經(jīng)歷概念的形成過程 積累基本活動經(jīng)驗
——以“平面向量的概念”教學(xué)為例

福建省福州市閩清高級中學(xué) (350800) 林朝暉

積累基本活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要標志.數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，指的是學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程中所獲得的感受、體驗與認知.對于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”中獲得，在“思”中提升，在“悟”中遷移.因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動、積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷實踐操作的過程，在觀察操作中把感受提升為經(jīng)驗；讓學(xué)生經(jīng)歷內(nèi)化、反思等活動過程，從而提煉出具有數(shù)學(xué)本質(zhì)的基本活動經(jīng)驗.筆者以高中數(shù)學(xué)新教材(人教A版)必修第二冊“平面向量的概念”的教學(xué)為例，談?wù)劮e累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的教學(xué)實踐與思考.

1 在概念引入處喚醒基本活動經(jīng)驗

概念的形成過程是對概念進行歸納、抽象、概括的過程，經(jīng)驗性認識常常是內(nèi)隱的，教師應(yīng)遵循由感性到理性、由具體到抽象這一學(xué)生的基本認知規(guī)律，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，幫助學(xué)生搭建學(xué)習(xí)新知的“腳手架”，把一些抽象的知識形象化，才能激發(fā)學(xué)生的活動動機，幫助學(xué)生從“冰冷的美麗”中真正感受和體驗數(shù)學(xué)家發(fā)明創(chuàng)造時的“火熱思考”，從而喚醒學(xué)生的基本活動經(jīng)驗.

教學(xué)片斷1 創(chuàng)設(shè)情境，抽象概念

問題1 某景區(qū)內(nèi)有三個小島A,B,C，幾位游客乘觀光游艇先從A到B體驗雙向索道,再從B至C感受水上滑梯,請從物理角度談?wù)勗诖擞^光過程中所涉及到的量.

追問：請同學(xué)們回顧物理中學(xué)過的位移，說說距離與位移這兩個量有什么不同？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生歸納得到位移是矢量,不僅有大小,還有方向，而距離只有大小，沒有方向.

設(shè)計意圖：從熟悉的問題引人,引導(dǎo)學(xué)生把問題1的內(nèi)容抽象成數(shù)學(xué)問題，引出向量的原型“位移”.

問題2 大家能再舉出幾個既有大小，又有方向的量嗎？

師生活動：學(xué)生舉出如下例子，如速度，加速度，重力、浮力等.

追問：能否舉出只有大小、沒有方向的量？(意圖通過對比，凸顯出向量的兩個要素.)

生：身高、體重、面積、體積……

師：在數(shù)的概念的學(xué)習(xí)中，我們從一本書、一支筆、一付眼鏡……抽象出了只有大小的數(shù)“1”.類比數(shù)的概念，可以對大小和方向兩個要素的量進行抽象(如浮力、重力、速度、加速度等)，得到一種新的量，我們將這些量叫做向量.

設(shè)計意圖：通過引導(dǎo)學(xué)生列舉實例，提煉出事物的本質(zhì)屬性，從而抽象、概括出“向量”的概念.

問題3 請大家說一說，我們可以按照怎樣的思路研究一個新概念？

設(shè)計意圖：類比實數(shù)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出研究一個新概念的基本思路：抽象出事物的本質(zhì)屬性——給出定義——用符號表示——認識特殊對象——研究特殊關(guān)系——數(shù)學(xué)應(yīng)用.

“平面向量的概念”教學(xué)內(nèi)容涉及到多個概念的形成、同化和命名.本環(huán)節(jié)通過創(chuàng)設(shè)熟悉的生活情境,引導(dǎo)學(xué)生主體參與，喚醒學(xué)生基本活動經(jīng)驗，讓學(xué)生在活動中初步感受新知，并在腦海中形成新知的表象.教師通過引導(dǎo)學(xué)生運用類比、特殊化等思想方法“賞玩”新概念，引導(dǎo)學(xué)生提煉研究新概念的一般思路，讓學(xué)生在活動中體驗和感悟?qū)W習(xí)新概念、研究新問題的方法，為后續(xù)的學(xué)習(xí)起到了“導(dǎo)游”作用，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2 在觀察操作中構(gòu)建基本活動經(jīng)驗

學(xué)生在參與和經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程中，可以直接獲得一些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，但如果這些經(jīng)驗僅僅停留在感性的層面，只是膚淺的經(jīng)驗，需要教師運用教育智慧引領(lǐng)學(xué)生揭示感性經(jīng)驗背后理性的力量.因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過“做”探索知識和規(guī)律，在實踐活動中理解和感悟數(shù)學(xué)，直至獲得某些“再創(chuàng)造”的思維活動成果.這樣，才能使學(xué)生生成的基本活動經(jīng)驗更加豐富、深刻，更“接地氣”，從而實現(xiàn)“感性經(jīng)驗”向“理想經(jīng)驗”的提升.

教學(xué)片斷2 形象表示，深化理解

問題4 為了方便起見，學(xué)習(xí)了向量概念之后，通常需要用符號表示.大家想一想，如何表示一個實數(shù)?

生1:可以用小寫英文字母表示實數(shù),如a,b,c…

師:還可以怎么表示？

生2:畫數(shù)軸表示,如圖1，AB=1,OB=2.

圖1

師：實數(shù)可以這樣表示，那平面向量該怎樣表示呢？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生在活動中提煉出符號化語言，培養(yǎng)學(xué)生的符號化意識.

師生活動：學(xué)生討論，然后請兩位同學(xué)板書，師生討論并完善.

追問1：這兩位同學(xué)都想到用有向線段來表示一個向量(如圖2)，這是向量的“形”的表達方式，也可用符號表示，我們應(yīng)該怎樣用符號表示呢？

圖2

師：生3將向量和線段進行類比，非常好！類比思想有助于今后的學(xué)習(xí).

設(shè)計意圖：進一步強調(diào)向量的方向性，深化學(xué)生對向量概念的理解.

教學(xué)片斷3 認識特殊，引出關(guān)系

問題5 大家知道，有兩個很特殊的實數(shù)0與1,是否也有特殊的向量呢？

生5:有，長度為0與長度為1的向量就是特殊的向量.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過0與1這兩個特殊實數(shù)，類比引出零向量、單位向量的概念.

追問1：零向量與單位向量的方向該怎樣規(guī)定？

追問2：若將平面上所有的單位向量平行移動到同一起點，想想這些單位向量的終點軌跡是什么？

設(shè)計意圖：緊緊圍繞學(xué)生容易忽略的向量的方向性，滲透規(guī)定零向量方向任意的合理性.通過追問，引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、分析，突破單位向量的方向這一難點.

追問3：剛剛已經(jīng)學(xué)習(xí)了特殊模長的向量，是否具有特殊關(guān)系的向量呢？

問題6 說出圖3中各個向量的模，其中哪些向量是單位向量？

圖3

設(shè)計意圖：通過活動，深化學(xué)生對向量的模與單位向量的理解.

追問2：平行向量從方向上刻畫了向量的關(guān)系，它們與大小是否有關(guān)？

追問4：兩個向量相等，是否與其位置有關(guān)？

師：相等的非零向量都可以“自由平移”，說明了向量是可以平行移動的“自由之軀”，與向量的起點無關(guān).

設(shè)計意圖：通過直觀感知、教師啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生參與向量概念的定義過程，歸納出平行向量、相反向量、相等向量等概念，使概念成為學(xué)生觀察、比較、抽象、概括后的自然產(chǎn)物，符合學(xué)生認知規(guī)律,也為引出共線向量埋下伏筆.

設(shè)計意圖：共線向量是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點,問題7意在引導(dǎo)學(xué)生體會共線向量就是平行向量，自然獲得共線向量的定義.

以上探究過程，始終以學(xué)生為主體，以問題串為主線，啟發(fā)學(xué)生類比實數(shù)概念的學(xué)習(xí)，通過操作、分析、思考、討論，逐步抽象概括出向量的有關(guān)概念.在活動過程中，教師注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，并運用類比的思想、聯(lián)系的觀點引導(dǎo)學(xué)生利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗探索向量的有關(guān)概念.隨著學(xué)習(xí)活動的逐步推進，部分學(xué)生能主動地運用類比的思想進行探究，自然獲得與向量有關(guān)的基本概念，從而積累了“數(shù)學(xué)化”的活動經(jīng)驗，提升了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 在反思感悟中積累基本活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)知識的類比性使得學(xué)生所積累的基本活動經(jīng)驗具有遷移性，這些經(jīng)過學(xué)生內(nèi)化、感悟的經(jīng)驗是學(xué)習(xí)新知的生長點.因此教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動所需要的情境，并給學(xué)生留足反思感悟的時間，讓學(xué)生自主參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，經(jīng)歷內(nèi)化、反思等活動過程，這樣有利于數(shù)學(xué)知識在深度思考中得到提升與完善，有利于建構(gòu)系統(tǒng)化的認知體系.長此以往，學(xué)生就會積淀豐富多樣、“生長力強”的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗.

教學(xué)片斷4 辨析概念，深度思考

問題8 下列說法是否正確，請說明理由.

(2)單位向量是相等向量；

設(shè)計意圖：針對學(xué)生可能產(chǎn)生的理解偏差，讓學(xué)生辨析，強化他們對概念本質(zhì)的理解，積累活動經(jīng)驗.

問題9 設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心.

圖4

圖5

設(shè)計意圖：讓學(xué)生進一步體會共線向量、相等向量的含義，深化相等向量和共線向量的聯(lián)系與區(qū)別.

教學(xué)片斷5 反思總結(jié)，提升高度

問題11 本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？你能應(yīng)用思維導(dǎo)圖對所學(xué)的內(nèi)容進行梳理嗎？

問題12 本節(jié)課學(xué)習(xí)中運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生梳理所學(xué)知識，深化向量有關(guān)概念，為學(xué)習(xí)向量的運算鋪墊；另一方面，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)思想方法，獲得研究新概念的基本套路.

對上述問題的辨析與反思，發(fā)揮了一般觀念的思維引領(lǐng)作用，是學(xué)生對平面向量概念的再認，對向量概念形成過程中體現(xiàn)的研究方法、研究經(jīng)驗的總結(jié)反思，有利于建立更高層次的認知結(jié)構(gòu)，從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗”.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)需要讓學(xué)生親身參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，在“做”、“思”與“悟”中不斷積淀基本活動經(jīng)驗.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)設(shè)具有豐富性和挑戰(zhàn)性的探究活動，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察分析、抽象概括、邏輯推理、反思總結(jié)等思維活動，促進個體經(jīng)驗的交流與融合，從而“生長出”新的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展更加枝繁葉茂.