融會數學思想貫通專業應用*——以工科專業的一堂數學課為例

朱微微，高穎

1.浙江工貿職業技術學院；2.北京市第一四二中學

2020年9月教育部等九部門印發了《職業教育提質培優行動計劃（2020—2023年）》[1]，圍繞辦好公平有質量、類型特色突出的職業教育，以提質培優、增值賦能為主線，堅持問題導向、需求導向、目標導向，著力補短板、激活力、提質量。為了滿足新時代對高職人才的需求，高職《高等數學》課程的教學需要轉變理念、探索發展，在“以應用為目的，以必需、夠用為度，以講清概念、強化應用為教學重點”[2]的基礎上，思考補短板、激活力、提質量。

回顧初心，展望未來，《高等數學》課程應立足學科，服務專業。在教學中，堅持數學思想的傳承和發展，培養學生的數學思維；注重對接學生的專業課程，培養學生將數學知識應用于解決專業問題的能力。

一、融會貫通——知識遷移理論

融會貫通一詞出自朱熹的《朱子全書》：“舉一而三反；聞一而知十；乃學者用功之深；窮理之熟；然后能融會貫通；以至于此?！盵3]其思想與知識遷移理論不謀而合。

知識遷移是指學習者把理解的知識、形成的基本技能遷移到不同的情境中去，促進新知識的學習或解決不同情境中的問題[4]。學生要養成知識遷移的素養，表現形式包括有基本的類比推理能力，能夠將知識遷移到不同情境中去，解決不同學科的情境問題等。

依據林崇德先生的觀點，知識遷移能否發生主要取決于三個要素：學習者遷移意識、認知結構特性、學習材料的相似性[5]。

根據奧蘇貝爾的有意義學習理論，認知結構是新知識學習的基礎與橋梁。原有知識的認知結構對知識遷移有重要的影響，若是清晰的、穩定的，則對知識遷移有正向的促進作用。因此為了促進高等數學知識在專業課程中的應用，首先應提高高等數學課程的教學質量，使得學生可以建立清晰、穩定的知識內容與知識結構。

學習材料之間的相似性與學習者實現知識遷移呈高度的正相關關系。結構特征相似是一種學習材料之間的相似性，它指諸如原理、關系、規則等內部本質屬性的相似。數學知識與工科知識之間存在豐富的結構特征相似，充分挖掘、利用有助于促進學生知識遷移。

二、“微分及其應用”單元教學

（一）教學內容分析與學情分析

微分是微積分的主要內容，微分的符號、概念的確立過程在微積分創立史上經歷了諸多風雨?？v觀國內外微積分、高等數學課程的主要教材，可以發現“微分”設置在“導數”之后，所占篇幅較短，且更側重計算，概念與應用部分較簡略。如此安排教學內容在數學學科上有多種原因，適合大范圍教學執行，高職院校工科專業的高等數學課程教學時，還應該結合自身特點進行教材處理。

授課對象為工科專業大一學生，生源有三校生和普高生兩種，為兼顧兩類學生，課堂中需要設置一部分內容進行分層教學，課后作業設置基礎組和提高組的分層作業。本節課兼具概念、計算、應用三大部分，基于學生抽象思維能力較弱，遇到概念教學容易感覺枯燥難懂；基于學生的計算能力，以及上一節導數的訓練，學生在計算部分會提高興趣且容易快速掌握；學生在應用部分會感覺新奇，常可以初步掌握，也有待進一步提高。

（二）教學目標與教學重難點

知識目標：理解微分概念；掌握微分運算法則與一階微分形式不變性；理解可微與可導的關系。

能力目標：會計算微分；會利用微分做近似計算、解決實際問題；理解微分的幾何意義。

素質目標：培養抽象思維、發散思維、知識遷移能力；培養利用數學知識分析、解決本專業問題的意識和能力；培養觀察生活、發現問題的意識。

教學重點：（1）理解微分概念；（2）熟練微分的計算；（3）利用微分做近似計算、解決本專業問題。

教學難點：（1）概念及幾何意義的理解；（2）利用微分解決本專業問題。

（三）教學過程及教學方法

通過各個教學環節的開展逐步落實本節課目標，利用多種教學方法組合攻破教學重難點（如圖1）。

圖1 知識遷移路徑

1.預設伏筆——學習者遷移意識

課前教師在學習平臺發布“頭腦風暴式”討論“改變量之間的較量”，案例來自生活中的腦筋急轉彎，實際結果與大部分人的直覺不一致，可以增強學生的好奇心。

課上首先展示并點評同學們參與課前討論的情況，然后請同學們帶著這個問題學習本節課。以此設下伏筆，并引出主題。工科專業的學生根據培養方案要參加一周的鉗工實習，以該實訓為背景提出數學問題：“某同學實訓時，將一塊正方形薄鐵片加熱，鐵片的邊長略微增大了一些，面積也發生相應的改變，它們分別改變了多少呢？”這個例子，向同學們展示了專業學習與數學之間隨處有聯系，只要有熱愛探索的眼光，總能架起連接知識的橋梁，繼而引導學生思考，對于實際問題，應該如何逐步解決。通過引導學生利用兩種方案解決該問題，啟發學生解決問題時應該打開思路，考慮需要達到何種解決效果，并思考有哪些不同的方式。

2.融會數學思想——認知結構特征

通過實訓問題作為引例，觀察一般性結果Δy=2Δx+(Δx)2,發現當Δx→0時，(Δ x)2是關于Δx的高階無窮小，（Δ x)2在實際問題中可以忽略不計，2xΔx對Δ y起主要影響，也將它稱作函數y=x2的微分。為了幫助學生感受（Δx)2可以忽略不計，還可以借助圖像進行分析，如圖2。

圖2 （Δx)2可以忽略不計

進一步，引導學生尋找2x與函數y=x2之間的其他關系，學生即刻聯想到導數公式。至此，結合具體例子給出微分的定義，這一方式適合基礎層次的學生理解記憶概念。對于提高層次的學生，嘗試對一般函數y=f(x)進行分析，從導數定義出發，探究微分的定義。在此基礎上仍學有余力的學生，鼓勵再次學習書本上的定義方式。

數學之美與微分符號的力量，被一階微分形式不變性展示得更透徹，讓人不得不感嘆數學中的巧奪天工之妙！函數y=f(u)與u=φ（x）復合得y=f(φ(x))，其微分。它告訴我們，不管u是自變量還是中間變量，一階微分的形式都相同，高階微分便不具備這個性質。

學習微分的幾何意義，與前面學習的導數的幾何意義相結合，再次建立兩個概念之間的聯系。根據導數的幾何意義，作點M(x0,f(x0))處的切線MT，記切線的傾斜角為α，則其斜率為。用萊布尼茲的方法作微分三角形（也稱“特征三角形”）Δ MQP，在 RtΔMQP中，因此直角邊，即為函數在點x0處相應于增量Δ x的微分[6]。曲邊Δ MQN的直角邊NQ=Δy，我們正是用PQ的長度近似計算NQ的長度。此時用微分dy對因變量改變量Δ y做近似計算的優點也更直觀：（1）有足夠好的精確度，（2）更容易計算。微分的定義和幾何意義讓我們兩次重新認識導數，如圖3、圖4。

圖3 微分的幾何意義

圖4 多角度看“導數”

3.貫通專業應用——學習者遷移意識

經過本次課的學習，可以解釋課前“頭腦風暴”中的本質問題：圓的周長是關于圓的半徑的一次函數，因此，Δ y關于x是常數函數，關于Δ x是一次函數。該問題中x不同，Δx相同，故導致Δ y相同。

工科專業的專業課涉及電學，電學中對電阻分壓電路進行“最壞電路分析”時，可以采用直接代入法和線性展開法，其中線性展開法即選取線性主部即微分進行近似計算。例子結合微分思想、微分做近似計算兩個角度，向學生展示了微分在專業研究中的作用及應用。基礎層次的學生有了初步印象，提高層次學生有了初步理解，便完成了相應的教學目標。為了鞏固提高層次學生的理解，在課后布置討論題作為分層作業。

三、教學反思與教學改進

（一）教學優點

課前充分考慮學生的知識儲備情況、學習習慣、學習能力等方面情況，并詳細了解工業機器人專業的課程設置及培養要求。

教學有層次有梯度，對學生進行分層教學、從多角度分析問題；教學中融入數學文化、展現數學美，融入思政元素，踐行“五育并舉”；教學結合學生專業設置引例和應用等，全面服務專業。教學過程中，注重提升學生對數學的興趣，保護基礎層次學生學習數學的信心和意愿，激勵提高層次學生深入探究，堅持“三全育人”。

（二）存在問題及解決措施

為了讓學生更充分地理解微分的創建史以及微分在近似計算中的作用，可以在教學中采取兩種方法改進。一是在給出“微分的定義”之后，緊接著分析幾何意義；二是直接以微分的幾何意義引入微分的定義。

數學知識學習表現為三種形態:知識理解、知識遷移、知識創新[4]。知識遷移的終極目標，是為了知識創新，為了提升學生專業發展的空間，為新時代高職人才提質培優、增值賦能。