導(dǎo)數(shù)與三角的邂逅*
——以2021年八省高三聯(lián)考導(dǎo)數(shù)題為例

福建省莆田第二中學(xué) (351131) 卓曉萍 蔡海濤 盧 妮

1試題呈現(xiàn)

本題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力與創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、創(chuàng)新性.

2解法分析

評析：本小題考查含參數(shù)不等式恒成立問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，通過移項(xiàng)作差構(gòu)造新函數(shù)h(x)=ex+sinx+cosx-ax-2，把問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最小值大于等于0.同(1)問，注意到h(0)=0，從而得x=0是h(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)，求得a=2，并結(jié)合第一步的結(jié)論證明a>2時(shí)與a<2時(shí)不合題意.

法2:由g(x)≥ax+2=h(x),g(0)=h(0)，結(jié)合如圖1的圖象，知y=ax+2為曲線y=g(x)的切線，解得a=2，當(dāng)a>2與a<2時(shí)不合題意的證明同法1.綜上，a=2.

圖1

評析：觀察不等式兩邊的函數(shù)模型，左邊是曲線，右邊是直線，并且兩圖象有公共點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合把問題轉(zhuǎn)化為切線問題.

3 教學(xué)反思

3.1夯實(shí)基礎(chǔ)知識，掌握通性通法

本題考查的是含參數(shù)不等式恒成立問題，常規(guī)的處理方法有“直接作差構(gòu)造新函數(shù)”、“結(jié)構(gòu)變形后再構(gòu)造新函數(shù)”、“完全分離參數(shù)”、“部分分離參數(shù)”、“應(yīng)用不等式放縮”等，教師要培養(yǎng)學(xué)生掌握以上通性通法，則可在考場中“以不變應(yīng)萬變”，得到應(yīng)有的分?jǐn)?shù).

3.2關(guān)注知識交匯，注重能力提升

近年高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)題一般是含有幾類不同的函數(shù)模型.本題是三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)是求導(dǎo)后仍含有超越式及三角函數(shù)的周期性可能造成導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的無窮多個(gè)，從而不便利用常規(guī)方法分析導(dǎo)函數(shù)符號.解題時(shí)要充分結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，特別是考慮到三角函數(shù)的周期性及有界性，突破該難點(diǎn)方法往往是分區(qū)間逐一討論，同時(shí)注意應(yīng)用三角恒等變化化簡函數(shù)模型.

3.3滲透思想方法，提升核心素養(yǎng)

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的綜合問題，借助導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)的圖象變化，若貿(mào)然求導(dǎo)易走彎路，求導(dǎo)過程需關(guān)注原函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的符號與零點(diǎn)，有利于簡化導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征以及明晰后續(xù)的解題方向，這需要運(yùn)用函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.解題中要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透與應(yīng)用，從思想上去揭示問題的本質(zhì)，形成對知識的感悟，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)以及分析問題與解決問題的能力，真正達(dá)到“舉一反三”之效，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).