函數“零點差”問題的破解策略

四川省南充高級中學 (637000) 張小丹

函數是數學中的一個重要內.對于高中數學中的函數，我們常利用導數研究其性質，如單調性、極值、凹凸性等.數學中存在一些超越函數，其圖像具備明顯凹凸變化趨勢，從而衍生出一類試題——零點差問題.

零點差問題的常見設問形式是證明函數f(x)的兩個零點x1,x2滿足|x1-x2|<φ(m).解決此問題的關鍵是找到兩個數x1′,x2′，滿足x1′≤x1

一般地，這兩直線是函數y=f(x)在某點處的切線.有時題目會對兩直線都有所提示；有時題目會提示其中一條直線，另一條直線需要通過分析待證不等式來獲得.本文以幾個典型題目為例，探究“左、右直線”的尋找，從而解決零點差問題.

一、切線放縮

例1 已知函數f(x)=xlnx.

(1)求曲線y=f(x)在x=e-2處的切線方程；

(2)關于x的不等式f(x)≥λ(x-1)在(0,+∞)上恒成立，求λ的取值范圍；

(3)關于x的方程f(x)=a有兩個實數根x1,x2，求證：|x1-x2|<2a+1+e-2.

分析：易求得(1)y=-x-e-2；(2)λ=1；(3)實際上前兩問就是為解決(3)而設置，即左直線為g(x)=-x-e-2，右直線為h(x)=x-1，且易證f(x)≥g(x),f(x)≥h(x).

圖1

證明：設g(x)=-x-e-2，h(x)=x-1.易證f(x)≥g(x)(當且僅當x=e-2時取等號)，易證f(x)≥h(x)(當且僅當x=1時取等號)(如圖1).令g(x1′)=a,h(x2′)=a，解得x1′=-(a+e-2)，x2′=a+1，∴x2′-x1′=2a+1+e-2.由g(x1′)=a=f(x1)≥g(x1)，以及g(x)是減函數，得x1′≤x1(當且僅當a=e-2時取等號)；由h(x2′)=a=f(x2)≥h(x2)，以及h(x)是增函數，得x2≤x2′(當且僅當a=0時取等號)，于是x1′≤x1

注：本題中左右直線分別為f(x)在x=e-2、x=1處的切線.

例2 已知函數f(x)=xlnx.

(1)當x>0時，證明：f(x)≥-2x-e-3；

證明：(2)設g(x)=-2x-e-3，h(x)=x-1.

圖2

注：本題中右直線為f(x)在x=1處的切線.

分析：易知f(x)先遞減再遞增，由于題目中沒有出現任何一次函數，那么左、右直線如何確定呢？觀察知f(x)的兩個零點是-1和0，那么需要的兩條直線是否為f(x)在這兩個零點處的切線呢？

圖3

注：本題中，左右直線分別為f(x)在x=-1、x=1處的切線.

二、非切線放縮

圖4

三、反思與總結

我們把“已知方程f(x)=m的兩根為x1,x2(x1

一般地，(1)對于先增后減的曲線f(x)，我們需要找到兩條直線y=g(x)和y=h(x)，使得g(x)≥f(x)≤h(x)，其中g(x)是增函數，h(x)是減函數，如圖5；令g(x1′)=h(x2′)=m，解得x1′、x2′，且x2′-x1′=φ(m).由g(x1′)=f(x1)≤g(x1)及g(x)是增函數可得x1′≤x1；由h(x2′)=f(x2)≤h(x2)及h(x)是減函數可得x2′≥x2′，于是|x1-x2|≤|x1′-x2′|=φ(m)(等號是否可取據實檢查).

(2)對于先減后增的曲線f(x)，我們需要找到兩條直線y=g(x)和y=h(x)，使得g(x)≤f(x)≥h(x)，其中g(x)是減函數，h(x)是增函數，如圖6.令g(x1′)=h(x2′)=m，解得x1′、x2′，且x2′-x1′=φ(m).由g(x1′)=f(x1)≥g(x1)，以及g(x)是減函數，得x1′≤x1；由h(x2′)=f(x2)≥h(x2)，以及h(x)是增函數，得x2′≥x2′，于是|x1-x2|≤|x1′-x2′|=φ(m)(等號是否可取據實檢查).

圖5 圖6

四、鞏固練習