基于橢圓逼近算法的低通IIR濾波器設計與實現

李晴晴, 湯振華, 姜艷娜, 蔣 潔

(上海無線電設備研究所,上海201109)

0 引言

視線角速率是制導控制系統的一個關鍵指標。受系統內部噪聲和復雜作戰環境等因素的影響,導引頭輸出的視線角速率信號往往摻雜著許多高頻噪聲,不利于制導控制系統的平穩運行[1]。同時,由于制導系統實時性要求較高,因此需要設計一個快速響應的低通濾波器將高頻噪聲濾除。

經典的濾波器有無限脈沖響應(infinite impulse response,IIR)濾波器和有限脈沖響應(finite impulse response,FIR)濾波器[2-3]。IIR濾波器的輸出不僅取決于當前和過去的輸入信號,也取決于過去的輸出信號。IIR濾波器傳遞函數的零點和極點位置可調,而FIR濾波器傳遞函數的極點固定在原點,只能通過改變零點位置來改變濾波器性能。因此為了實現較好的頻率選擇性,FIR濾波器相對于IIR濾波器,需要采用較高的階數。針對相同的濾波器設計指標,IIR濾波器的階數可能僅為FIR濾波器的1/5～1/10,因此更能夠滿足對視線角速率實時濾波的要求。

人們經過對濾波器的長期研究,已經形成了許多簡單有效的逼近算法和精確的設計公式。目前常用的IIR濾波器有巴特沃斯(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshew)、橢圓(elliptic)濾波器等。其中巴特沃斯和切比雪夫濾波器均可以通過限制橢圓濾波器的某些參數而得到。橢圓濾波器具有通帶和阻帶等波紋幅頻響應的特性,它以通帶和阻帶的起伏為代價換取了更為陡峭的過渡帶。對于給定的階數和波紋要求,橢圓濾波器能得到較其他濾波器更窄的過渡帶寬,可以獲得對理想濾波器幅頻響應的最好逼近,是一種性價比很高的濾波器[4]。故本文采用橢圓逼近算法設計低通IIR濾波器。

1 低通IIR濾波器設計原理

L階低通IIR濾波器設計的本質是利用前L個輸入x(n-L)～x(n-1)和當前輸入x(n),以及前L個輸出y(n-L)～y(n-1),通過加權求和獲得當前輸出y(n)。其設計原理可用差分方程表示為[5]

式中:bi和ai為差分方程待定系數。

將低通IIR濾波器差分公式進行Z變換,可得

式中:Y(z)和X(z)分別為y(n)和x(n)的Z變換。

于是得到IIR濾波器的系統函數H(z),表達式為

將式(3)進行圖形化描述,可得到低通IIR濾波器的原理框圖,如圖1所示。

圖1 低通IIR濾波器的原理框圖

IIR濾波器系統函數H(z)在單位圓內的極點處出現峰值,在零點處出現谷值。因此IIR濾波器的設計就是要確定H(z)的系數bi和ai,以計算得到H(z)的零點和極點,使濾波器性能指標滿足要求。IIR濾波器設計一般有三種方法:采用零極點位置累試法設計數字濾波器;借助模擬濾波器的理論設計數字濾波器;用優化技術設計數字濾波器。第一種方法的算法簡單,設計粗略;第二種方法便捷高效,能較快得到理想的濾波器;第三種方法的設計步驟十分繁瑣。因此,本文采用第二種方法設計低通IIR數字濾波器。具體可分為六個步驟:

a)采集多組輸入信號,分析輸入信號的幅頻特性,總結得到設計要求;

b)確定一組濾波器的性能指標,包括采樣率、通帶截止頻率fc、阻帶截止頻率fs、通帶最大衰減Ap和阻帶最大衰減As等,其中采樣率應大于等于兩倍通帶截止頻率fc,通帶截止頻率fc為輸出幅值較輸入幅值下降-3 dB時對應的頻率;

c)根據濾波器的性能指標,采用橢圓逼近原理設計模擬濾波器的系統函數H(s)和階數N;

d)進行仿真試驗,驗證模擬濾波器的濾波效果;

e)重復步驟c)和d),根據仿真結果適當調整模擬濾波器的參數,使模擬濾波器盡可能地逼近理想特性;

f)采用沖激響應不變法或雙線性變換法,將滿足要求的模擬濾波器的系統函數H(s)變換成數字濾波器的系統函數H(z)。

沖激響應不變法首先將H(s)進行拉普拉斯逆變換得到單位沖激響應h(t),對h(t)進行采樣得到h(n),再對h(n)進行Z變換得到H(z)。由于數字濾波器的沖擊響應是對模擬濾波器沖激響應的采樣,因此該方法獲得的濾波器時域逼近特性較好。

2 低通IIR濾波器設計仿真

為驗證低通IIR濾波器設計方法的可行性,基于Matlab平臺進行設計仿真驗證[6]。設輸入信號包含頻率為10 Hz和100 Hz的正弦波以及高斯白噪聲,輸入信號的時域及頻域特征分別如圖2和圖3所示。

圖2 輸入信號時域圖

圖3 輸入信號頻域圖

為了濾除頻率為100 Hz的信號分量,初步設定了一組濾波器參數[7]:采樣頻率1 000 Hz,通帶截止頻率20 Hz,阻帶截止頻率100 Hz,通帶最大衰減0.05 d B,阻帶最小衰減60 d B。

橢圓濾波器最小階數N的計算公式為

其中

式中:ceil(·)為向上取整函數;sqrt(·)為開方函數。

通過計算得到橢圓濾波器最小階數為6階。結合IIR濾波器數學模型,根據式(1),采用雙線性變換法可求解出IIR濾波器的系數,見表1。

表1 IIR濾波器的系數

最終得到的橢圓IIR低通濾波器幅頻響應如圖4所示。

圖4 橢圓低通IIR濾波器幅頻響應曲線

采用上述IIR濾波器對輸入信號進行濾波。輸入信號與濾波后信號的時域與頻域對比分別如圖5和圖6所示。

圖5 輸入信號與濾波后信號對比

圖6 橢圓IIR低通濾波器輸出信號頻譜圖

從圖5中可以看出,IIR濾波后的信號與原始輸入信號相比存在一定的延時,延遲時間即為濾波器階數與數據采樣間隔的乘積,反映出橢圓IIR濾波器具有相位非線性。

從圖6中可以看出,經過橢圓IIR低通濾波器后,輸出信號中僅剩下10 Hz的低頻分量,100 Hz的高頻分量被濾除,實現了設計需求。

圖7為相同參數下,6階巴特沃斯IIR低通濾波器、切比雪夫IIR低通濾波器、橢圓IIR低通濾波器的幅頻響應曲線。

圖7 6階低通濾波器幅頻響應曲線

從圖7中可以看出,橢圓IIR低通濾波器的帶外衰減速度最快,具有更好的頻率選擇性;切比雪夫IIR低通濾波器的衰減速度介于橢圓濾波器和巴特沃斯濾波器之間,且和橢圓IIR濾波器一樣,在通帶范圍內具有波動起伏;巴特沃斯IIR低通濾波器雖然通帶、阻帶均無波動,但衰減速度最慢。綜上分析,本設計中選用橢圓IIR低通濾波器。

圖8為10階巴特沃斯IIR低通濾波器、切比雪夫IIR低通濾波器、橢圓IIR低通濾波器的幅頻響應曲線。

圖8 10階低通濾波器幅頻響應曲線

對比圖7和圖8的仿真曲線,可知,隨著階數變高,橢圓IIR濾波器和切比雪夫IIR低通濾波器在通帶內的波動幅度明顯增大,輸出幅度衰減也更嚴重。因此本設計中選用6階濾波器。

3 實驗驗證

為進一步驗證橢圓IIR低通濾波器設計方法的有效性,將該IIR低通濾波器移植到某制導控制平臺上,實時采集不同環境下的視線角速率數據,當目標分別處于機動性較高、較低和靜止三種狀態時,觀察該濾波器對輸出視線角速率的濾波效果。

設定目標分別以10(°)/s和0.5(°)/s的角速率進行勻速往返運動以及處于靜止狀態,采集三組不同的實測數據,分別進行IIR低通濾波。三種狀態濾波前后的視線角速率曲線如圖9所示。

圖9 某制導控制平臺實驗驗證結果

為了更直觀地分析濾波效果,計算不同目標狀態下濾波后視線角速率方差相對于濾波前減小的百分比,得到三種不同目標狀態濾波后視線角速率方差分別減小了14.84%、40.01%和48.80%。

根據上述實測數據的仿真結果以及數據統計結果可以看出,目標機動性能越小,IIR低通濾波器的濾波效果越好,尤其當目標靜止時,視線角速率信號中的高頻噪聲經過濾波后幅度可以降低將近一半,能夠有效地保證制導控制系統的可靠性和穩定性。

4 結論

選用橢圓逼近算法設計IIR低通濾波器,對導引頭輸出的視線角速率信號進行濾波。仿真結果表明,該濾波器在目標機動性較小的情況下,濾波性能較好,可以滿足設計要求。