一維彈性碰撞二級(jí)結(jié)論的妙用

郭夢(mèng)姣 林欽 朱雨洵

摘? ?要：一維彈性碰撞問(wèn)題是高考的一個(gè)熱點(diǎn)。在高中階段解決一維彈性碰撞問(wèn)題時(shí)，常常從動(dòng)量守恒以及能量守恒方面入手，聯(lián)立方程進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算量較大，學(xué)生錯(cuò)誤率高。教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生基于能量和動(dòng)量守恒推導(dǎo)出簡(jiǎn)單的二級(jí)結(jié)論，不僅能夠快速分析和解決一維彈性碰撞問(wèn)題，還能有效幫助學(xué)生加深對(duì)碰撞模型的理解。

關(guān)鍵詞：一維彈性碰撞;動(dòng)量守恒;二級(jí)結(jié)論

碰撞作為動(dòng)量守恒定律的一個(gè)重要的應(yīng)用模型，一直是高考考試的熱點(diǎn)問(wèn)題。碰撞模型可分為：彈性碰撞和非彈性碰撞。對(duì)于彈性碰撞問(wèn)題，在高中主要從動(dòng)量守恒和能量守恒的角度去解決問(wèn)題，由于運(yùn)算過(guò)程繁雜，學(xué)生在解決此類問(wèn)題時(shí)，不僅花費(fèi)時(shí)間較多，而且還容易出錯(cuò)。為解決這個(gè)問(wèn)題，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解一維的彈性碰撞，從動(dòng)量守恒和能量守恒方面出發(fā)，推導(dǎo)出一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)用的二級(jí)結(jié)論。所謂物理二級(jí)結(jié)論，通常指依據(jù)有關(guān)物理概念或者物理規(guī)律，通過(guò)一定的演繹推理對(duì)典型的物理問(wèn)題進(jìn)行分析得到的具有通用性、普遍性意義的結(jié)論[ 1 ]。

1? 理論推導(dǎo)過(guò)程

球A和球B在光滑水平桌面上發(fā)生一維彈性碰撞，質(zhì)量分別為m1和m2，碰撞之前兩球的速度分別為uA和uB，碰撞之后兩球的速度分別為vA和vB（如圖1、圖2）。

碰撞前：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?碰撞后：

由動(dòng)量守恒定律得：

m1uA+m2uB=m1vA+m2vB? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①

即：

m1（uA-vA）=m2（vB-uB）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②

由能量守恒定律得：

m1uA2+ m2uB2=m1vA2+ m2vB2? ?③

③改寫(xiě)為：m1uA2-m1vA2=m2vB2-m2uB2? ? ? ? ? ? ?④

即：m1（uA-vA）（uA+vA）=m2（vB-uB） （vB+uB）? ? ? ? ? ⑤

將⑤/②，得：

uA+vA=vB+uB ? ? ? ?⑥

即：uA-uB=vB-vA? ⑦

對(duì)于彈性碰撞，我們可以得出這樣一個(gè)結(jié)論：碰撞之前的相互接近的速度（uA-uB）等于碰撞后的相互遠(yuǎn)離的速度（vB-vA）。

2? 恢復(fù)系數(shù)e

上面推導(dǎo)出的結(jié)論和大學(xué)物理的恢復(fù)系數(shù)e有關(guān)。可以將A、B兩球的碰撞過(guò)程分成壓縮（靠近）和恢復(fù)（推離）階段，當(dāng)壓縮階段結(jié)束時(shí)，就是A、B兩球的速度相等的時(shí)刻[ 2 ]。假設(shè)碰撞過(guò)程中，兩球速度相等時(shí)的速度為v，則在壓縮階段，由動(dòng)量定理得：

-I1=m1v-m1uA ①

I1=m2v-m2uB? ②

在恢復(fù)階段，由動(dòng)量定理得：

-I2=m1vA-m1v ③

I2=m2vB-m2v? ④

牛頓指出，用給定材料做成的兩個(gè)小球，不管兩個(gè)小球的速度怎樣，恢復(fù)沖量I2與壓縮沖量I1之比是一個(gè)常數(shù)，即=e，這個(gè)常數(shù)e稱為這兩種給定材料的恢復(fù)系數(shù)。

由①和②式可得：

I1=（uA-uB）

由③和④式可得：

I2=（vB-vA）

則：e==

恢復(fù)系數(shù)e的取值介于0和1之間，當(dāng)e取0時(shí)，就是完全非彈性碰撞;當(dāng)e取1時(shí)，就是完全彈性碰撞，則就得出uA-uB=vB-vA[ 3 ]。

3? 結(jié)論的應(yīng)用

【例題1】如圖3所示，兩個(gè)小球的質(zhì)量分別是m1和m2，m1=4 kg，m2=3 kg，兩個(gè)小球發(fā)生一維彈性碰撞，求碰撞之后的速度？

解析：

設(shè)兩個(gè)物體碰撞之前的速度分別為u1和u2，碰撞之后的速度為v1和v2

由動(dòng)量守恒定律得：

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?①

又因?yàn)榕鲎仓跋嗷ソ咏乃俣鹊扔谂鲎仓笙嗷ミh(yuǎn)離的速度，則：

u1-u2=v2-v1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②

聯(lián)立①和②式，得：

v1=2.4 m/s

v2=5.4 m/s

【例題2】（新人教版選擇性必修一課后習(xí)題） 一種未知粒子跟靜止的氫原子核正碰，測(cè)出碰撞后氫原子核的速度為3.3×107 m/s。該未知粒子跟靜止的氮原子核正碰時(shí)，測(cè)出碰撞后氮原子核的速度是4.4×106? m/s。已知?dú)湓雍说馁|(zhì)量是mH，氮原子核的質(zhì)量是14 mH，上述碰撞都是彈性碰撞，求未知粒子的質(zhì)量。

解析：與氫核碰撞時(shí)，設(shè)未知粒子的質(zhì)量為m，碰撞之前的速度為v0，碰撞之后的速度為v1。

未知粒子與氫原子核發(fā)生彈性碰撞時(shí)，由動(dòng)量守恒定律得：

mv0=mv1+mHvH? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①

又因?yàn)榕鲎仓跋嗷タ拷乃俣鹊扔谂鲎仓笙嗷ミh(yuǎn)離的速度，則：

v0=vH-v1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②

由①和②式得：

vH=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③

與氮核發(fā)生彈性碰撞時(shí)，由動(dòng)量守恒定律得：

mv0=mv1+mNvN? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?④

又因?yàn)榕鲎仓跋嗷タ拷乃俣鹊扔谂鲎仓笙嗷ミh(yuǎn)離的速度，則：

v0=vN-v1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?⑤

由④和⑤式得：

vN =? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?⑥

則③/⑥得：

=

將題目中的數(shù)據(jù)代入，得：

m≈1.16 mH

這道試題改編自查德威克發(fā)現(xiàn)中子的實(shí)驗(yàn)，若利用能量守恒和動(dòng)量守恒的方程聯(lián)立求解，一方面計(jì)算量很大，另一方面物理量的下腳標(biāo)注多，在計(jì)算時(shí)很容易出錯(cuò)，利用彈性碰撞時(shí)靠近速度等于遠(yuǎn)離速度的結(jié)論計(jì)算則簡(jiǎn)潔清晰。2020年山東卷壓軸題的前面兩問(wèn)也可以用此二級(jí)結(jié)論簡(jiǎn)化計(jì)算。

【例題3】（2020年新高考全國(guó)卷Ⅰ物理第18題）如圖4所示，一傾角為θ的固定斜面的底端安裝一彈性擋板，P、Q兩物塊的質(zhì)量分別為m和4 m，Q靜止于斜面上A處。某時(shí)刻，P以沿斜面向上的速度v0與Q發(fā)生彈性碰撞。Q與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)等于tanθ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。P與斜面間無(wú)摩擦，與擋板之間的碰撞無(wú)動(dòng)能損失。兩物塊均可以看作質(zhì)點(diǎn)，斜面足夠長(zhǎng)，Q的速度減為零之前P不會(huì)與之發(fā)生碰撞。重力加速度大小為g。

（1）求P與Q第一次碰撞后瞬間各自的速度大小vp1、vQ1;

（2）求第n次碰撞使物塊Q上升的高度hn。

解析：（1）P與Q的第一次碰撞，取P的初速度方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒定律得：

mv0=mvp1+4mvQ1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?①

由碰撞前的相互接近的速度等于碰撞后的相互離開(kāi)的速度得：

vQ1-vp1=v0-0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②

聯(lián)立①②式得解得：vQ1=v0， vp1=vQ1-0=-v0

第（2）問(wèn)的解答也可以利用此二級(jí)結(jié)論簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，幫助學(xué)生快速得到答案，這里就不再贅述。

4? 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)典型的例題可以看出，應(yīng)用二級(jí)結(jié)論解決一維彈性碰撞的問(wèn)題，不僅公式容易記憶，而且解題過(guò)程中計(jì)算量大大減少，提高了計(jì)算的效率以及準(zhǔn)確率。

參考文獻(xiàn)：

[1]許文. 從高考物理題的求解談二級(jí)結(jié)論的形成與應(yīng)用[J]. 教學(xué)考試， 2018（49）： 75-78.

[2]閆彩霞，程敏熙，馮彩儀，等.正彈性碰撞速度關(guān)系的研究及其在解題中的應(yīng)用[J].物理教學(xué)，2017，39（11）：62-63，67.

[3]梁昆淼. 力學(xué)上冊(cè)[M]. 第四版.北京：高等教育出版社， 2012：193.