數字信號處理課程中利用DFT分析模擬信號頻譜的幾個問題

劉會衡 王正強 宋立新

摘 ?要： DFT是數字信號處理課程中一種最重要的、應用最廣泛的變換。利用DFT可以分析模擬信號的頻譜，但譜分析過程中存在頻譜混疊、柵欄效應和截斷效應等問題。在改善這些問題的同時，需要注意高密度頻譜和高分辨率頻譜的區別。通過Matlab仿真可以直觀明了地觀察到這些問題，能有效提高教學效果。

關鍵詞： DFT; 譜分析; 數字信號處理; 模擬信號

中圖分類號：TN911.72 ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ?文章編號：1006-8228（2020）06-13-04

Abstract： The DFT （Discrete Fourier Transform） is one of the most important and widely used transformations in the course of digital signal processing. DFT can be used to analyze the spectrum of analog signal， but there are some problems in the process of spectrum analysis， such as spectrum aliasing， fence effect and truncation effect. When improving these problems， it is necessary to pay attention to the difference between high-density spectrum and high-resolution spectrum. Matlab simulation can directly and clearly observe these problems， which can effectively improve the teaching effect.

Key words： DFT; spectrum analysis; digital signal processing; analog signal

0 引言

數字信號處理課程是電子信息類、自動化、機械工程等專業的一門重要專業基礎課程[1]。主要內容包括離散時間信號和系統的基本概念以及時域分析方法、離散時間信號的FT和ZT變換、離散時間信號的DFT和FFT變換、系統的網絡結構、FIR和IIR濾波器的設計等內容。數字信號處理課程是本科階段專業領域一門非常重要的課程，理論性比較強，同時也是一門實踐性和應用性都很強的課程[2]。課程的公式多，理論概念復雜，數學推導抽象，學生不容易理解和掌握[2-3]。在實際教學過程中，可以借助Matlab等仿真軟件，以直觀形象的方式來展現復雜的理論及其應用情況[4-5]。

DFT變換是數字信號實際應用中最常用的一種方法和手段，例如，利用DFT分析模擬信號的頻譜，課程也對這一應用做了講解，但在應用過程中，存在各種分析誤差以及頻譜分辨率等問題。

1 DFT變換

設x（n）是一個長度為M的有限長序列，則x（n）的N點DFT變換：

這里，N為DFT變換的長度，N≥M。DFT變換在時域是離散的、非周期的，在頻域也是離散的、非周期的，所以適合計算機進行處理。

2 利用DFT進行譜分析

設x（t）為長Tp的有限長模擬信號，頻譜X（jΩ）的最高頻率為fc，現要求利用DFT對x（t）進行譜分析。DFT只能分析數字信號，所以首先需要對模擬信號進行采樣得到離散信號，然后進行DFT變換。假設采樣頻率為fs，采樣間隔為Ts，采用后的信號為x（n）。從信號與系統知識可知：時域抽樣，頻域周期延拓。抽樣后，信號x（n）的FT變換為：

從而實現了模擬信號的DFT譜分析。

3 DFT譜分析的幾個問題

以單余弦信號為例，利用DFT進行譜分析。

⑴ 頻譜混疊

要進行DFT譜分析，首先要把模擬信號采樣得到離散信號。x（t）的最高頻率為1000Hz，根據采樣定理Hz。如果采樣頻率fs不滿足采樣定理，則將會在fs/2附近發生頻率混疊現象，此時用DFT進行譜分析，必然在fs/2附近產生較大誤差。工程中一般取fs=（3-5）fc。確定采樣頻率fs前，一般需對信號進行預濾波，以濾除高于折疊頻率的頻率成分。在本信號分析中，取采樣頻率fs=4fc=4000Hz，則序列為：

⑵ 柵欄效應

由上述分析可知，對于有限長的帶限信號，在滿足時域采樣定理時，可用利用DFT變換分析模擬信號的頻譜，即可由X（k）恢復出X（jΩ）或x（t）。但由于X（jΩ）是連續的頻譜，而X（k）是離散的頻譜，所以由X（k）無法看到X（jΩ）的全部頻譜，而只能看到N個離散采樣點處的頻譜，就像隔著柵欄看外面的風景，這就是DFT譜分析產生的柵欄效應。要改善柵欄效應，可在數據末尾添加一些0值實現。

⑶ 截斷效應

實際譜分析中，模擬信號的x（t）可能是無限長的信號，計算機無法進行處理，需要進行截斷，例如利用矩形窗進行截斷，截斷長度為Tp（數據長度為N）：

對式⑼求FT變換得到有限長序列y（n）的頻譜，如圖2所示。

余弦信號的頻譜是在±1000Hz處的兩根譜線，而圖2所示截斷信號y（n）的頻譜顯然不同，這是因為對信號做了截斷處理，產生了誤差。截斷效應的第一個表現是頻譜泄露，x（n）原來的頻譜是在±1000Hz處的兩根譜線，而截斷后信號的頻譜向±1000Hz兩邊進行了擴展，即頻譜從±1000Hz處向外泄露了。截斷效應的第二個表現是譜間干擾，從圖2可以看出±1000Hz處的兩根譜線不斷向兩邊擴展，引起了頻譜重疊，相互間發生了干擾，其原因是矩形窗的旁瓣引起的。要改善截斷效應，可以采用緩慢變換的窗函數，如海寧窗、布萊克曼窗等，并截取更長的數據長度，以獲得更多的數據信息。

⑷ 頻譜密度與頻譜分辨率

利用DFT對模擬信號進行譜分析，會產生柵欄效應。要改善柵欄效應，也即增加頻譜密度，可以通過在數據末尾添加0值來實現。仍以信號x（t）/x（n）為例，若截取信號長度N=10，截取后的信號y1（n）的序列圖如圖3所示，圖中虛線表示連續的余弦信號x（t）。

其M=10點的DFT頻譜如圖4所示。

圖中虛線為y1（n）的FT變換。從圖中可以看出，DFT變換就是在內對序列的連續頻譜進行M點的等間隔抽樣。

但是，由于只截取了10點的數據長度，頻譜密度不高，要得到高密度的頻譜，可以在數據末尾添加多個0來實現。這里在x（n）的后面添加90個0，即：

其M=100點的DFT頻譜如圖6所示。

對比圖4和圖6可以看出，在數據末尾添加0值，可以得到高密度的頻譜，但頻譜分辨率并沒有改善，仍然無法觀察到±1000Hz處的兩根譜線。

其M=100點的DFT頻譜如圖8所示。

從圖8可以看出，增加了截取的數據長度后，包含了更多的數據信息，頻譜的分辨率提高了，從而可以精確得到模擬信號x（t）的頻譜。

4 結束語

DFT變換中，信號是有限長的，其頻譜也是帶限的，非常適合計算機進行處理，所以DFT是數字信號處理中一種應用性很強的重要變換。利用DFT變換可以對模擬信號進行譜分析，但會產生頻譜混疊、柵欄效應和截斷效應等問題。要避免頻譜混疊，需對模擬信號進行預濾波處理以獲取信號最高頻率，同時滿足采樣定理。要改善柵欄效應，得到高密度頻譜，可通過在數據末尾添加0值來實現，由于并未改變數據的信息量，所以該方式無法提高頻譜分辨率。要減小截斷效應，獲得高分辨率頻譜，除了采用緩慢變換的窗函數外，最有效的方法是截取更長的數據，以保留更多的有用信息。在實際教學過程中，通過Matlab仿真，可以直觀地觀察到信號頻譜的變化及其特征，將復雜、難懂的概念和應用，以簡單直觀的方式呈現給學生，能有效的提高學習效果。

參考文獻（References）：

[1] 李宏年.數字信號處理課程教學方法探索[J].信息與電腦，2019.22：243-244

[2] 火元蓮，齊永鋒.信號類課程的實踐教學改革與探索[J].高師理科學刊，2019.39（8）：87-90

[3] 趙發勇，劉積學，周小波.數字信號處理教學研究：基于問題學習的探究式教學案例[J].當代教育實踐與教學研究，2018.11：203-205

[4] 孔令杰.應用型人才培養模式下的《數字信號處理》課程教學探究[J].中國教育信息化，2019.19：77-81

[5] 譚北海，彭秋明，姚小嬌等.高等院校信號與系統課程教學輔助探究與實踐[J].實驗科學與技術，2018.16（2）：70-73