“正弦定理”教學設計與課堂紀實*

江蘇省高郵中學 (225600) 黃桂君 江蘇省高郵市城北中學 (225600) 陸永宏 桂 楚

本文是筆者在特級教師牽手鄉村(高郵市三垛中學)教育活動中送培送教的一節公開課教學設計與課堂真實情況的回顧記錄，有意將課前準備(備課)的與課堂中真實發生的做一次比較，并穿插談點感受以及正余弦定理哪一個先安排講授“好”的體會.

一、教學目標

1.掌握正弦定理及其證明；

2.能夠運用正弦定理解決一些簡單的三角形邊角度量問題以及與測量有關的實際問題.

二、教學過程

1.問題情境

如圖1，要測量一個不可逾越障礙物兩側且相互看不見的兩點A、B間的距離，已知點A在觀察點C南偏東60°方向，點B在C南偏西45°方向，AB為東西方向，BC=10，則A、B兩點間的距離是多少？(情境選的是該學校旁邊的著名的河流與建筑，學生感覺親切.同時也是蘇教版新教材例1的問題)

圖1

緊接著設問：能否不通過解直角三角形而由已知△ABC的邊和角直接求出AB呢？說明為什么要學習這個新知識的必要性，導入新課.(注：最后再回過頭來重新解，前后呼應)

2.討論

圖2

下面的問題盡量的讓學生說或寫.(在黑板左右對應圖形下方分別板書)

(1)關于角：任何三角形中A+B+C=π(180°)(共性)(這里指出三角形中角與邊的簡寫，如果先學的是余弦定理就不再提)

直角三角形中，A、B互余，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1.(學生沒有說到的三角關系式尤其是正切，老師提問，效果還好)

思考：若C是△ABC中最大(小)的角，則C的取值范圍是.

結論是60°≤C<180°(0°

(2)關于邊：任何三角形中，a+b>c，a-b

直角三角形中，c2=a2+b2(勾股定理).

思考：非直角三角形中，c2=a2+b2+?(告訴學生將在后面探究學習，引起興趣.如果先學的是余弦定理就不設計了)

以上兩點快速而過，重點是下面的邊角關系.

(3)邊角關系(探索)：任何三角形中，C>A?c>a，b

注：課前不要求學生預習，課上也不允許學生翻看教科書(在蘇教版新教材中也沒有上述內容).老師接著在黑板右邊斜三角形圖形的下方寫上一個醒目的“？”(觸及課題).

3.引導學生在直角三角形中發現

猜想：對于一般的三角形也能成立嗎？

圖3

引導學生證明.假設猜想成立，則有asinB=bsinA，csinB=bsinC.

設問(循序漸進)：在圖形中能找到asinB，bsinA；csinB，bsinC的幾何意義嗎？讓學生思考并上黑板上畫(添加輔助線).這里教學重點得到了體現，難點得到了突破.

引導學生聯系初中熟悉的直角三角形，構造直角三角形，類比發現.(實際情況是，在銳角三角形中學生能很快畫出高線，在鈍角三角形中有了難度，但在老師的啟發下，還是畫出來了.要多讓學生動腦、動手，積極參與)

“等高法”(證法1)：csinB=bsinC，……(注意對角C分類討論)其它同理可得.事實上，根據圖形我們還能發現什么？引導學生大膽探究，發現：a=ccosB+bcosC，……(射影定理)(順便帶出的副產品，本節課不討論)得出

正弦定理(文字語言)：三角形的各邊和它所對的角的正弦之比相等.

我們的教學要“以學生的學習為中心來組織教學”.重結果，也要重過程！講推理，更要講道理！讓學生思考探究一些他們的能力能夠“夠得著”的問題，注意重視培養學生的數學核心素養.

4.應用

例1(蘇教版新教材P90)在△ABC中，A=30°，C=100°，a=10，求b，c(精確到0.01).(解答需要用到計算器)

變式將100°改為105°？讓學生板演，即開始的情境問題，前后呼應.教師板書詳解示范.

例2(蘇教版新教材P91例2的變式，僅僅改了數據，目的方便學生不需要用計算器就能得出結果，但問題的教學功能沒有變)根據下列條件解三角形(指出解三角形的概念).

讓學生板演、分組練習比較.

先讓學生獨立思考求解，發現問題后再和學生一道尋找出錯原因(本節課不要急于討論三角形有幾解的問題).

5.思考

(1)幾何畫板演示.指出教科書P95第10題幾何畫板得到的相同的比值7.33有什么幾何意義？

注：到這個時候才利用多媒體演示驗證，鞏固新知，而非一開始就給出.因為重要的是引導學生怎么發現的，驗證或直接告知結論過于簡單直接.

(2)嘗試用其它方法證明正弦定理：

①幾何法(證法2，由上述比值始終相同激發思維而產生)

a=2RsinA

另，對于余弦定理可自然的啟發性設問：求兩點間的距離(線段的長度)在你印象中有哪些數學思想方法？在這些方法中自然想到有一種方法向量法——轉化為求向量的模.(以上思考課堂上先提出來，后安排作業中課外自主探索)有時候拋棄思維定勢圍繞核心又結合實際的做法，誰說不也是一種創新呢？

6.小結

本節課讓我們感悟到，要學會用數學的眼光去觀察(看世界)；會用數學的思維去思考；會用數學的語言去表達；會用數學的知識去解決.

(這正是數學學科核心素養的特質)

三、課外作業

1.江蘇鳳凰教育出版社《普通高中教科書 數學必修第二冊》(2020年7月第1版)P92練習1，2，4；P94習題11.2.1，7.

2.嘗試用向量證明正弦定理.

結語：在教學設計中，要抓住數學內容的本質、了解學生的認知規律，創設恰當的情境、提出合適的問題，啟發學生獨立思考、鼓勵學生交流表達，在掌握知識技能的同時理解數學的本質，形成和發展數學核心素養.我們教學工作的重心是努力“將課本上知識的學術形態轉化為教師的教育形態、學生的學習形態”，即“喚醒”數學知識，而不是給予，一個好的老師，就是這樣把知識喚醒給學生看.這種轉化工作誰做的好，誰的教學就有效！