一種基于事件觸發的分布式卡爾曼一致性濾波算法設計

劉春玉， 孫書利

(黑龍江大學電子工程學院，哈爾濱，150080)

近年來，基于傳感器網絡的分布式濾波算法由于在自校正，目標監視和跟蹤中的廣泛應用而倍受關注[1-3]。一方面，應用分布式估計機制，每個傳感器只與鄰居的傳感器之間進行通信，減少通訊過程中的能量耗損；另一方面，傳感器可以根據自身的位置自組網絡，網絡拓撲結構隨著傳感器節點的變化動態調整，這大大減少了計算量[4]。受信息交換過程中通信帶寬和能量消耗的限制，在保證一定的估計性能的同時，優化傳感器到估計器的通信速率也變得尤為重要[5]。因此，基于事件觸發的分布式卡爾曼濾波算法應運而生.

與傳統的時間觸發方法不同，事件觸發方法在減輕傳輸壓力方面具有巨大優勢。在事件觸發機制中，僅在超過特定閾值時才觸發傳輸，文獻[6～10]已經提出了多種可選擇的觸發機制。事件觸發機制這一概念最早是在文獻[11]中提出的,可以分為確定性觸發機制和隨機觸發機制。在確定性觸發機制的基礎上，文獻[7]通過卡方分布設置觸發閾值，該卡方分布由當前時刻和最新觸發時間的觀測值之差建立。當事件觸發的決策變量超過給定閾值時，將觀測值用于狀態估計。文獻[12]提出了一種基于事件驅動的新型分布式卡爾曼濾波算法，該事件驅動方案由更新的協方差觸發，該協方差通常用于描述真實值與估計值之間的誤差。

在傳感器網絡中，與集中式體系結構相比，分布式體系結構具有更好的魯棒性和可靠性。每個傳感器都充當一個局部的融合中心，從而大大減少了計算負擔。文獻[13]研究了具有事件觸發機制的系統的分布式估計問題。文獻[14]提出了基于矩陣加權的分布式卡爾曼濾波算法。為了提高估計性能，提出了一種卡爾曼一致性濾波結構，即在標準卡爾曼濾波器中增加一個共識項[3]，其中增加的共識項由傳感器的鄰居估計值與自身估計值之差的和組成。結合事件觸發機制和卡爾曼一致性濾波結構，文獻[15～16]提出了基于事件觸發策略的分布式卡爾曼一致性濾波算法。然而，一致性增益被人為設定以保證濾波器穩定。文獻[17]雖然設計了最優一致性增益，但是要求滿率通信。

基于上述討論，本文研究了基于傳感器網絡的事件觸發分布式卡爾曼一致性濾波算法。本文采用增量發送傳輸機制，與其他傳輸機制相比，該傳輸觸發機制計算簡單，易于實現。每個傳感器僅在當前觀測值與最新觸發時刻的觀測值之差的平方超過一定閾值時，才將其觀測值傳輸到相應的估值器，同時，估值器將其估計值發送給鄰居。基于傳感器的觀測和鄰居節點的估值，在每個估值器處設計基于事件觸發分布式卡爾曼一致性算法。這與文獻[16]中人為設置一致性增益的方法不同，我們將設計極小化濾波誤差方差上界的最優濾波器增益和一致性增益。也不同于文獻[17]要求滿率通信，我們采用事件觸發機制可節省通信負擔。本文的主要貢獻包括：在每個傳感器節點，通過局部最小化濾波誤差方差的上界設計了最優卡爾曼濾波增益和一致性增益，提出了事件觸發分布式卡爾曼一致性濾波算法。算法避免了傳感器節點估值之間估計誤差互協方差陣的計算，可減小計算負擔。基于李亞普諾夫方法分析了算法在均方意義上的指數有界性。

1 問題描述

考慮多傳感器離散時間線性隨機系統：

x(t+1)=Ax(t)+Bw(t)

(1)

zi(t)=Hix(t)+vi(t),i=1,2,…,L

(2)

式中：x(t)∈Rn表示系統狀態；zi(t)∈Rmi表示傳感器i的觀測值；L表示傳感器的數量；A、B和Hi是適當維數的時不變矩陣。w(t)∈Rr和vi(t)∈Rmi分別是過程噪聲和傳感器i的觀測噪聲。

假設1:w(t)和vi(t)是均值為0、方差分別為Q(t) 和Ri(t)的不相關白噪聲。

(3)

式中：E表示數學期望；δij是Kronecker函數。

假設2:初值狀態x(0)的均值為μ0，方差為P0且與w(t)和vi(t)不相關。

定義G=(V,E)為傳感器的網絡拓撲結構圖，其中V={1,2,…,L}表示網絡中節點集合，E?V×V為邊集合。本文我們考慮無向圖。如果節點j與節點i可以通信，那么節點j和節點i的互為鄰居節點。定義傳感器i的鄰居節點集為Ni={j|(j,i)∈E}，則傳感器i的鄰居節點總數為di=Ni。

在傳感器網絡中，傳感器的能量是有限的。為了節省傳感器的通信能量，采用事件觸發通信策略來選擇有價值的信息進行傳輸。控制任務是否執行由事先給定的事件觸發條件決定，而不是按時間觸發。如果在某一時刻滿足觸發條件，則意味著事件觸發。引入一組伯努利分布隨機變量γi(t),i=1～L用于描述事件觸發的傳輸策略。定義：

(4)

(5)

對于估值器到估值器的通信信道，我們假設采用時間觸發規則，即估值器每次都將其預測估值發送給它的鄰居。我們設計如下的一個基于事件觸發的分布式一致性濾波器：

(6)

我們的目標是求出局部最優卡爾曼濾波增益和最優共識增益，以最小化濾波器的濾波誤差方差的一個上界。

2 分布式濾波設計

定義I(t,i)為估值器i在t時刻接收到的信息，那么，估值器i從初始時刻到t時刻接收的信息可以表示為：

Ii(t)={I(1,i),…,I(t,i)}

(7)

系統狀態估值定義如下：

(8)

估值器i在t時刻的估計誤差為：

(9)

則相應的誤差協方差矩陣可定義如下：

(10)

引理1：對于任意兩個適當維度的矩陣X和Y，以下微分公式成立：

(11)

(12)

式中：?表示微分；tr(·)表示矩陣的跡。

引理2:對于任意2個向量x,y∈Rn，下列不等式成立：

xyT+yxT≤xxT+yyT

(13)

定理1：系統(1)和(2)在假設1和2條件下的分布式遞歸卡爾曼濾波器和預報器計算為：

(14)

(15)

濾波誤差和預報誤差的協方差矩陣上界為：

diCi(t))Pi(t|t-1)(I-γi(t)Ki(t)Hi-

(16)

BQ(t-1)BT

(17)

(18)

Ci(t)=di(I-γi(t)Ki(t)Hi)·

(19)

(20)

(21)

證明：由定義(9)可知，濾波誤差可以表示為：

(22)

則濾波誤差協方差矩陣為：

diCi(t))Pi(t|t-1)(I-γi(t)Ki(t)Hi-

(I-γi(t)Ki(t)Hi-diCi(t))T+

(23)

按照引理2，可以得到:

(24)

(I-γi(t)Ki(t)Hi-diCi(t))·

diCi(t))T≤di(I-γi(t)Ki(t)Hi-

diCi(t))Pi(t|t-1)(I-γi(t)Ki(t)Hi-

(25)

由此，可將(23)轉化為：

Pi(t|t)≤(1+di)(I-γi(t)Ki(t)Hi-diCi(t))·

Pi(t|t-1)(I-γi(t)Ki(t)Hi-diCi(t))T+

(26)

-(1+di)(I-Ki(t)Hi-diCi(t))Pi(t|t-1)·

(27)

-di(I-γi(t)Ki(t)Hi-diCi(t))Pi(t|t-1)+

(28)

當γi(t)=0時，一致性增益為：

(29)

其中，Mi(t)由式(20)定義。

當γi(t)=1時，濾波增益和一致性增益分別為：

Ci(t)=di(I-γi(t)Ki(t)Hi)·

(30)

(31)

由式(6)～(8)，能得到式(14)～(15)，由式(29)～(31)和定義(21)，可以得到式(18)～(19)。由式(1)和定義(8)可以得到預報誤差方程：

Aei(t-1)+Bw(t-1)

(32)

基于式(10)和式(32)，可得到式(17)。證畢。

3 有界性分析

為了證明所提出的事件觸發的分布式卡爾曼一致性濾波的穩定性，我們給出如下假設。

(33)

此外，以下條件成立:

(34)

(35)

以及

E[Vt+1(ηt+1)|ηt]≤(1-ρ)Vt(ηt)+μ

(36)

則隨機過程在均方意義下以概率1指數有界，即:

(37)

定理2:在假設3下，當初始誤差有界時，所提出的事件觸發的分布式卡爾曼一致性濾波在均方意義下以概率為1有界的。

證明：定義e(t)=[(e1(t))T,…,(eL(t))T]T，其中ei(t)由式(9)定義.定義李亞普諾夫函數：

(38)

γi(t+1)Ki(t+1)vi(t+1)+Ci(t+1)·

Ki(t+1)vi(t+1)+(I-γi(t+1)·

(39)

對于任意的具有相同維數的向量x和y，存在tr{xyT}=xTy，則：

E{Vt+1(e(t+1))|e(t)}=

(40)

根據式(33)和式(34)可知，總存在一個正標量0<ρ≤1和u>0，使得式(37)成立，其中:

(41)

(42)

由引理3可知，所設計的事件觸發的分布式卡爾曼一致性濾波在均方意義下是以概率1有界的。

4 數值例子

考慮一個簡單的帶有4個傳感器的線性跟蹤系統，拓撲結構如圖1所示。

圖1 帶4個傳感器的網絡拓撲結構

zi(t+1)=Hix(t+1)+vi(t+1),i=1～4

在仿真中，我們取300個數據。定義[0,K]時間段內傳感器到估值器之間的通訊速率為：

我們采用根均方誤差來評估跟蹤性能，根均方位置誤差和速度誤差分別定義如下：

在仿真中，當傳感器與估計器之間的通信閾值設置為1.2，通信速率為0.675時，傳感器1的位置和速度跟蹤圖像展示在圖2中，由圖可見具有良好的濾波跟蹤性能。4個傳感器對目標估計的位置和速度的均方根誤差如圖3所示。可以看到，在事件觸發的通信機制下，所有估值器的根均方誤差都是有界的。

圖2 濾波器的跟蹤性能

圖3 不同估值器的根均方誤差的比較

為了體現本文算法的優勢，將本文提出的次優算法與文獻[16]中的次優算法進行比較。首先選出適當的σi使得文獻[16]的根均方誤差盡可能小。通過仿真實驗，可以發現當σi取值過大時濾波器將失去穩定性。在設置閾值為1.2時，不同傳感器的位置和速度的根均方誤差隨σi的變化情況如表1所示。可見當σ1=σ2=0.01，σ3=σ4=0.1時根均方誤差接近最小。本文算法與文獻[16]算法的4個傳感器平均根均方誤差的比較結果如圖4所示。由圖可知，本文算法的濾波精度高于文獻[16]。

表1 不同σi時的根均方誤差

圖4 本文算法與文獻[16]的根均方誤差的比較

4個傳感器在不同閾值下的平均根均方誤差如圖5所示。將傳感器與估值器之間通信的閾值分別設置為0、0.6、2、3.6，當閾值為0時為滿率通信，平均根均方誤差最小。隨著閾值的增大，其相應的4個傳感器的平均根均方誤差也增大。也就是說，閾值越小，通信速率越高，估計精度越高；閾值越大，通信速率越低，估計精度越低。

圖5 不同閾值時估值器的根均方誤差的比較

當閾值取為1.2時，4個傳感器的觸發時刻在圖6中表示。其中，橫坐標表示時刻，縱坐標表示在各時刻各傳感器的觸發情況，畫點處表示此時觀測值傳輸給估值器。為了使得系統在估計性能和通信率之間達到一個平衡，可以適當調節事件觸發的閾值，達到既能緩解通信負擔又能滿足實際估計精度要求的目的。以上仿真驗證了算法的有效性。

圖6 傳感器的觸發時刻

5 結語

為了避免節點之間估計誤差互協方差陣的計算，本文提出了一種基于事件觸發的分布式卡爾曼一致性濾波算法。其中，通過局部極小化濾波誤差方差的一個上界求解了最優的卡爾曼濾波增益和一致性增益。通過帶4個傳感器的仿真例子說明了由于避免任兩個傳感器之間的估計誤差互協方差陣每時刻減少的計算量級為O(48)。當傳感器的數量較多時，該算法在減小計算量上具有明顯的優勢。同時，基于李雅普諾夫方法分析了該算法在均方意義上的指數有界性。