舞臺機械緊湊型卷筒軸強度計算與對比分析＊

田海弘 劉 榛

浙江大豐實業股份有限公司 余姚 315400

0 引言

為了適應和滿足文化的發展和需求，近些年來，在國內出現了大量的劇場、秀場、多功能廳、音樂廳和基層文化綜合體等文化演出場所。直接或間接為舞臺表演活動服務的舞臺機械設備提出了各種滿足特定應用場所的要求，在多功能或基層文化綜合體中，往往要求在有限的空間結構中能夠容納盡可能多的結構，使機械設備滿足緊湊外形的情況下能夠實現盡量多的功能，其傳動機構的小型化成為一個重要技術指標。

設計時，在滿足安全和性能要求的前提下，選用的減速器體積應盡可能小，不僅可以實現傳動設備的緊湊化，而且還能降低設備的成本。如圖1所示，為了有緊湊的結構，在舞臺機械中，卷揚機卷筒軸與減速電機之間常采用直接套裝的結構，但采用這種結構需解決卷筒軸與減速器空心軸之間的匹配問題，目前常見的問題是標準減速器的額定傳遞力矩通常較大，而同等直徑的卷筒軸根據相關計算其強度無法滿足要求，在這種情況下，設計者不得不選擇更大型號的減速器才能實現上述結構，這不僅使傳動機構體積變大，還增加了設備的成本。針對上述問題對舞臺機械設備中軸的強度計算進行深入研究，根據舞臺機械設備在安全性能方面的要求，進行了有針對性的分析和歸納。

圖1 卷揚機卷筒軸的典型安裝示意圖

1 卷筒軸的強度計算方法分析

以卷揚機卷筒軸為例，對舞臺機械設備中類似軸進行強度計算和對比分析[1]，軸的強度計算分三種情況按扭轉強度計算、按彎扭合成強度計算和精確強度校核計算進行討論。

1.1 按扭轉強度計算

按扭轉強度計算適用于只傳遞扭矩不承受彎矩的計算，對于如圖1所示的卷筒軸，在傳遞扭矩的過程中，還需承受電機減速器的重力所產生的彎矩，由于該彎矩不大，根據機械設計手冊[2]的推薦，它可采用降低許用應力的辦法按照扭轉強度式（1）進行軸徑估算。

式中：d為軸端直徑，T為傳遞轉矩，A為鍵槽增大系數（舞臺機械設備中通常采用單鍵形式，取A=1.05），τp為許用扭轉切應力，表1給出了卷筒軸常用材料的τp值，考慮了彎曲影響而降低的許用扭轉切應力值。

表1 卷筒軸常用材料的τp值 MPa

在舞臺機械設備的設計中，目前比較普遍采用式（1），利用降低的許用扭轉切應力τp值對軸進行計算校核，若計算發現軸徑不能滿足要求，可通過放大軸的直徑和改變軸的材料來解決。但在表1中可以發現，即使采用性能最佳的合金鋼，τp最大也只能取到55 MPa，在此情況下，似乎只有通過加大軸徑來解決問題，而這又導致其與選好的減速器空心軸產生不匹配，不得不加大減速器的型號，違背了舞臺機械設備緊湊化的設計意圖。在此情況下，往往會認為是強度計算的規定[3]限制了軸的選擇，實際上，利用式（1）和表1的計算，只有當軸上的彎矩不大時，僅作為對軸強度的估算，進一步可采用按彎扭合成的強度計算和精確強度校核計算的方法。

1.2 按彎扭合成強度的計算

當軸上的載荷和軸的結構已經確定時，可按彎扭合成的方法對卷筒軸的強度進行計算，其計算結果是偏于安全的，具體計算為

式中：d為軸端直徑，A為鍵槽增大系數，M為軸所受彎矩，T為軸所受轉矩，ψ為校正系數，由扭轉切應力變化來確定，σ+1p、σ0p、σ-1p分別為材料在靜應力、脈動循環應力和對稱循環應力狀態下的許用彎曲應力。

式（2）中，除參數ψ與扭轉切應力的變化形式有關外，其他參數與卷筒軸材料和結構有關。針對舞臺機械設備的卷筒軸的強度計算，關于參數ψ的選擇具體分析和討論如下：

1）對于舞臺機械設備的卷筒軸，其扭應力均會隨著機械的啟動和停止產生變化，不存在扭轉切應力不變化的狀況。

2）對于水平運動的舞臺機械設備，在運動的過程主要是利用驅動力去克服摩擦阻力，而摩擦阻力的方向與車臺的運動方向和運動趨勢相關，若該水平運行的設備是用卷揚機作為驅動機構，則施加在卷筒軸上的作用力方向會隨著設備運行方向的變動而產生變化，從理論上講，在兩個相反的運動方向需要的驅動力大小相等、方向相反，因此卷筒軸上扭轉切應力的變化屬于對稱循環的范疇，即ψ=σ-1p/σ-1p≈ 1。

3）對于帶有平衡重的舞臺機械升降設備，若其平衡重與承載件和負載基本平衡，作用在卷筒軸上的力主要是由于摩擦阻力和慣性力，其作用力的方向會隨著設備的升降而產生變化，所以其扭轉切應力的變化屬于對稱循環的范疇，即 ψ = σ-1p/σ-1p≈ 1。

4）對于不帶平衡重的舞臺機械升降設備，其運動的過程主要是利用驅動力去克服承載件的重力和負載，無論設備上升或下降，重力和負載的方向始終是垂直向下的，施加在卷筒軸上的作用力方向不會隨著設備運行方向的改變而變化，同時考慮到舞臺機械升降設備在一定周期內的啟停動作產生的摩擦力和慣性力的變化，以及在不同演出場景條件下負載的不同，使軸上的扭力的大小呈現出一定的周期性變化，故卷筒軸上扭應力的變化屬于脈動循環的范疇，即ψ=σ-1p/σ0p≈0.6。

1.3 精確強度校核計算

軸采用安全系數進行校核計算。舞臺機械設備中的卷筒軸應屬于設備中關鍵零件，同時，在舞臺機械相關標準中規定：所有驅動系統的零部件應能承受2倍特征載荷（在正常運行情況下，作用于舞臺機械設備上的最大載荷，包括額定工作載荷、運動承載件自重、正常運行情況下的動態作用力），這里隱含了安全系數的概念，故精確強度校核計算的方法適合舞臺機械設備中卷筒軸的強度計算。精確強度校核計算包括疲勞強度[4]安全系數校核和靜強度[5]安全系數校核兩個方面的內容。

1.3.1 疲勞強度安全系數校核

疲勞強度安全系數校核的計算為

式中：Sp為許用安全系數，對于舞臺機械設備，由于其載荷確定精確，應力計算準確，在機械設計手冊中提供的許用安全系數為Sp=1.3～1.5，又考慮到舞臺機械設備較大安全性的要求，可以適當加大，推薦取Sp=1.6為宜；Sσ為只考慮彎矩作用時的安全系數；Sτ為考慮扭矩作用時的安全系數；σ-1、τ-1為對稱循環應力下的材料彎曲和扭轉疲勞極限；Kσ、Kτ為彎曲和扭轉時的有效應力集中系數；β為表面質量系數；εσ、ετ為彎曲和扭轉時的尺寸影響系數；ψσ、ψτ為材料拉伸和扭轉的平均應力折算系數；σa、σm為彎曲應力幅和平均應力；τa、τm為扭轉應力幅和平均應力，對于舞臺機械設備卷筒軸的精確強度校核計算，參數σa、τa、σm、τm的選擇為：

1）如圖1所示，對于卷筒軸的彎曲應力，其主要是由減速器的重力作用而產生，在卷筒軸轉動過程中，對于軸上某個確定的點，它所承受的彎矩是周期性變化的，軸旋轉1圈是其變化周期，且在該周期內其兩個峰值彎矩的方向是相反的，屬于對稱循環，故有

式中：Z為軸危險截面上的抗彎截面系數，M為軸所承受的彎矩。

2）對于卷筒軸的扭轉應力，其主要是由承載件的自重和負載作用而產生，它屬于不帶平衡重的舞臺機械升降設備，屬于脈動循環，故有

式中：Zp為軸險截面上的抗扭截面系數；T為軸所承受的扭矩，根據舞臺機械相關標準中規定，在校核計算時，參數T（軸所承受的扭矩）應選取為2倍的特征載荷。

與彎扭合成強度計算式（2）相比，在疲勞強度安全系數校核中，引入了更多的軸相關的系數，如有效應力集中系數（Kσ、Kτ）、表面質量系數（β）和彎曲和扭轉時的尺寸影響系數（εσ、ετ）等，顯然，其計算的結果會更加精確客觀。從式（4）～式（7）中各參數的含義分析可知，增大軸的安全系數，可以通過增大軸的直徑去實現，還可以通過改進軸的結構、降低應力集中、提高軸的表面質量、采用熱處理或改用較高強度的材質去實現。

1.3.2 靜強度安全系數校核

靜強度安全系數校核的目的是為了校驗軸對塑性變形的抵抗能力，即校核危險截面的靜強度安全系數。軸的靜強度計算是根據軸上作用的最大瞬時載荷（包括動載荷和沖擊載荷）進行的。靜強度安全系數校核為

式中：SSP為靜強度的許用安全系數，如果選用軸材料為 40Cr（σs/σb=550/750=0.73），同時考慮到舞臺機械設備安全要求的特殊性，取機械設計手冊推薦的最大值SSp=2.2；SSσ為只考慮彎矩作用時的安全系數；SSτ為只考慮彎矩作用時的安全系數；Z、ZP為軸的抗彎和抗扭截面系數；σs、τs為材料的拉抻和扭轉屈服點；Mmax、Tmax為軸的最大彎矩和扭矩。

如圖1所示，卷筒軸端所承受最大彎矩Mmax主要由減速電機的重力產生，它是一個固定不變的值；對于卷筒軸的最大扭矩Tmax，在計算時，應將2倍的特征載荷作為其計算輸入值。

2 卷筒軸的強度計算的舉例分析

為了便于對卷筒軸的計算有更加直觀的理解，列舉卷筒軸強度計算實例，并對計算結果進行相應的分析。計算用原始參數及載荷計算如表2所示。

表2 設計計算原始參數

2.1 按照扭轉強度公式計算

根據扭轉強度式（1），有

計算結果大于圖1所示的減速器空心軸的直徑70 mm，且許用扭轉切應力τp選取了表1相關取值范圍的最大值，說明用式（1）校核軸的直徑偏小，只有增加卷筒軸的直徑才能滿足扭矩的傳遞，但這需要選取更大的減速器，無法滿足設備緊湊化的要求，而且還會使設備的成本增加。

2.2 按彎扭合成強度計算

根據彎扭合成強度式（2），有

計算結果大于減速器空心軸的直徑70 mm，且其脈動循環許用彎曲應力選取了上限值：σ-1p=90 MPa，說明用式（2）校核軸的直徑偏小，但從具體計算的數值可以看出，用彎扭合成方法計算得到的結果要好于按照扭轉強度公式估算的結果，但隨著彎矩的增大，用按彎扭合成強度計算的軸徑也隨之增大，經過驗算得到，當彎矩M=2 492 Nm時，用式（2）計算獲得的軸徑與式（1）計算的軸徑相等均為78.4 mm，此時軸的彎矩與扭矩的比值為0.55。在機械設計手冊中提到，當彎矩不大時，可以采用式（1）進行軸徑估算，但其沒有給出具體的彎扭占比值，從上述計算結果可以看出：當彎矩小于扭矩的一半時，采用扭轉強度式（1）進行估算的軸徑不會小于按彎扭合成強度式（2）計算的軸徑。

2.3 精確強度校核計算

精確強度計算過程中用到的各參數值匯總如表3所示，參數的選擇均按照機械設計手冊的相關表格和要求獲得。

表3 精確強度計算各參數取值

1）疲勞強度安全系數校核計算：

根據式（4）和式（5），以及表3的相關參數計算得到

根據式（4）計算得到

計算得到的疲勞強度安全系數大于許用安全系數Sp=1.6，滿足設計安全要求。

2）靜強度安全系數校核計算

根據式（9）和式（10），以及表3的相關參數計算得到

根據式（8）計算得到

計算得到的靜強度安全系數大于許用安全系數SSp=2.2，滿足設計安全要求。

在上述疲勞強度安全系數校核和靜強度安全系數校核計算的過程中，同樣是根據舞臺機械設備的相關要求，選用2倍特征載荷產生的扭矩代入核算，但從計算結果看，卷揚機卷筒軸徑70 mm滿足設計安全要求，原選擇的減速器與之匹配，產生該結果的原因是由于在精確強度校核計算的過程中，引入了更多軸的相關系數，使得計算結果不僅更加精確且更加接近實際工況。

3 結論

1）對于軸的強度校核計算，其計算結果的精確度依次按照扭轉強度公式估算、彎扭合成強度公式計算、精確強度校核計算的順序提高。當軸的彎矩不大時，可按降低許用扭應力采用扭轉強度式（1）進行計算，但其僅作為對軸強度的一種估算，若其估算結果不能滿足要求，可進一步用彎扭合成強度公式和精確強度校核進行計算去判斷其最終是否滿足強度要求。

2）當彎矩小于扭矩的一半時，可以采用降低許用應力的辦法按照扭轉強度式（1）進行軸徑估算，其計算所得的軸徑不會小于按彎扭合成強度式（2）計算的軸徑，當彎矩超過扭矩的一半時，式（1）相對不適合對軸徑進行估算，無法保證其計算結果的安全性。

3）在如圖1所示的類似設備中，對于卷筒軸的彎曲應力，主要是由減速器的重力作用而產生，它所承受的彎應力呈周期性變化，屬于對稱循環。對于卷筒軸上的扭應力，其不同的變化形式對應著不同的強度計算結果，水平運動設備和帶有平衡重（平衡重與承載件和負載基本平衡）的升降設備，其卷筒軸上扭轉切應力的變化屬于對稱循環的范疇；不帶平衡重的升降設備，卷筒軸上扭轉切應力的變化屬于脈動循環的范疇。

4）舞臺機械相關標準[6]中規定了所有驅動系統的零部件應能承受2倍特征載荷，這里隱含了安全系數的概念，舞臺機械設備中的卷筒軸適合采用精確強度校核計算的方法，且其計算結果更加客觀準確。

5）在軸的強度計算和校核中，需注意設備可能產生較大的峰值載荷，峰值載荷通常發生在故障情況，如控制系統斷電、卡阻停車和0類急停等，應將2倍的特征載荷與峰值載荷產生的扭矩進行對比，選取大者作為軸強度計算校核的輸入值。

6）增加軸的強度不僅可以通過增大軸的直徑達到，還可以通過改進軸的結構、降低應力集中、提高軸的表面質量、采用熱處理或改用較高強度的材質實現。在舞臺機械設備中，還有很多是類似于緊湊型卷筒軸的零件，其強度的計算校核同樣可參考本文。