兩道不等式問題引發(fā)的探究

福建省莆田第五中學(xué) (351100) 陳建英

1.試題呈現(xiàn)

題1 已知x，y,z∈R,且x+y+z=1,求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值.

題2 已知a,b,c為正數(shù)，且滿足abc=1,證明：(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

2.探究規(guī)律

3.猜測(cè)論證

由以上所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，可得：

4.結(jié)論應(yīng)用

例2(2016年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生暑期學(xué)堂(綜合營(yíng))試題題3)設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，證明：當(dāng)(a-b)2≥2c時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有(x-a)2+(x-b)2≥c.

例4(第21屆全俄中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知x,y∈R，求證2x4+2y4≥xy(x+y)2.

證明：當(dāng)n=2,m=4時(shí)，由結(jié)論1得

例5(《數(shù)學(xué)教學(xué)》2010(6)“數(shù)學(xué)問題”703)已知a,b,c,d∈R+,且abcd=1，求證a3+b3+c3+d3≥a+b+c+d.

證明：當(dāng)n=4,m=3時(shí)，由結(jié)論1得

=x1+x2+x3+x4.

5.教學(xué)心得

以上從兩道高考試題出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)其共性和個(gè)性，揭示一般的規(guī)律，得到了兩個(gè)有用的結(jié)論，并應(yīng)用所得結(jié)論解決一系列的試題和數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生經(jīng)歷了在教師引導(dǎo)下的“發(fā)現(xiàn)—猜想—論證—結(jié)論—應(yīng)用”的“再創(chuàng)造”過程，感受到數(shù)學(xué)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，收到了“解兩題，通一片”的效果.以一些典型試題為案例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，提出有意義的問題，探究適當(dāng)?shù)慕Y(jié)論或規(guī)律，并應(yīng)用之解決有關(guān)問題，這有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，提升創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).