歐拉剛體旋轉定理虛擬實驗設計*

◆崔玉鑫 楊彬 楊洋 王超飛

0 前言

歐拉旋轉定理[1]是由瑞士著名數學家和物理學家萊昂哈德·歐拉提出的：剛體繞定點的任意有限轉動可由繞過該點某根軸的一次有限轉動實現。可理解為剛體從一個姿態運動到任意一個姿態可由繞某根軸一次轉動某個角度實現。該軸稱為歐拉一次轉軸，該角稱為歐拉一次轉角。

歐拉旋轉定理是剛體運動學中非常經典的定理之一，其研究意義在于：一方面，它是轉動四元數和歐拉四元數姿態坐標的理論依據；另一方面，該定理蘊含了剛體姿態問題的幾乎所有內容，理解了該定理也就弄清了剛體姿態問題的實質。但由于歐拉旋轉定理非常抽象[2-3]，在三維空間一般很難找到歐拉一次轉軸和歐拉一次轉角，必須經過復雜的計算才能獲得，即使這樣也很難想象繞歐拉一次轉軸轉動歐拉一次轉角后，剛體能夠轉到什么姿態，使得學生學習起來很困難。為此，本文借助國家級虛擬仿真實驗教學中心——機械虛擬仿真實驗教學中心的建設機會，設計一套證明歐拉旋轉定理的虛擬實驗臺。

1 實驗臺總體結構與實驗原理

實驗臺結構與作用 如圖1所示，該實驗臺由兩個裝置組成，即裝置一和裝置二。

圖1 歐拉旋轉定理虛擬實驗臺視圖

裝置一的作用是設定剛體在空間中某一任意姿態。上端的類似長方體的物體代表剛體，下端為支座，剛體與下端支座之間通過一個萬向節和一個轉動鉸相連，使得剛體與支座之間有三個相對自由度，從而能夠達到有限范圍內的任意姿態。

裝置二的作用是通過測量和計算得到的裝置一中剛體轉動的歐拉一次轉軸和歐拉一次轉角來重現裝置一中剛體的姿態，從而達到歐拉旋轉定理的演示目的，同時證明歐拉旋轉定理的正確性。裝置二的上端是一個與裝置一中相同的剛體，下端為支座，與支座相連的為一繞z軸轉動的轉動鉸，設轉角為H；與這個轉動鉸相連的是一個繞x軸轉動的轉動鉸，設轉角為p，利用這兩個轉動鉸可確定歐拉一次轉軸p。與剛體相連的是一個球鉸，其作用是將剛體調整回初始姿態，原因是：在確定歐拉一次轉軸過程中進行兩次轉動，剛體也隨之轉動，使得確定歐拉軸之后剛體的姿態不在初始姿態，而裝置一中的剛體姿態是從初始姿態開始變化的。為了實現姿態的復現，完成歐拉一次轉動，則裝置二中的剛體也要由初始姿態開始轉動。球鉸的下邊是一個轉動鉸（歐拉一次轉動鉸），當利用與支座相連的兩個轉動確定了歐拉一次轉軸之后，歐拉一次轉鉸的軸線方向即為該方向。將剛體調整回初始姿態并鎖死球鉸后，便可以利用歐拉一次轉動鉸轉過歐拉一次轉角θ來實現歐拉旋轉定理的演示。

實驗原理 設在裝置一中，通過其上的刻度尺讀出的各個轉動的角度分別是φ1,φ2,φ3，利用這三個角度可以計算出剛體所處的姿態，即方向余弦陣：

其中，s1=sinφ1，c1=cosφ1，其余類似。

歐拉一次轉軸和歐拉一次轉角的計算方法如下。

1）利用解線性方程組的高斯消去法計算方向余弦陣對應于特征值為1的特征向量，并進行單位化處理，得到歐拉一次轉軸p1、p2、p3。

2）根據式（2）計算cθ：

3）找出最大的pi，設其為pm，將其帶入式（3）中的一式可求出sθ：

4）根據sθ和cθ，利用計算機語言的數學函數θ=atan2(sθ,cθ)，便可計算出歐拉一次轉角。

裝置二中的轉角為H和P的計算方法見式（4）。

2 虛擬實驗

如圖2所示，設裝置一的剛體被搬動到該位置，各轉軸處轉角分別為10°、20°、30°，則計算得到的方向余弦陣見式（5）。

圖2 裝置一剛體運動到任意姿態

然后將裝置二中的剛體轉回初始姿態，如圖3所示，并將球鉸鎖定。

圖3 裝置二剛體運動到任意姿態

最后將裝置二中的剛體繞球鉸下面的轉動鉸轉動歐拉一次轉角，即完成歐拉一次轉動，剛體從初始姿態轉動到裝置一中剛體的姿態，如圖4所示，從而證明歐拉旋轉定理。

圖4 裝置二剛體進行歐拉一次轉動后與裝置一姿態相同

3 結語

針對剛體運動學相關課程教學過程中的歐拉旋轉定理難以講授、不易理解的問題，本文設計一套證明該定理的虛擬實驗臺，分析實驗原理、實驗步驟以及相應參數的解算方法，通過實例說明、證明虛擬實驗的有效性。實驗改革措施經筆者三年多的實踐，效果較為令人滿意。