基于FWA-Logistic方法的概率積分動態參數預測

魏 鵬，江克貴

(1.山西晉城無煙煤礦業集團有限責任公司 資源環境管理局，山西 晉城 048006；2.安徽理工大學 空間信息與測繪工程學院，安徽 淮南 232001)

煤炭作為主體能源擔負著國家能源安全和經濟持續發展重任[1]。大規模、高強度的煤炭資源開發會引發一系列礦山地質災害和生態問題，如地面塌陷、山體滑坡、地面不均勻沉降、地下水疏干、破壞性礦震，已經對鐵路與公路建設、水利與電力工程設施、工業與民用建筑、生態與水文環境及人民生命財產帶來了直接危害[2，3]。為了最大限度地減少礦山開采沉陷的危害，地表移動變形預測至關重要；而在預測模型選定的情況下，地表開采沉陷預測精度主要取決于預計參數的可靠性，求取精準可靠的預計參數是開采沉陷預測重要的環節。因此，文獻[4]建立了概率積分穩健求參數學模型，結果表明構建模型可降低異常值或粗差的干擾，克服了最小二乘法擬合發散的問題；文獻[5]將三次指數平滑法應用于概率積分動態參數求取中，實驗預計結果與實測一致；文獻[6]引入Broyden算法，建立了迭代模型，通過分析算法求參的精度、計算量和收斂性，驗證了改進后算法的優越性；文獻[7]運用灰色關聯分析法找出概率積分參數的影響因素，進而利用BP神經網絡預計參數。綜上，大量學者提出形式各異的概率積分參數預測模型，參數預測精度不斷提高；其共同點是分析預計參數隨時間和空間變化的形態特征和影響因素，構建符合其變化規律的非線性預測模型，通過已知的預計參數變化量，擬合出非線性模型的模型參數，進而實現后續或其間的未知概率積分參數的預測。

在非線性模型廣泛應用于預測參數的背景下，本文引入一種Logistic模型[8-10]，研究表明，Logistic模型擬合曲線的形態特征呈S型，符合概率積分參數變化規律(尤其下沉系數q)，理論上，Logistic模型可適用于概率積分動態參數預測，但該非線性模型具有3個模型參數，常規模型參數的求解方法是非線性最小二乘法，而模型參數初值選取對非線性最小二乘法影響較大，以及非線性最小二乘法隨訓練數據的變化波動較大；因此，引入FWA算法對模型參數進行精確求取，構建了一種基于FWA-Logistic模型的概率積分動態參數預測方法。

1 FWA-Logistic方法

1.1 Logistic模型

Logistic方程由比利時數學家威赫爾斯特在1838年首次提出，其描述了生物繁殖及人口變化特征，刻畫了因變量隨時間變動的趨勢，在農業、醫學、變形預測等領域得到了廣泛應用。美國Edwin Mansfield提出的Logistic模型微分方程為：

式中，b為常數；F為t時刻概率積分參數值y(t)與其最大值m的比值，即F=y(t)/m。

利用分離變量法求解式得：

式中，a，b為常數。

Logistic模型的模型參數包括(m，a，b)，由于Logistic模型的高度非線性特征，通常的模型參數求取方法主要是非線性最小二乘法，其中NLS準則要求殘差平方和最小化，其目標函數為：

其中，Y(t)為各時期的實測參數值；y(t)為各時期的預測結果，當E(m，a，b)取最小值時，可求得模型參數最優解。

研究表明[11]，基于非線性最小二乘法，模型參數m的求解值隨數據點數的變化而波動較大(m估值的不穩定性)，進而導致預測結果與實際相差較大；另外，不合理的初值選取會導致求參結果發散。為此，本文引入一種煙花算法。

1.2 FWA原理

煙花算法是近幾年被提出的新型智能優化算法[12-15]，通過模仿煙花爆炸過程，該算法能夠高效搜索最優解，此外，算法尋優的過程中也加入隨機因素和選擇策略以形成一種并行搜索模式；如何基于實測數據得到高度非線性問題的最優解，煙花算法原理簡要介紹如下：

煙花算法主要由以下4部分組成：①爆炸算子，煙花爆炸產生爆炸火花的操作；②變異算子，煙花高斯變異產生變異火花的操作；③映射算子，將超出邊界的火花映射到可行域區間內的操作；④選擇算子，在當前種群個體中優化選擇下一代的操作。

1.2.1 爆炸算子

爆炸算子是煙花算法的核心組成部分，由爆炸火花數目、爆炸半徑和位移操作組成；以煙花xi為例，過程是，首先根據煙花xi相對于其他煙花的適應度大小，計算煙花xi的爆炸火花數目和爆炸半徑，見式(4)、式(5)；然后，為了防止適應度較好的煙花處產生過多的火花，而適應度較差的煙花處產生過少的火花，對爆炸火花數目進行限制；最后，利用位移操作可得到煙花xi爆炸產生的火花。

式中，Ti為第i個煙花的爆炸火花數目；K為常數，用來控制爆炸火花數目的大小；f(xi)是第i個煙花的適應度值；ymax=max[f(xi)](i=1，2，…，n)是當前種群的最大適應度值；ξ是機器最小量。

式中，Ai為第i個煙花的爆炸半徑；A為常數，用來控制爆炸半徑的大小；ymin=min[f(xi)](i=1，2，…，n)是當前種群的最小適應度值。

1.2.2 變異算子

為了增加種群的多樣性，煙花算法引入變異算子用于產生高斯變異火花；對于煙花xi某一維度k執行高斯變異操作為：

式中，e～N(1，1)，N(1，1)表示均值為1，方差為1的高斯分布。

1.2.3 映射算子

爆炸算子和變異算子產生的火花可能會超出可行域邊界，當火花xi的第k維超出邊界，可通過式(7)將火花映射到可行域內的新位置。

式中，xUB，k、xLB，k為解空間在維度k的上邊界和下邊界。

1.2.4 選擇算子

為了使煙花種群中優秀的信息傳遞到下一代，在煙花、爆炸火花和高斯變異火花組成的候選者集合中選擇一定數量的個體作為下一代煙花。假設當前候選者種群數目為KA，煙花迭代種群大小為N；其中，候選者中適應度最小的煙花會被確定性的選擇到下一代中，剩下的后代煙花采用輪盤賭法在候選者中進行選擇。對于候選者xi，其被選中的概率為：

式中，R(xi)為當前個體xi與其他個體的距離之和；d(xi，yi)表示任意兩個個體xi和yi之間的歐氏距離；xj∈KA是指第j個位置屬于集合KA。

1.3 方法構建

為了求取精準可靠的概率積分動態參數，綜合FWA算法原理和Logistic模型，結合概率積分參數變化規律，提出了一種融合FWA和Logistic模型的概率積分動態參數預測方法(FWA-Logistic方法)，方法構建過程如下：

1)數據準備。收集實驗礦區的前期概率積分參數實測數據(實驗樣本)，選定合適的FWA參數，確保實驗過程的高效性和結果的可靠性。利用FWA參數生成初始狀態下的煙花種群。

2)適應度評價。設煙花種群大小為N，實測有M個時段的概率積分動態參數樣本數據，假設實測第t個時段的參數為Pat；而利用Logistic模型求取的第i個煙花、第t個時段的樣本預測值假設為Pt，以此構建的適應度函數見式(10)，進而對種群中全部個體的適應度進行評價。

(i=1，2，…，N；t=1，2，…M)

(10)

3)迭代求參。根據煙花適應度計算煙花的爆炸火花數目和爆炸半徑，生成爆炸火花；然后，在煙花中選擇一定數量的煙花執行變異算子操作，以此生成高斯變異火花；接著，利用映射算子把超出邊界的火花映射到可行域邊界內；最后利用選擇算子選擇優秀候選者作為下一代煙花種群。循環執行該項操作，直到滿足迭代終止條件，輸出模型參數最優解。

4)概率積分動態參數預測。根據步驟3)求取的模型參數最優解，代入Logistic模型，然后輸入需要預測的時段，輸出概率積分動態參數預測成果，FWA-Logistic方法技術路線如圖1所示。

圖1 FWA-Logistic方法技術路線圖

2 工程實例

2.1 數據獲取

試驗礦區位于淮南顧橋煤礦14141工作面，在工作面采動期間地表移動觀測站共進行了12期有效觀測，根據變形觀測數據對概率積分動態參數進行了求取，共得到12期不等時間序列樣本數據，由于概率積分動態參數繁多，且數據處理過程一致，本文選擇參數q、tanβ、θ進行詳細闡述；基于時間序列插值方法，樣本參數q、tanβ、θ分別作插值處理，插值結果見表1(共得到16期數據)；為了充分研究構建方法在不同時段預計結果的準確性，選擇4期等間隔時段(分別為4時段、8時段、12時段、16時段)作為預測檢驗數據，其余12期的參數實測值作為起算數據。

表1 概率積分參數實測值

2.2 模型參數的求解及擬合

基于獲取的起算數據，利用FWA-Logistic方法對分別對3組Logistic模型參數進行求解，求解結果見表2，擬合樣本數據中誤差分別為0.028，0.100和0.023°；各樣本參數擬合結果分別如圖2—圖4所示。

表2 模型參數求解結果

圖2 下沉系數q樣本擬合效果

圖3 主要影響角正切tanβ樣本擬合效果

圖4 開采影響傳播角θ樣本擬合效果

2.3 參數預計及精度分析

為了驗證模型求參的準確性，對4時段、8時段、12時段、16時段的q、tanβ、θ進行預測，并將預測結果與實測值進行比較，比較結果見表3。

表3 未來值預測實驗結果

從表3中可以看出，預測的概率積分動態參數與實測結果一致，求取參數q、tanβ、θ的平均相對誤差(ARE)分別為2.87%、2.02%、0.03%；求參的最大相對誤差約為4.39%，在參數tanβ處取得；實驗結果表明，FWA-Logistic方法可以較好的應用于概率積分動態參數預測。

2.4 變形預計

為驗證預測參數的實用性，基于2.3節預測的4期的概率積分動態參數，以及已知的實際礦區工作面地質采礦條件和時間參數，代入動態概率積分模型(概率積分法模型+Knothe時間函數)對礦區地表變形進行預計，結合地表移動觀測站坐標，預計了沿走向和傾向主斷面的下沉，如圖5所示，與實測相比，預計下沉誤差在-343～208mm之間，中誤差分別為47.66mm、113.60mm、86.67mm、89.23mm。此外，以第16期為例，地表三維下沉預計結果如圖6所示。

圖5 預計和實測的走向和傾向主斷面下沉對比

圖6 第16期預計地表三維下沉

3 結 論

在非線性模型廣泛應用于預測參數的背景下，本文引入一種Logistic模型，顧及非線性最小二乘法求取Logistic模型參數的不穩定性，選取非線性求參能力較強的FWA算法。綜合FWA算法原理和Logistic模型，結合概率積分參數變化規律，提出了一種FWA-Logistic方法。試驗結果表明擬合樣本參數效果較好，預測參數精度較高，并通過試驗驗證了預測參數在礦區開采沉陷預計中的實用性。