壓半周期的排料量Qdown及上拱量Qup，兩者之差即為旋回破碎機的生產率，如式 (3)～(5) 所示。

圖4 堵塞層截面物料的運動分布Fig.4 Motion distribution of material on cross section of clogged layer

式中：R0為定錐半徑，m；R(α) 為動錐橢圓上的點到定錐中心距離，m；ρ(α) 為堵塞層物料堆積密度，t/m3；vdown(α) 為堵塞層截面排料半周期的下落速度，m/s；vup(α) 為堵塞層截面擠壓半周期上拱速度，m/s；η為單位時間，h。

由生產率計算模型可知，一旦知道堵塞層截面排料和擠壓半周期的下落速度和上拱速度的表達式，便可通過積分求出旋回破碎機的生產率，因此需對排料和擠壓半周期的物料運動特性進行分析。

2.2 排料半周期物料運動特性分析

雖然動錐在空間上做旋回運動，但從縱截面上看，動錐上的各點都是以懸掛點為圓心、以到懸掛點的距離為半徑的單擺運動，最大擺角為進動角的 2倍。因此，排料半周期內物料沿動錐襯板滑動下落的同時，隨著動錐繞懸掛點擺動。

2.2.1 相對坐標系的建立

為研究排料半周期的物料和破碎機的運動特性，以懸掛點為原點，以動錐對稱中心線為y軸，建立如圖 5 所示相對坐標系Oxy。相對坐標系與全局坐標系的夾角為θt(以順時針方向旋轉為正)，相對坐標系的擺動角速度、角加速度分別為ω、˙ω，擠壓極限處對應的時間t=0。

式中：θm為最大擺角，rad；ωn為動錐角速度，rad/s。

2.2.2 受力分析

如圖 5 所示，任取第i破碎層中靠近動錐襯板的單顆粒物料為研究對象，物料沿動錐襯板表面滑動下落時受到自身重力G、摩擦力Ff和動錐襯板對它的支持力N的作用。支持力N與摩擦力Ff的合力用Nres表示，將Nres和G在相對坐標系中進行正交分解，根據牛頓第二運動定律可得到物料的受力平衡方程為

圖5 單顆粒物料受力分析Fig.5 Force analysis on single particle

式中：γ為摩擦角，rad；ψxy為支持力N與y軸之間夾角，rad。

消去式 (9) 中Nres，可得在相對坐標系下絕對加速度ax與ay的關系為

2.2.3 加速度分析

如圖 6 所示，物料沿擺動的動錐襯板滑動下落時，將產生相對速度vr和相對加速度ar；物料與動錐襯板重合的A點繞懸掛點擺動時將產生牽連加速度ae，切向與法向分量分別為和ω×(ω×r)，大小為r˙ω和rω2；當牽連運動是轉動形式時會產生科氏加速度ac，矢積為 2ω×vr，方向采用右手定則確定。根據加速度合成定理可得物料在相對坐標系下的絕對加速度為

圖6 物料加速度分析Fig.6 Analysis on material acceleration

對式 (11) 進行矢量積計算后，可得相對坐標系下的絕對加速度aa的表達式如式 (12)、(13) 所示。

2.2.4 運動方程的推導

只要物料與動錐襯板接觸，ry就完全由rx和動錐襯板母線函數fgeo決定。因此，式 (13) 中ry、和rx之間具有以下關系：

將式 (13)～ (16) 代入式 (10)，可推導出物料滑動運動方程為

令q=tan (ψxy-γ)，則式 (17) 可以化簡為

由式 (18) 可知，該運動方程是關于rx為自變量的二階非線性微分方程。為求解該方程，對于每個位置的rx，fgeo、tanψxy、的值必須為已知，而這些值是由動錐襯板母線函數提供的。

2.2.5 運動方程的求解

當相對坐標系和全局坐標系重合時，將式 (1) 中的X、Y替換成rx、ry，可得此刻的動錐母線在相對坐標系下的函數。盡管動錐母線在全局坐標系下作旋擺運動，但在相對坐標系下卻保持相對靜止，因此在任意時刻動錐母線在相對坐標系下的函數fgeo保持不變，如式 (19) 所示。

如圖 7 所示，ψ xy為支持力N與y軸之間的夾角，根據幾何關系，ψ xy等于動錐母線在該點的切線與x軸的夾角，即切線在相對坐標系下的傾斜角，因此ψxy的函數為

圖7 幾何關系Fig.7 Geometric relationship

令vx=，將二階非線性微分方程式 (18) 轉化為一階微分方程組，即

采用四階標準 R-K 方法對一階微分方程組求解，過程如下：

對任意給定的時間步長 Δt，經過多次迭代求出rx、和后，與之相關的ry、和可通過式 (14)～ (16) 求得。

當動錐母線上A點相對坐標 (rx，ry) 已知，通過坐標變換，可計算出A點的全局坐標。因此，在全局坐標系下可繪制物料在破碎腔中的滑動運動軌跡。

2.2.6 下落速度vdown(α) 的求解

由式 (13) 可計算出在相對坐標系下的絕對加速度ax和ay，必須將其變換到全局坐標系下，如圖 8 所示。由式 (26) 可得物料在Y軸方向的加速度aY，當時間步長 Δt特別小時，可認為物料在每個步長內的aY恒定。在整個排料半周期內，物料作變加速度的加速滑動運動，任意時刻的下落速度vY,n+1通過式 (26)、(27) 迭代計算出，再將其與動錐轉角α采用最小二乘法進行二次擬合，可得物料在任意轉角α處的下落速度vdown(α)，如式 (28) 所示。

圖8 全局坐標系下的絕對加速度Fig.8 Absolute acceleration in global coordinate system

式中：A1、B1、C1為擬合系數。

2.3 擠壓半周期物料運動特性分析

物料滑動下落后會立即隨動錐襯板旋擺上拱，破碎腔中的物料被緊密壓實，無向下運動趨勢，因此，擠壓半周期內物料只作單純的單擺運動。(XB，YB) 為單擺起點坐標，則物料單擺終點坐標 (XC，YC) 為

式中：θ為進動角，rad。

如圖 9 所示，物料上拱速度與相應位置動錐上拱速度一致，轉角α處物料的上拱速度vup(α) 沿徑向為線性分布，與定錐接觸處物料速度最小，與動錐接觸處物料速度最大，即

圖9 物料上拱速度分布Fig.9 Distribution of upwards creeping speed of material

式中：vd為擺動速度，m/s；τ為擺徑與X軸夾角，rad。

在任意半徑r處物料上拱速度

2.4 旋回破碎機理論生產率算例分析

以 PXF6089 旋回破碎機為例，對生產率進行計算。PXF6089 旋回破碎機生產率計算參數如表 1 所列。

表1 PXF6089 旋回破碎機生產率計算參數Tab.1 Parameters of calculating productivity of PXF6089 gyratory crusher

若滿足給料充分、給料粒度均勻和給料可破碎性等要求，即可確保物料在旋回破碎機破碎腔中實現層壓破碎，而不是傳統的單顆粒破碎。

旋回破碎機的破碎層可根據破碎腔中單顆粒物料的運動軌跡來劃分，這樣既考慮了旋回破碎機本身的運動特性，同時又考慮了物料在破碎腔中的運動特性。具體分層方法：根據式 (25) 和式 (29) 可繪制破碎腔中單顆粒物料的運動軌跡，如圖 10 所示。A點為單顆粒物料的初始點，B點和C點為物料隨動錐繞懸掛點的擺動軌跡BC與動錐母線的交點，過C點作擺動軌跡切線，切線與定錐母線相交于D點，則切線DC與擺動軌跡BC共同構成了當前破碎層的邊界線。散體物料在動錐直線段經過 3 次層壓破碎，在曲線段經過 4 次層壓破碎，最后一個破碎層為堵塞層。

圖10 物料運動軌跡Fig.10 Motion trajectory of material

根據式 (28)、(31) 對堵塞層物料豎直方向速度進行繪制，如圖 11 所示。在排料半周期內，物料作變加速度的加速下滑運動，下落速度vdown(α) 隨轉角α的增大而增大；在擠壓半周期內，動錐的上擺具有簡諧運動特點，上拱速度vup(α) 呈現出簡諧運動的規律。

圖11 堵塞層物料豎直方向速度Fig.11 Speed of material on clogging layer in vertical direction

將堵塞層物料的下落速度vdown(α) 和上拱速度vup(α) 代入動錐在低轉速下的生產率模型 (式 (3)～(5))，計算出理論生產率Q=4 052.992 t/h。

3 生產率離散元法仿真驗證

為確保旋回破碎機生產率計算模型的可行性，采用離散元法進行仿真驗證。

近年來，EDEM 軟件被廣泛應用于破碎領域并取得了良好效果。Potyondyd 提出了一種用粘結顆粒模型 BPM (Bonded Particle Model) 模擬礦石破碎過程的先進手段，該模型具有較好的數值計算特性[9]。Quist 和Evertsson 等人[10-13]都通過大量試驗驗證了 BPM 的準確性。使用 EDEM 軟件采用 Hertz-Mindlin 和 BPM 模型對旋回破碎機礦石破碎過程進行離散元仿真分析。

3.1 仿真模型建立

對旋回破碎機關鍵零部件進行建模，簡化與仿真無關零部件。根據某選礦企業提供的礦石給料粒度曲線，將礦石粒度離散化處理，采用均勻分布方式確定各礦石顆粒的大小和數量，采用模具擠壓法，按照礦石實際的幾何形狀形成由填充顆粒構成的礦石模型，在 EDEM 軟件后處理模塊中導出填充顆粒的位置坐標及半徑，將其寫入 API 文件中的替換顆粒坐標數據文件和顆粒替換文件，具體過程如圖 12 所示。

圖12 仿真模型建立Fig.12 Establishment of simulation model

3.2 仿真計算過程

3.2.1 參數設置

仿真破碎過程主要分為 3 個階段：顆粒替換、粘結鍵形成及粘結鍵斷裂，如圖 13 所示。為確保仿真的可靠性，需對礦石模型粘結鍵參數進行標定。Quist采用夾逼處理的方法，以礦石宏觀力學特性為目標，對細觀參數進行標定[14]。采用 EDEM 軟件模擬礦石單軸壓縮試驗的方法來標定鐵礦石模型的粘結鍵參數，如表 2 所列。材料屬性和材料間接觸屬性根據資料和文獻設定[15]，分別如表 3、4 所列。

圖13 仿真破碎過程Fig.13 Simulation of crushing process

表2 礦石力學參數Tab.2 Mechanical parameters of ore

表3 材料屬性Tab.3 Material properties

表4 材料間接觸屬性Tab.4 Contact properties of material

3.2.2 仿真過程

選取固定時間步長 (Rayleigh 步長的 5%)，文件自動保存時間間隔為 0.01 s，仿真時間為 15 s，文件大小為 10～ 30 GB。仿真過程如圖 14 所示。

圖14 仿真過程Fig.14 Simulation process

3.3 仿真結果分析

在 EDEM 軟件后處理模塊中將質量傳感器放置于集料槽處，以統計集料槽內破碎產品的質量。

由圖 15 可知，產量曲線分為 4 個階段：初始階段 (0～ 0.85 s)，包括物料生成、顆粒替換和落入破碎腔；產量不平穩階段 (0.85～ 3.13 s)，只有少許物料以單顆粒破碎形式破碎；產量平穩階段 (3.13～ 10.24 s)，物料完全進入破碎腔并以層壓破碎形式破碎，產量平穩增加；最終階段 (10.24～ 15.00 s)，破碎腔內剩余的物料以單顆粒破碎形式被逐漸破碎。取產量平穩階段作為計算對象，采用平均生產率計算公式

圖15 產量隨時間變化曲線Fig.15 Variation curve of throughput with time

式中：Q(t1)、Q(t2) 為不同時刻生產量，t。計算得出平均生產率Qa=3 715.20 t/h。

為了更好地分析旋回破碎機生產率，需對導出的產量數據進行相應后處理工作：使t2～t1趨于很小的值，按照式 (32) 計算得出的生產率為瞬時生產率。根據計算結果繪制瞬時生產率隨時間的變化曲線，如圖16 所示。

圖16 瞬時生產率隨時間變化曲線Fig.16 Variation curve of instantaneous productivity with time

由圖 16 可知，瞬時生產率曲線也分為 4 個階段：初始階段，瞬時生產率為 0；生產率上升階段，大量粒度小于破碎機排料口尺寸的物料未經破碎直接被排出，導致生產率激增；生產率波動階段，生產率在 3 700～ 4 200 t/h 之間小幅波動；生產率下降階段，破碎腔中物料逐漸減少，導致生產率逐漸降低。

4 現場測量試驗驗證

為進一步驗證該生產率模型的可行性和可靠性，對某選礦廠 PXF6089 旋回破碎機的生產率進行現場測量。如圖 17 所示，現場測量試驗包括物料卸載、破碎起始、破碎終止和產量測量。在輸送帶托輥下方安裝稱重傳感器 (皮帶秤)，用于實時測量和記錄破碎產品質量。經過近一年的記錄，實際測量的 PXF6089旋回破碎機生產率為 3 600～ 4 100 t/h。

圖17 現場測量試驗Fig.17 Field test

將 PXF6089 旋回破碎機生產率理論計算值、離散元仿真值和現場測量數據匯總，如表 5 所列。

表5 PXF6089 旋回破碎機生產率匯總Tab.5 Summarization of productivity of PXF6089 gyratory crusher t/h

由表 5 可知，PXF6089 旋回破碎機生產率理論計算值略大，這是由于生產率計算模型是基于層壓破碎理論建立的，它滿足充分給料、給料粒度均勻、給料可破碎性等基本前提和假設，是一種理想的工作狀態，該數值在仿真和現場測量的可行域中，驗證了該生產率理論計算模型的可行性。

5 結論

(1) 對物料在擠壓和排料半周期的運動特性進行研究，推導了物料的運動方程，并采用數值計算方法求解。

(2) 依據物料運動特性和層壓破碎理論，提出了根據單顆粒物料運動軌跡對旋回破碎機腔型分層劃分方法，建立了動錐在低轉速下物料以滑動方式通過破碎腔的旋回破碎機生產率計算模型。

(3) 采用 EDEM 軟件進行仿真分析和實際生產測量，驗證了低速旋回破碎機理論生產率計算模型的可行性，但該模型是基于層壓破碎理論建立的，是理想工作狀態，造成理論值偏大，可視為 PXF6089 旋回破碎機的最大生產率。