軸承共腔結(jié)構(gòu)渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)相似模型設(shè)計(jì)

劉 準(zhǔn) ，廖明夫 ，鄧旺群 ，劉文魁

（1.西北工業(yè)大學(xué)動(dòng)力與能源學(xué)院，西安710129；2.中國航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，湖南株洲412002）

0 引言

國內(nèi)外新一代的渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)采用了燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子和動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子共用的軸承共腔結(jié)構(gòu)取代了原有渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)獨(dú)立的排氣框架和燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子后支點(diǎn)結(jié)構(gòu)，具有體積小、工作轉(zhuǎn)速高以及雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合振動(dòng)明顯等特點(diǎn)，試驗(yàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性相對復(fù)雜同時(shí)傳感器的布置變得較為困難。因此，采用臨界轉(zhuǎn)速較低、體積較大的試驗(yàn)?zāi)Ｐ娃D(zhuǎn)子進(jìn)行轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)是一種廉價(jià)、高效的選擇。

針對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析在國內(nèi)外已經(jīng)得到了相對完善的研究。鄧旺群等[1]針對渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)高速轉(zhuǎn)子進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)特性的計(jì)算；Chiang 等[2]分析了單轉(zhuǎn)子和雙轉(zhuǎn)子的耦合動(dòng)力學(xué)特性；章健等[3]研究了共用支承結(jié)構(gòu)即共腔結(jié)構(gòu)的傳力特性和耦合特性，為軸承共腔結(jié)構(gòu)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)計(jì)算提供了參照。

此外，很多研究已經(jīng)對單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相似設(shè)計(jì)進(jìn)行了詳盡地分析。其中，羅忠等[4-5]分析了轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相似中軸承參數(shù)以及薄壁件結(jié)構(gòu)的影響；王永亮等[6]在考慮陀螺效應(yīng)的情況下討論了單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相似準(zhǔn)則；Wu[7]詳細(xì)對比了通過相似模型與原型轉(zhuǎn)子的振型對應(yīng)關(guān)系，在實(shí)際計(jì)算中單轉(zhuǎn)子相似模型與原型轉(zhuǎn)子的振型相似度約為70%。

在本研究中作為設(shè)計(jì)目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)相似試驗(yàn)器采用空心電機(jī)驅(qū)動(dòng)燃?xì)獍l(fā)生器，因此動(dòng)力渦輪與燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子的長度差更大，動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子和燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子無法保持相同的相似比。因此，結(jié)合雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)耦合計(jì)算方法對現(xiàn)有的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相似理論進(jìn)行了小的改進(jìn)，使擁有不同相似比的轉(zhuǎn)子正確耦合，保證相似后的軸承共腔結(jié)構(gòu)模擬雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)總體上與原發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子在振型和臨界轉(zhuǎn)速上比例相似。此外，由于試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮谙嗨瞥叽缈s放過程中的小結(jié)構(gòu)與渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)上的零件不可能完全成比例，因此試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭写嬖谠S多畸變。為了減小這些畸變的不利影響，在給定的臨界轉(zhuǎn)速相似比和雙轉(zhuǎn)子長度相似比條件下，本文提出了一種基于有限元方法和多島遺傳算法的方法，并通過計(jì)算實(shí)例驗(yàn)證了該方法和理論的有效性。

1 模態(tài)分析與相似理論準(zhǔn)備

1.1 模態(tài)分析

有限元分析方法是一種離散連續(xù)系統(tǒng)的方法，通過建立運(yùn)動(dòng)微分方程的離散微分模型，并進(jìn)行數(shù)值求解，計(jì)算和分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。在本文工作中，采用1 維有限元分析方法具有計(jì)算速度快、結(jié)果簡潔易分析的特點(diǎn)，其主要操作步驟如下。

（1）將連續(xù)模型離散化為有限數(shù)量的簡單單元，將盤參數(shù)化為具有質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的參數(shù)節(jié)點(diǎn)。定義每個(gè)單元節(jié)點(diǎn)，用節(jié)點(diǎn)位移表示單元中任意一點(diǎn)的位移。當(dāng)1 個(gè)系統(tǒng)有N個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，元素為N-1 個(gè)。節(jié)點(diǎn)的廣義位移為

式中：V和W為節(jié)點(diǎn)的位移；B和Γ為軸在節(jié)點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角[8-9]。

（2）通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)獲得各單元的動(dòng)能和勢能表達(dá)式，利用拉格朗日方程得到各單元的運(yùn)動(dòng)微分方程；裝配單元體矩陣，最終得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

（3）通過求解式（2）得到系統(tǒng)各階臨界轉(zhuǎn)速和相應(yīng)的模態(tài)振型[10]，最終得到節(jié)點(diǎn)廣義位移1維數(shù)組

1.2 動(dòng)力學(xué)相似理論

轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相似一般包括固有頻率、模態(tài)振型和特定狀態(tài)下的不平衡響應(yīng)（根據(jù)情況要求應(yīng)變能分布相似）。單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性可以由復(fù)數(shù)微分方程[11]

為了保證式（6）始終成立，左、右部分的實(shí)部和虛部的系數(shù)應(yīng)相等，即

得到與轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相似的4個(gè)基本公式

為使雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子和動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子正確耦合，首先應(yīng)保證模型雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各階固有頻率與原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各階固有頻率比相同。

此外，對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)必須在2 個(gè)轉(zhuǎn)子耦合的節(jié)點(diǎn)擁有相同的撓度。本文的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)應(yīng)在軸承共腔結(jié)構(gòu)外傳力框架處具有相同的撓度。偏心量相似比與其他參數(shù)相似比之間的關(guān)系為

2 畸變模型的相似優(yōu)化

在理想條件下，根據(jù)動(dòng)力學(xué)相似理論建立的模型轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速相似比和模態(tài)振型方面應(yīng)與原型轉(zhuǎn)子完全相似。然而，這種相似模型在實(shí)際工程應(yīng)用中無法實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樵趯?shí)際工作中總是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)件或加工原因存在設(shè)計(jì)畸變。 因此，本文基于實(shí)值遺傳算法提出了1種優(yōu)化模態(tài)參數(shù)（m,l,d,ρ,E）[12]的優(yōu)化算法。

（1）模態(tài)振型置信度MAC。模態(tài)振型置信度（Modal Assurance Criterion）是對2 種模態(tài)振型一致性的度量[13]，定義為2個(gè)模態(tài)振型的夾角余弦值的平方

式中：ψpr為原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)第r階模態(tài)的振型；ψmr為模型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)第r階模態(tài)的模態(tài)向量。

多模態(tài)振型置信度MCO（Coordinate Modal Assur?ance Criterion）是模態(tài)保證準(zhǔn)則的擴(kuò)展，綜合反映了多階模態(tài)的模態(tài)振型的總體一致性

（2）遺傳算法優(yōu)化。為了控制相似模型轉(zhuǎn)子的相似質(zhì)量，在相似模型的設(shè)計(jì)優(yōu)化中引入了多島遺傳算法（Genetic Algorithm）。在本文中采用實(shí)數(shù)編碼遺傳算法對轉(zhuǎn)子參數(shù)值進(jìn)行直接優(yōu)化，無需將轉(zhuǎn)子的實(shí)值參數(shù)轉(zhuǎn)換為浮點(diǎn)數(shù)，更加直觀易于操作[14]。

通過多島遺傳算法進(jìn)行相似度優(yōu)化。首先，將帶有畸變的原始相似模型的所有可優(yōu)化變量參數(shù)構(gòu)造成1 個(gè)數(shù)組，作為初始個(gè)體，見式（12）。其次，通過對初始個(gè)體中的參數(shù)進(jìn)行上下浮動(dòng)構(gòu)造搜索空間并在搜索空間中隨機(jī)生成大量的轉(zhuǎn)子模型，將隨機(jī)生成的轉(zhuǎn)子模型分組處理形成幾個(gè)初始種群。再次，對初始種群中的1 維轉(zhuǎn)子模型批量進(jìn)行有限元分析得到每個(gè)轉(zhuǎn)子對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速和模態(tài)振型，進(jìn)一步計(jì)算適應(yīng)度。執(zhí)行遺傳算法標(biāo)準(zhǔn)的選擇、交叉和變異操作，獲取新一代的種群。重復(fù)這些過程以獲得總體相似質(zhì)量更好的種群。最終選擇最后一代種群中適應(yīng)度（即相似質(zhì)量）最好的個(gè)體。

式中：n、m、l、x、y、z為各種可變參數(shù)數(shù)量。

采用實(shí)值遺傳算法優(yōu)化轉(zhuǎn)子的算法結(jié)構(gòu)流程如圖1所示。

圖1 遺傳算法相似優(yōu)化流程

在遺傳算法中最關(guān)鍵的步驟是對個(gè)體的適應(yīng)度評價(jià)，構(gòu)造合適的適應(yīng)度函數(shù)能夠確保算法能夠篩選掉不合適的轉(zhuǎn)子模型留下更為相似的轉(zhuǎn)子模型。

為了保證相似模型與原始模型具有相同的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性，2 種模型的模態(tài)形狀應(yīng)高度相似。與單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的類似工作不同，為了保證雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的適當(dāng)耦合，功率渦輪轉(zhuǎn)子和氣體發(fā)生器在任何時(shí)候都應(yīng)該處于相同的狀態(tài)，意味著雙轉(zhuǎn)子的臨界速度應(yīng)該成正比。因此，適應(yīng)度函數(shù)應(yīng)該至少是MAC（或MCO）和臨界速度的組合。計(jì)算結(jié)果表明：在考慮多階振型（大于4）的情況下，利用MCO建立適應(yīng)度函數(shù)的效果不理想。原因是MCO包含了太多的階次模態(tài)向量信息，缺乏重點(diǎn)，經(jīng)常存在某1 階模態(tài)的MAC較低而MCO較高的情況。因此，推薦MAC的適應(yīng)度與臨界速度的懲罰函數(shù)相結(jié)合，由不重要模態(tài)向重要模態(tài)依次進(jìn)行單階優(yōu)化。

為衡量臨界轉(zhuǎn)速與目標(biāo)臨界轉(zhuǎn)速的偏差值，設(shè)計(jì)臨界轉(zhuǎn)速罰函數(shù)

式中：Ωpr、Ωmr分別為是原型、模型轉(zhuǎn)子的第r階臨界轉(zhuǎn)速；Sc為設(shè)計(jì)目標(biāo)中的臨界轉(zhuǎn)速相似比。

結(jié)合MAC值和臨界轉(zhuǎn)速罰函數(shù)的的適應(yīng)度值為

為了提高優(yōu)化算法的執(zhí)行效率，本文采用了動(dòng)態(tài)代溝（篩選比例）的篩選策略。在開始以較高的淘汰率來縮小搜索區(qū)域，然后以較低的淘汰率進(jìn)行精細(xì)優(yōu)化。本文設(shè)計(jì)的代溝函數(shù)為

式中：n為單個(gè)世代所有種群中個(gè)體（模型轉(zhuǎn)子）的數(shù)量；Fitnr為這一代模型群中個(gè)體的最高適應(yīng)度。

在本文中，交叉算子設(shè)置為0.7，變異算子設(shè)置為0.1，均保持不變。

3 原型轉(zhuǎn)子和目標(biāo)模型轉(zhuǎn)子

原型渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)是雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，2 個(gè)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向相同，結(jié)構(gòu)如圖2 所示。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有6 個(gè)軸承。動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子是支撐在1、2、5、6 號軸承上的懸臂轉(zhuǎn)子，燃?xì)獍l(fā)生器是支撐在3、4 號軸承上的簡支轉(zhuǎn)子。軸承4～6安裝在軸承共腔結(jié)構(gòu)過渡段中。燃?xì)獍l(fā)生器與動(dòng)力渦輪通過軸承共腔結(jié)構(gòu)耦合振動(dòng)。

圖2 原型發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子模型

軸承共腔結(jié)構(gòu)安裝在柔性的渦輪導(dǎo)向器上，動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子和燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子的振動(dòng)耦合特性可以通過調(diào)整共腔結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

由于試驗(yàn)轉(zhuǎn)子的燃?xì)獍l(fā)生器采用空心電機(jī)驅(qū)動(dòng)，動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子與燃?xì)獍l(fā)生器無法保證相同的長度相似比如（圖3）所示。為使空心電機(jī)有足夠安裝空間，動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子和燃?xì)獍l(fā)生器上應(yīng)采用不同的目標(biāo)相似度。

圖3 相似目標(biāo)模型

4 有限元建模和相似性設(shè)計(jì)

4.1 建模與相似性設(shè)計(jì)

由于后續(xù)的遺傳算法優(yōu)化步驟需要進(jìn)行大量的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析，因此用1 維有限元方法分析原型轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性。將原型轉(zhuǎn)子的3 維轉(zhuǎn)子模型離散為具有79個(gè)節(jié)點(diǎn)的1維模型。其中，動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子有38個(gè)節(jié)點(diǎn)，燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子有36個(gè)節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)為軸承共腔結(jié)構(gòu)模型。動(dòng)力渦輪通過5、6 號軸承連接到共腔結(jié)構(gòu)過渡段，燃?xì)獍l(fā)生器通過4 號軸承與共腔結(jié)構(gòu)過渡段連接。共腔結(jié)構(gòu)過渡段可被視作支承在一彈性支承系統(tǒng)上，該支承系統(tǒng)由1 個(gè)徑向彈性支承和1個(gè)角向彈性支承以及對應(yīng)的阻尼器組成。

本文設(shè)計(jì)目標(biāo)轉(zhuǎn)速相似比設(shè)置為0.3，動(dòng)力渦輪尺寸相似比設(shè)置為1.7。為方便比較模型轉(zhuǎn)子和原型轉(zhuǎn)子之間的差別，相似模型轉(zhuǎn)子的1 維參數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)與原型轉(zhuǎn)子保持一致。相似工作轉(zhuǎn)速覆蓋經(jīng)相似比換算后的原型轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速。

考慮到加工和材料性能，相似模型轉(zhuǎn)子不能理想地與原型轉(zhuǎn)子相似。因此，通過相似原理直接得到的轉(zhuǎn)子模型需要經(jīng)過可行化調(diào)整后才可加工。

本文相似比例模型的畸變主要來自以下幾方面。首先，原型轉(zhuǎn)子盤是不規(guī)則盤，在相似比例模型中被轉(zhuǎn)換為同重心位置處的規(guī)則轉(zhuǎn)子盤。 其次，由于受加工條件限制，將原型轉(zhuǎn)子動(dòng)力渦輪的空心軸改為普通軸。再次，彈性支承為防止失穩(wěn)的剛度不能無限減小。此外，還有因材料屬性限制和封嚴(yán)件等小結(jié)構(gòu)差異造成的非人為畸變，將畸變設(shè)計(jì)于初始比例模型，構(gòu)造出原始的畸變模型。

此時(shí)，畸變模型的模態(tài)振型和原型轉(zhuǎn)子的模態(tài)振型產(chǎn)生了一定偏差，需要優(yōu)化轉(zhuǎn)子的振型和應(yīng)變能參數(shù)才能達(dá)到相似要求，本文采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化。

首先將待優(yōu)化參數(shù)形成1個(gè)數(shù)組，并根據(jù)參數(shù)類型給出上下界。 使用第2 章中提到的遺傳算法方案對畸變模型進(jìn)行優(yōu)化，并對畸變模型轉(zhuǎn)子與原型轉(zhuǎn)子之間的振型置信度進(jìn)行優(yōu)化，如圖4 所示。考慮前4種自激模態(tài)（前2 階動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子模態(tài)和前2 階燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子自激模態(tài)），優(yōu)化前后模型轉(zhuǎn)子的振型置信度至少增加了14%。其中動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子第2 階振型置信度值較低（93%）是因?yàn)樵撾A模態(tài)為動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子彎曲模態(tài)，在工程設(shè)計(jì)中動(dòng)力渦輪剛度畸變較大，給出的設(shè)計(jì)限制無法滿足更高的振型相似度。

圖4 振型優(yōu)化效果

4.2 結(jié)果與誤差分析

分析原型轉(zhuǎn)子和模型轉(zhuǎn)子的振型，各階模態(tài)振型如圖5所示。左列為原型轉(zhuǎn)子振型，右列為模型轉(zhuǎn)子振型。

圖5 計(jì)算振型對比

從圖中可見，相似模型轉(zhuǎn)子的動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子振型與原型轉(zhuǎn)子具有較高的一致性，而燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子振型比原型轉(zhuǎn)子更加平直，這是在加工時(shí)人工調(diào)整的。在設(shè)計(jì)中仍然保證了軸承共腔結(jié)構(gòu)內(nèi)的3 個(gè)軸承偏心率成比例，這意味著動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子和燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子之間的耦合正確性得到了保證。

原型轉(zhuǎn)子和模型轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速見表1。從表中可見，相似模型轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速相似比得到了良好地控制。

表1 原型轉(zhuǎn)子和模型轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速對比

在相同不平衡量作用下，相同結(jié)構(gòu)的對轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)較同轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子更為顯著[15]，這種響應(yīng)差異主要來源于陀螺力矩的不同，相似轉(zhuǎn)子的陀螺力矩也是相似的。因此，本文僅討論動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子和燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子同轉(zhuǎn)情形下的不平衡響應(yīng)情況。模型轉(zhuǎn)子和原型轉(zhuǎn)子在動(dòng)力渦輪2 個(gè)典型位置處的不平衡響應(yīng)如圖6~9所示。上方是原型的不平衡響應(yīng)，下方是相似模型轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)。從圖中可見，不平衡響應(yīng)峰值出現(xiàn)的轉(zhuǎn)速值成比例。響應(yīng)峰值高度和寬度不同是因?yàn)? 種模型的不平衡量和阻尼并未設(shè)置在同一相似比上。

圖6 原型轉(zhuǎn)子動(dòng)力渦輪軸中央同位置不平衡響應(yīng)

圖7 相似模型動(dòng)力渦輪軸中央同位置不平衡響應(yīng)

圖8 原型轉(zhuǎn)子動(dòng)力渦輪第2級盤處不平衡響應(yīng)

圖9 相似模型動(dòng)力渦輪第2級盤處不平衡響應(yīng)

5 結(jié)論

本文以一種軸承共腔結(jié)構(gòu)雙轉(zhuǎn)子渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)為研究對象，開發(fā)了1 套動(dòng)力學(xué)相似設(shè)計(jì)和優(yōu)化方法，并用該方法建立了與該型發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)力學(xué)相似的雙轉(zhuǎn)子試驗(yàn)器模型。討論了軸承共腔結(jié)構(gòu)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在2 個(gè)轉(zhuǎn)子具有不同相似比下的設(shè)計(jì)方法，通過保證撓度的方法讓雙轉(zhuǎn)子正確耦合。

以有限元算法和多島遺傳算法為基礎(chǔ)建立了軸承共腔結(jié)構(gòu)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相似設(shè)計(jì)方法，建立了基于臨界轉(zhuǎn)速和振型置信度的相似質(zhì)量衡量指標(biāo)函數(shù)即適應(yīng)度函數(shù)。經(jīng)軸承共腔結(jié)構(gòu)發(fā)動(dòng)機(jī)模型驗(yàn)證，采用該方法優(yōu)化后雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振型置信度MAC可以達(dá)到0.8 以上，臨界轉(zhuǎn)速相似比具有較好的一致性。該方法理論上可以推廣至其它轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)相似工作中。