基于變分模態(tài)分解的侵徹過載信號特征提取

張晨陽，張 亞，李培英，李世中，趙海峰

(1.中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山西 太原 030051;2.邯鄲學(xué)院，河北 邯鄲 056005;3.南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210023)

0 引言

彈體在侵徹彈靶過程中產(chǎn)生的減加速度稱為侵徹過載信號[1]。侵徹過載信號的成分復(fù)雜，不僅包括由彈體和彈靶的應(yīng)力作用產(chǎn)生的剛體加速度，還包括彈體的振動(dòng)響應(yīng)、彈靶的應(yīng)力波響應(yīng)以及噪聲等干擾信號[2]。因此，分析侵徹過載信號的首要任務(wù)在于尋找一種有效的信號特征提取方法，濾除侵徹過載信號中的干擾信號，提取到僅由應(yīng)力作用產(chǎn)生的侵徹過載信號[3-4]。

文獻(xiàn)[5]采用機(jī)械濾波的方法在壓電傳感器的兩端加入減震片，只能濾除指定頻率范圍的干擾信號，無法提取出疊加在彈體上的頻率響應(yīng)。文獻(xiàn)[6]采用小波分解法，相對完整地保留了侵徹過載信號中的波峰部分和突變部分，但該方法只能表征以低頻信號為主要成分的信號特性，不能有效分解包含大量細(xì)節(jié)信息的信號，并且其算法本身缺乏自適應(yīng)性,容易受到小波基函數(shù)、分解層數(shù)以及閾值的影響。文獻(xiàn)[7]采用小波包分解法，對分解后的高、低頻分解系數(shù)繼續(xù)分解，得到了更精確的頻譜成分以及更多頻段信號所包含的信息。文獻(xiàn)[8]采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition,EMD)循環(huán)篩分的方式實(shí)現(xiàn)了信號的有效分解，但EMD以包絡(luò)線分解結(jié)束作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，缺乏理論支撐，且多次遞歸分解會放大包絡(luò)估計(jì)誤差，容易出現(xiàn)模態(tài)混疊和端點(diǎn)效應(yīng)問題。集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和完備集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解在一定程度上解決了EMD的模態(tài)混疊問題，但同時(shí)加大了算法計(jì)算量，且仍未解決端點(diǎn)效應(yīng)問題[9-10]。文獻(xiàn)[11]根據(jù)變分思想和維納濾波器提出一種非遞歸式變分模態(tài)分解(variational mode decomposition,VMD)算法，該算法的循環(huán)迭代過程是在變分模型的約束下進(jìn)行，通過求取有限變分模型的最優(yōu)解，確定每個(gè)本征模態(tài)函數(shù)的中心頻率和帶寬，然后根據(jù)輸入信號的頻域特征，實(shí)現(xiàn)信號各頻率成分的自適應(yīng)分解[12-13]。該方法目前已實(shí)際應(yīng)用于軸承故障診斷、生物組織識別診斷、復(fù)雜信號分析處理等方面[14-15]。針對傳統(tǒng)侵徹過載信號處理方法存在濾波效果不佳、模態(tài)混疊、端點(diǎn)效應(yīng)、自適應(yīng)性差的問題，本文提出基于變分模態(tài)分解的侵徹過載信號特征提取方法。

1 VMD理論

VMD是基于維納濾波、希爾伯特變換與解析信號、頻率混合等理論基礎(chǔ)提出的一種信號分解方法，以尋找變分模型的最優(yōu)解為目標(biāo)，將信號自適應(yīng)地分解為有限個(gè)具有稀疏特性的模態(tài)函數(shù)。

1.1 維納濾波

含有高斯白噪聲的時(shí)域信號表達(dá)式如下：

f0=f+n

(1)

式(1)中，f0為觀測信號，f為原始信號，n為均值為0的高斯白噪聲。

從含噪的觀測信號中恢復(fù)出原始信號是一個(gè)病態(tài)逆問題，可采用Tikhonov正則化求解，即構(gòu)造式(2)：

(2)

式(2)中，α為高斯白噪聲方差，?tf為f對t求偏導(dǎo)。利用歐拉-拉格朗日方程可將式(2)化為：

(3)

通過傅里葉變換，得到上式在頻域內(nèi)的解為：

(4)

原始信號f是觀測信號f0在ω=0附近的低通窄帶，因此維納濾波器對信號具有一定的降噪能力。除此之外，維納濾波器對信號還具有一定的約束能力，為建立VMD算法中的約束變分模型奠定了基礎(chǔ)。

1.2 希爾伯特變換與解析信號

設(shè)f(t)為一個(gè)連續(xù)的時(shí)間信號，其希爾伯特變換定義為：

(5)

式(5)中，H算子表示希爾伯特變換，f(t)的希爾伯特變換為f(t)與1/πt的卷積，表明希爾伯特變換所得結(jié)果為線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)h(t)=1/πt，對應(yīng)的傅里葉變換見式(6)，因此希爾伯特變換可視為一個(gè)全通濾波器。

(6)

希爾伯特變換常用于構(gòu)造實(shí)信號的解析信號。設(shè)信號f(t)為實(shí)信號，其復(fù)數(shù)解析信號定義為：

fA(t)=f(t)+jHf(t)=A(t)ejφ(t)

(7)

式(7)中，A(t)為振幅，φ(t)為相位。VMD中模態(tài)函數(shù)的振幅變化緩慢，根據(jù)Bedrosian定理，可將解析信號化為：

uk,A(t)=Ak(t)[cos(φ(t))+jsin(φ(t))]=
Ak(t)ejφ(t)

(8)

解析信號的單邊頻譜僅由非負(fù)頻率組成，因此可通過求解析信號的實(shí)部恢復(fù)出原始實(shí)信號。

f(t)=R{fA(t)}

(9)

1.3 頻率混合

頻率混合是指在處理多個(gè)不同頻率的非線性信號時(shí)，分析結(jié)果中出現(xiàn)頻率交叉項(xiàng)的現(xiàn)象。設(shè)兩個(gè)非線性信號的頻率分別為ω1和ω2，二者相乘結(jié)果如下：

2cos(ω1t)cos(ω2t)=
cos[(ω1+ω2)t]+cos[(ω1-ω2)t]

(10)

在輸出端得到兩個(gè)混合頻率ω1+ω2和ω1-ω2。同樣，用解析信號表示可得：

ejω1tejω2t=ej(ω1+ω2)t

(11)

而在傅里葉變換域中有：

(12)

由式(12)可知，在復(fù)頻域中，解析信號與純指數(shù)函數(shù)相乘相當(dāng)于發(fā)生了頻移。

2 基于VMD的侵徹過載信號特征提取方法

VMD將侵徹過載信號f(t)分解為有限個(gè)具有固定帶寬的本征模態(tài)函數(shù)，以每個(gè)本征模態(tài)函數(shù)及其中心頻率附近的窄帶信號構(gòu)造變分模型，通過交替方向乘子法在其頻域內(nèi)迭代求解，將f(t)分解為各本征模態(tài)函數(shù)的線性組合。

2.1 構(gòu)建變分模型

在VMD中將本征模態(tài)函數(shù)定義為一組調(diào)幅-調(diào)頻信號，表達(dá)式如下：

uk=Ak(t)cos(φk(t))

(13)

式(13)中，Ak為本征模態(tài)函數(shù)的瞬時(shí)振幅，φk是相位，對相位求導(dǎo)可得瞬時(shí)頻率ωk(t)。

ωk(t)=φ′k(t)

(14)

為了使本征模態(tài)函數(shù)既能最大化包含侵徹過載信號中的有用信息，又具有一定的稀疏度，將本征模態(tài)函數(shù)看作幅值為Ak，頻率為ωk(t)的正弦波，并通過以下3步建立變分模型：

1)對每個(gè)本征模態(tài)函數(shù)進(jìn)行希爾伯特變換，求出相應(yīng)的解析信號，獲得單邊頻譜：

(15)

2)為每個(gè)本征模態(tài)預(yù)估一個(gè)中心頻率ωk(t)，將各模態(tài)解析信號的頻譜搬移至基帶：

(16)

3)計(jì)算解調(diào)信號的H1高斯平滑度即梯度的平方范數(shù)，估算各本征模態(tài)函數(shù)的帶寬，建立變分模型。

(17)

2.2 求解變分模型

為了將求解變分模型最優(yōu)解的約束變分問題轉(zhuǎn)化為非約束變分問題，引入二次懲罰因子α和拉格朗日乘子λ(t)，表達(dá)式如下：

(18)

采用交替方向乘子法求解增廣拉格朗日函數(shù)的鞍點(diǎn)uk和ωk，即為該非約束變分問題的解。求解uk和ωk的具體步驟如下：

1)求解uk。將式(18)中的非約束變分問題轉(zhuǎn)化為uk最小化問題。

(19)

在傅里葉域內(nèi)采用L2范數(shù)下的Parseval/Plancherel傅里葉等距求解式(19)。

(20)

將式(20)中第一項(xiàng)的ω替換為ω-ωk，結(jié)果如下：

(21)

利用重構(gòu)保真度項(xiàng)中實(shí)信號的厄米特對稱性，將式(21)改寫成積分形式：

(22)

可得uk最小化結(jié)果如下：

(23)

2)求解ωk。由于中心頻率ωk不包含在重構(gòu)保真項(xiàng)中，可將式(18)化簡如下：

(24)

與uk的求解過程相同，對式(24)在傅里葉域內(nèi)進(jìn)行求解：

(25)

可得ωk最小化結(jié)果如下：

(26)

拉格朗日乘子的迭代計(jì)算結(jié)果如下：

(27)

2.3 重構(gòu)侵徹過載信號

重構(gòu)信號不僅要最大程度地保留侵徹過載信號特征，而且要去除侵徹過載信號中的干擾信號。為此引入均方誤差μ和曲線光滑度ρ兩個(gè)參數(shù)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，判斷各重構(gòu)信號的特征提取效果，以確定重構(gòu)信號，目標(biāo)函數(shù)如下：

η=a×μ+(1-a)ρ

(28)

式(28)中，η為提取效果，a為比例系數(shù)。

3 侵徹實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 侵徹實(shí)驗(yàn)

為了獲取彈體侵徹過載信號，使用如圖1所示的彈載測試系統(tǒng)進(jìn)行侵徹過載實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)流程如下：首先將彈載測試系統(tǒng)安裝在實(shí)驗(yàn)彈體底部，在侵徹實(shí)驗(yàn)中由加速度傳感器測得彈體侵徹振動(dòng)信號；然后振動(dòng)信號經(jīng)信號處理器放大、濾波后，傳送到模數(shù)轉(zhuǎn)換器中進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換并存儲到數(shù)據(jù)存儲器中；在實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，通過測試系統(tǒng)的數(shù)據(jù)接口將數(shù)據(jù)讀取出來。實(shí)驗(yàn)測得的彈體侵徹過載信號曲線如圖2所示，測得彈體侵徹深度為100.42 cm。侵徹實(shí)驗(yàn)效果如圖3所示。

圖1 彈載測試系統(tǒng)Fig.1 Bomb test system

圖2 彈體侵徹過載信號曲線Fig.2 The projectile penetrates the overload signal curve

圖3 侵徹實(shí)驗(yàn)效果Fig.3 Penetration experiment effect

3.2 實(shí)驗(yàn)信號變分模態(tài)分解

以1 kHz作為采樣頻率對侵徹過載信號進(jìn)行變分模態(tài)分解。由于信號分量個(gè)數(shù)未知，為確定本征模態(tài)函數(shù)分解個(gè)數(shù)K，將各本征模態(tài)函數(shù)的中心頻率按從低到高排列，并觀察其中心頻率曲線的變化結(jié)果如圖4所示，為了使圖像顯示更加明晰，對X坐標(biāo)軸使用對數(shù)坐標(biāo)。

由圖4可知，K取9時(shí)本征模態(tài)函數(shù)的中心頻率曲線沒有重疊且高頻部分間隔較為均勻；K取10時(shí)中心頻率曲線在高頻部分間隔較近，容易發(fā)生重疊，所以K取9。K取9時(shí)，各本征模態(tài)函數(shù)圖像如圖5所示。

圖4 中心頻率變化曲線Fig.4 Center frequency curve

圖5 各本征模態(tài)函數(shù)圖像Fig.5 Images of each eigenmode function

3.3 重構(gòu)侵徹過載信號

為了去除變量間的量綱關(guān)系，使數(shù)據(jù)具有可比性，對計(jì)算的均方誤差和曲線光滑度進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，同時(shí)為了使重構(gòu)信號兼顧保留侵徹過載信號特征及去除侵徹過載信號中的干擾信號，式(28)中的a取0.5。均方誤差、曲線光滑度及目標(biāo)函數(shù)圖像如圖6所示。

由圖6可知，目標(biāo)函數(shù)在第2個(gè)重構(gòu)信號處的計(jì)算結(jié)果最低，即第2個(gè)重構(gòu)信號的重構(gòu)效果在9個(gè)重構(gòu)信號中為最佳，因此取第2個(gè)重構(gòu)信號作為VMD重構(gòu)信號。VMD重構(gòu)信號波形圖及誤差如圖7所示。

圖6 均方誤差、曲線光滑度及目標(biāo)函數(shù)曲線Fig.6 Mean square error,curve smoothness and objective function curves

圖7 VMD重構(gòu)信號波形圖及誤差Fig.7 VMD reconstruct signal waveform and error

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證VMD處理侵徹過載信號的可行性和有效性，采用EMD處理同一侵徹過載信號，得到兩種處理方法下的重構(gòu)信號波形對比圖如圖8所示。

圖8 兩種方法重構(gòu)信號波形對比圖Fig.8 Two methods of reconstructing signal waveform contrast diagram

由圖8可知，VMD重構(gòu)信號在保留侵徹過載信號數(shù)據(jù)特征規(guī)律的同時(shí)，信號曲線更為光滑。為了進(jìn)一步比較二者的特征提取效果，一方面計(jì)算兩個(gè)重構(gòu)信號的信噪比，另一方面對兩個(gè)重構(gòu)信號在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行二次積分，計(jì)算彈體的侵徹深度(見圖9)并與實(shí)際侵徹深度比較，計(jì)算結(jié)果見表1。

圖9 重構(gòu)信號侵徹深度曲線Fig.9 Reconstruct the signal penetration depth curves

表1 兩種方法的處理效果Tab.1 The treatment effect of two methods

由表1可知，VMD重構(gòu)信號的計(jì)算侵徹深度為98.43 cm與實(shí)驗(yàn)測得的彈體侵徹深度100.42 cm更為接近，且VMD重構(gòu)信號的信噪比更高，因此VMD比EMD更具可行性和有效性。

4 結(jié)論

本文提出了基于VMD的侵徹過載信號特征提取方法，該方法將侵徹過載信號的特征提取過程轉(zhuǎn)移到變分框架內(nèi)進(jìn)行處理，通過尋找變分模型的最優(yōu)解獲取本征模態(tài)函數(shù)，能夠自適應(yīng)地實(shí)現(xiàn)信號的頻域劃分和各分量的有效分離，并有效地提取出侵徹過載信號的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性，在分析處理非平穩(wěn)、非線性、多尺度的信號中具有優(yōu)良的噪聲魯棒性。通過處理實(shí)驗(yàn)測得的侵徹過載信號，驗(yàn)證了VMD方法的可行性和有效性，與EMD的處理效果對比，得出以下結(jié)論：

1)相比于EMD，VMD在侵徹?cái)?shù)據(jù)的事后處理方面對噪聲具有更好的抑制作用且重構(gòu)信號的積分侵徹深度更接近實(shí)驗(yàn)侵徹深度；

2)VMD在保留原始信號變化趨勢的基礎(chǔ)上有效地去除了高頻噪聲，提高了重構(gòu)信號的曲線光滑度，有助于進(jìn)一步分析信號的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性；

3)VMD為研究侵徹實(shí)驗(yàn)中的侵徹?cái)?shù)據(jù)事后處理提供了新方法，通過分析處理提取出的重構(gòu)過載信號，獲得重構(gòu)過載信號的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性，挖掘其中蘊(yùn)含的深層信息，進(jìn)而分析彈體的侵徹過程，對彈體強(qiáng)度設(shè)計(jì)、引信結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、防御工事的材料選擇和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)都具有重要意義。