回歸教學原點 突破思維障礙*
——以兩道解幾題求解為例

江蘇省新海高級中學 (222006) 徐 方 江蘇省連云港市錦屏高級中學 (222021) 殷長征

1 問題提出

解析幾何突出考查學生的運算能力，在教學過程中學生普遍反映運算量大，教師也說難教，解析幾何是高中數學教與學繞不開的一道思維坎：由于不良的思維習慣導致在思維過程中對正確思維的抑制而作用產生的思維定勢，具體表現為：將用代數方法解決幾何問題簡單地理解為運算，忽視對圖形幾何特征的挖掘和對曲線概念的合理利用，沒有真正領悟解析幾何的思維方法—先形后數.

針對上述思維坎形成的原因應該采取什么樣的跨越策略？教學實踐證明，“回歸教學原點”是預防思維定勢最有效的策略.這里的教學原點，一方面是指試題涉及的概念、公式、定理、基本數學思想方法等核心知識；另一方面是指試題的題型和試題求解過程中涉及的數據、結構、待求待證以及由已知得到的推論等[1].

2 教學實踐

2.1直觀猜想 定義證明

解析法是解決解析幾何問題的通法，教學中教師往往也會忽視對圖形幾何特征的挖掘，都習慣用代數運算取代幾何證明，時間久了學生很容易產生思維定勢—幾何問題代數化，導致簡單問題復雜化解不出結果，沒有真正領悟解析幾何的本質是幾何問題，近幾年的高考命題明顯加強在與平面幾何知識交匯處命制試題，解答此類試題圖形的幾何性質往往能起到一錘定音的作用.

圖1

圖2

評注：方法一就是忽視解析幾何“形”的特征，受思維定勢的影響直接把點看成是直線與曲線的交點而代數化，雖然運算過程不算復雜，學生經過運算也能得出正確結果，但要耗費不少時間，說明學生沒有真正弄清楚命題者的意圖：考察學生讀題、審題，通過直觀觀察產生猜想DF1//BF2，引發學生從平面幾何的角度去觀察圖形，利用點在曲線上的幾何意義去證明線線平行，從而達到以證代算的目的.

2.2 多元表征 合理轉化

求直線與橢圓交點坐標主要有兩種化歸的路徑：一是轉化成平面幾何問題來求解，二是通過聯立方程組來運算求解.化歸方式的不同，產生的分析問題與解決問題的思路就不同，運算的繁雜程度就會差異很大，所以采取對問題條件進行多元表征，合理選擇轉化路徑，有助于克服思維定勢提升學生分析問題、解決問題的能力.

解析：如圖3，設線段PF的中點為M，橢圓的右焦點為F1.

圖3

圖4

評注：本題通過感知(點、線、橢圓、圓)操作(輔助線)，可得點P(x0,y0)在橢圓上這個條件可以有以下三種等價轉化路徑：(1)P點滿足橢圓定義|PF1|+|PF|=2a；(2)P點滿足統一定義|PF1|=a+ex0；(3)P點是兩條曲線的交點.法1、法2運用解析法把P點看成是兩條曲線的交點，通過聯立方程組求點P的坐標，再用代數運算求直線斜率，思路簡單，學生也容易想到但運算量偏大.而法3、法4借助輔助線，利用橢圓定義和圓的幾何性質就起到四兩撥千斤的效果.

3 結語

用幾何法求解解析幾何問題的優點是簡潔、運算量小，但需要高層次的思維活動才能完成，學生沒有養成先形后數的思維順序分析問題的習慣與教師偏重用代數法解決解析幾何問題有關系，因此突破學生思維定勢困境的有效策略就是在教學過程中要改變注重解析法，忽視幾何法的不良習慣，回歸圓錐曲線的定義，以幾何圖形的幾何性質作為切入點，探索解題的最佳路徑，優化運算過程，提高學生的直觀想象、數學運算等核心素養.