基于平面立體的三視圖繪制正等軸測圖教學探析

朱仕成

摘? ?要：三視圖是高中通用技術學科具有深刻內涵的技術圖樣語言，也是高中數學的重要內容。通過繪制正等軸測圖來識讀三視圖是提高學生通用技術學科“圖樣表達”核心素養的重要載體。對通用技術《技術與設計1》蘇教版教材中三視圖、正等軸測圖的教學內容重構，基于平面立體的三視圖繪制正軸測圖的教學中引入數學三維坐標（x，y，z）概念，創造坐標描點繪圖法，實現二者互為轉換的融合教學探索。

關鍵詞：通用技術;三視圖;正等軸測圖;坐標

1? 問題來源

“圖樣表達”是普通高中通用技術學科核心素養之一，是運用圖樣形式對意念中或客觀存在的技術對象進行可視化的描述和交流[ 1 ]。 而三視圖、正等軸測圖已成為一種具有深刻內涵的圖樣語言，可以快捷、高效、豐富地呈現設計方案。能識讀一般的機械加工圖是學生用技術語言實現抽象與具體思維轉換能力的重要評價指標。新版的通用技術《技術與設計1》蘇教版教材將“繪制簡單形體的正等軸測圖”置于“繪制三視圖標注尺寸”之后，增加了由疊加法繪制形體的正等軸測圖來識讀三視圖的內容。彌補了舊教材對“繪制正等軸測圖幫助學生識讀三視圖的作用”的忽視。同時，三視圖作為高中數學新教材新增內容，曾是高考的常考知識點.識讀三視圖的試題經“考”不衰。很多學生能將“長對正，高平齊，寬相等”記得爛熟，也對簡單幾何體的三視圖了如指掌，可處理這類問題時仍力不從心，無從下筆[ 2 ]。

平面立體的三視圖還原是識讀三視圖的基本功。 如何幫助學生能從具體案例中抽象出識讀三視圖的一般方法，迅速實現由二維平面到三維空間的轉換，從而發展學生空間想象能力呢？這一問題是所有高中通用技術老師和數學老師的聚焦點。筆者經過深入研究，發現引入坐標概念，基于平面立體的三視圖繪制正等軸測圖，應用坐標描點繪圖法，具有簡單易行、立竿見影的效果。

2? 引入坐標概念

令正等軸測圖的三維笛卡爾坐標（x，y，z）的x值為長度值，y值為寬度值，z值為高度值，原點o（0，0，0）。三視圖中主視圖所在坐標系為xoz，原點o（0，0）設置為過最右側點的豎直線與過最下邊點的水平直線相交點，x值為長度值， z值為高度值;相似的俯視圖所在坐標系為xoy，原點o（0，0）設置為過最右側點的豎直線與過最上邊點水平線相交點，x值為長度值， y值為寬度值;相似的左視圖所在坐標系為yoz，原點o（0，0）在設置為過最左側點的豎直線與最下邊點的水平直線相交點， y值為寬度值，z值為高度值。這樣使三視圖與正等軸測圖之間通過坐標建立起一一對應聯系，通過坐標描點繪圖可以快速實現由二維平面到三維空間的轉換。如圖1所示是正立方體的三視圖和對應的正等軸測圖（伸縮系數簡化為1，下同）。

在教學中，教師結合圖1講解正等軸測圖三維笛卡爾坐標（x，y，z）的建立及其與三視圖的對應關系。引導學生根據三視圖投影規律“長對正、高平齊、寬相等”，準確標出正立方體正等軸測圖中未標出坐標的輪廓線交點的坐標（x，y，z）。

評述：三視圖三個視圖的二維笛卡爾坐標系原點的設置是關鍵，必須明確使它們的“長、高、寬”方向的值與正等軸測圖三維笛卡爾坐標（x，y，z）的“x值、y值、z值”相等。即正等軸測圖的三維笛卡爾坐標（x，y，z）的x值為長度值，y值為寬度值，z值為高度值。 從而建立起二維平面到三維空間轉換的橋梁。

3? 繪制正等軸測圖

基于平面立體的三視圖繪制正等軸測圖，可根據三視圖上的基本尺寸采用坐標描點法繪制完成。

案例1：根據如圖2所示平面立體三視圖，畫出它的正等軸測圖。

其繪圖步驟如下：

（1）根據形體的結構特征，建立三維笛卡爾坐標系，軸間角互為120°，z軸在豎直方向上，確定x軸、y軸、z軸在圖紙上的位置。

（2）根據三視圖的投影規律“長對正、高平齊、寬相等”標出各點的三維笛卡爾坐標（x，y，z）。按照 “抓主視，分線框，對投影，標坐標”的方法逐個標注各點的坐標。

（3）繪制坐標平面上的點，連接相應的輪廓線。如圖3所示。在逐個坐標平面上按坐標進行描點，再用細直線連接。

（4）繪制坐標空間上的點，連接相應的輪廓線。如圖4所示。作豎直線必須與z軸平行，用刻度尺或圓規截取高度。

（5）去除輔助線，虛化或去除不可見的輪廓線，加深輪廓線。

評述：該案例是由一個長方體通用兩次切割形成的，在機械制圖教學中一般采用“抓主視、按線框、對投影、想形狀”的方法，繪制正等軸測圖來還原三視圖，這需要學生具有較強的空間想象力，并且熟悉基本幾何形體的三視圖，這對于空間想象力差、基礎薄弱的學生有一定的困難。高中數學上常用的拔高法也相對較復雜。而上述筆者創建的坐標描點繪圖法，對基礎差的學生也能迅速繪制出來。

案例2：如圖5所示是某三棱錐的三視圖，畫出它的正等軸測圖。

分析：根據前述坐標描點繪圖法建立正等軸圖的三維笛卡爾坐標系;依據坐標（x，y，z）的x值為長度值，y值為寬度值，z值為高度值，以及三視圖“長對正、高平齊、寬相等”投影規律，依次描出各點在坐標空間的位置，再對照三視圖用直線段進行連接，如圖6所示，最后去除輔助線、去除或虛化不可見輪廓線，加深輪廓線即可。

評述：該案例是一個簡單的組合體結構，傳統采用疊加法進行繪制，難點在于上方三棱柱的擺放位置。若弄不清三視圖的方位關系，往往容易畫錯。而應用坐標描點繪圖法則可一氣呵成，有效避免類似的錯誤。

4? 結束語

通過上述三視圖、正等軸測圖的融合教學，可以深化學生對三視圖投影規律“長對正、高平齊、寬相等”的理解和熟練應用，辨析三視圖與正等軸測圖的關系，正確繪制簡單形體的正等軸測圖。在平時的課堂教學中，教師要關注學生的獨立思考，給學生足夠的思維時間或實踐機會。特別是繪制圖樣的實踐教學，不能只注重教師的講，而忽視學生的學。教師要緊扣概念，通過實踐引領學生深剖概念的內涵與外延，真正落實“做中學，學中做”的課程理念。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中通用技術課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社， 2018：4-5.

[2]何業亮.割補法在三視圖還原空間幾何體中的應用[J].中學數學教學，2019（3）：21-22.