例談基本不等式在解三角形中的運用

浙江省金華市第一中學 (321000) 豐曉彤

我們知道，余弦定理是解三角形中的重要理論工具，如果再與基本不等式配合就可以解決很多三角形中的求最值和范圍等問題，本文通過對幾個典型題例的分析求解，為讀者朋友展示解題技巧和相關要點，僅供參考.

一、解決三角形邊的問題

在解三角形中，用正弦定理和余弦定理都是求邊的工具，而在求與邊有關的范圍和最值問題中，必須整體思考，通過余弦定理整體列式，然后再由基本不等式解決問題.

(1)求角B的大小；(2)若a+c=1，求b的取值范圍.

評注：在三角形中求角，必須注意三角形內角和定理的運用，由此確定角的范圍，從而確定某些三角函數值的符號，在求邊的范圍時，必須注意兩邊之和大于第三邊定理的運用，忘了這個限制很有可能出錯.

評注：在已知一條邊長后，再求三角形的周長，只需整體解決另外兩邊的和就行了，這點思考很重要，然后再用余弦定理就容易達到解題目的了.

二、解決三角形角的問題

一般都是對題設條件式進行邊角轉換，然后進行代數變形和放縮化簡，最后轉化成一個關于某一個角的三角函數式的值或者取值范圍，再根據三角形中內角的范圍確定此角的取值范圍.

例3 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等差數列，求角B的最大值.

評注：題設中給出的關于三角形邊的條件比較多，運用余弦定理解決邊的問題是首選，注意此時選定的角要有針對性，大多是解決問題的對象，也可以是受條件的引導.

在總額預付制下醫保控費管理的檢查主要分為三步實施。第一步，對醫保總額的完成狀況進行檢查；第二步，按照DRG病種進行分析，找到對醫保費用變化影響最大的重點病種，例如超過分攤權重20%的病種；第三步，由于醫療費用是由患者人數和患者均次費用兩個指標共同決定的，因此可將醫療費用的變化分解為 “由于收治患者人數變化造成的費用變化”和“由于患者均次費用變化造成的費用變化”兩類（見表2）。通過對重點病種醫保費用的分解，找出引起醫保總額超標的主要原因。

評注：本題是用不等關系解決相等問題，抓住所給條件式的特點，利用余弦定理進行有針對性的變形轉化，最后達到消元、化簡的目的，為后面運用基本不等式解題掃清了障礙.

三、解決三角形的面積問題

在解三角形的問題中，如果已知一個角，欲求此三角形的面積，我們應該盡量運用關于此角的三角形面積公式解題，這樣就將面積轉化為兩邊積的問題了，后面再運用已知條件，聯合基本不等式就能解決三角形面積的范圍問題了.

評注：本題是一個難度不大的題目，通過運用余弦定理得到了角B的值，然后再抓住已知等式運用基本不等式得到了ac的取值范圍，這兩步是成功解題的關鍵.抓住條件、瞄準目標、整體變形是有效的解題方法.

評注：在第(1)問中求出了sinA的值，那么在求此三角形的面積時必須抓住此條件建立面積的關系式，后面根據已知條件得到b+c=16后，再運用基本不等式解決面積的最大值就是自然而然的問題了.

四、解決有關三角函數式的范圍問題

這里首先考慮的是將欲求的三角函數式轉化為關于某一個角的函數關系式，然后就是根據已知條件解決這個角的范圍問題，兩個都解決了后面三角函數的范圍就迎刃而解了.

例7 已知△ABC的三邊a,b,c成等差數列，求sinB+cosB取值范圍.

評注：本題抓住已知條件，并運用余弦定理構造了一個三角函數的不等式，解決了關鍵的需求角的范圍問題，為求函數式的范圍奠定了堅實的基礎.

評注：首先運用余弦定理將用角表示的三角函數式轉化為邊的關系是解題的關鍵舉措，而在解決最值問題時及時運用基本不等式也是解題的重要點睛之處.