圓錐曲線中兩條直線斜率之積為定值的探究*

重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校 (401220) 田 鵬

1 問題背景

圓錐曲線中關(guān)于定點(diǎn)、定值的問題是歷年高考試題和各地的模擬試題中常考問題.這類問題綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，結(jié)論優(yōu)美，蘊(yùn)含豐富的背景，結(jié)論可以推廣.另外，斜率是解析幾何中刻畫直線的重要因素, 在判斷直線間的關(guān)系時(shí)起到了不容忽視的作用.本文對(duì)圓錐曲線中兩條直線斜率之積為定值進(jìn)行分析、研究、推廣.

2 原題呈現(xiàn)

本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，第(1)問是求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，構(gòu)建相關(guān)方程組，易求得答案.第(2)問是證明兩條直線斜率之積為定值的問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量較大.核心步驟是設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線l的方程和橢圓的方程，構(gòu)建A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，表示出直線AP和BP的方程，聯(lián)立直線l1的方程求解M和N的坐標(biāo)，再用斜率公式表示kQM·kQN，最后化簡(jiǎn)求得答案.

從解答過程看，只要理清題干里面的點(diǎn)、線位置關(guān)系，構(gòu)建解題順序，準(zhǔn)確計(jì)算每一步驟中的代數(shù)式，易求出答案.求解后，有三個(gè)方面的問題引起了筆者的思考：其一，點(diǎn)P的位置具有特殊性嗎？其二，直線l所過定點(diǎn)和直線l1的方程之間有什么關(guān)聯(lián)嗎？其三，該結(jié)論是否具有一般性，能否推廣到雙曲線和拋物線中.沿著這個(gè)思路，筆者進(jìn)行了以下的探究.

探究發(fā)現(xiàn)，kQM·kQN為定值與點(diǎn)P(s,t)(與A,B不重合)在橢圓上的位置無(wú)關(guān)，自然思考結(jié)論可能會(huì)與定點(diǎn)Q和定直線l1有關(guān)，故繼續(xù)進(jìn)行下列探究.

探究發(fā)現(xiàn)，kQM·kQN為定值與定點(diǎn)Q和直線l1有關(guān)，此結(jié)論可推廣到任意的橢……