待定系數法求一次函數解析式

郭小蔚

摘? ?要：從數的角度、形的角度、實際問題等三個方面引導初學者對求一次函數解析式問題進行分析，引導初學者學會用待定系法求解一次函數的解析式，為后續學習打下良好基礎.

關鍵詞：待定系數法;解析式;條件

利用待定系數法求一次函數的解析式，需要明確函數的模型，設出函數解析式，根據條件確定一次函數解析式中未知的系數，從而確定解析式.用待定系數法求一次函數的解析式一般有如下步驟：（1）找：在題目條件中尋找兩組對應的函數值與自變量;（2）設：函數解析式為y=kx+b，k，b 為待定系數;（3）代：分別把兩組對應自變量與函數值代入y=kx+b生成一個二元一次方程組;（4）解：解方程組求出k，b 的值;（5）回歸：把解出的k，b的值回歸到y=kx+b中，寫出所求的一次函數解析式.

下面從三個方面對題目進行分析，引導初學者快速有效地學會用待定系法求解一次函數的解析式，為后續學習反比例函數、二次函數的打下良好的基礎.

1? 題目從“數”的角度展示條件

一次函數y=kx+b，（k≠0）中有兩個待定系數，一個是一次項x的系數k，一個是常數項b，所以初學者在用待定系數法求一次函數解析式時要會從題目中尋找出所需的兩個數據條件，列出一個以k，b為未知數的二元一次方程組，解這個二元一次方程組后就能具體寫出一次函數的解析式.具體有以下四種。

1.1? 開門見山型

【例題1】已知：一次函數y=kx+b，當x=-2，y=-1; 當x=3，y=-3;求一次函數的解析式.

這是最簡單的待定系數法的應用，關鍵是一個“代”字.代的時候要注意代對字母，同時要注意不要張冠李戴.

解：∵一次函數為：y=kx+b（k≠0），

由已知條件x=-2時，y=-1，得：-1=-2k+b.

由已知條件x=3時，y=-3， 得：-3=3k+b.

兩個條件都要滿足，即解關于x的二元一次方程組

-1=-2k+b

-3=3k+b? ，解得 k=-

b=-

.

所以，一次函數解析式為y=-x-.

1.2? 條件是以點坐標的形式展現

【例題2】已知：一次函數的圖象過點（2，-1），（3，-3）求一次函數的解析式.

與第一種開門見山型相比，條件以點坐標的形式展現的多了一步，要求初學者會把橫坐標轉化為相應的x，把縱坐標轉化為相應的y.

根據一次函數的定義，可以設這個一次函數為：y=kx+b（k≠0），目標轉化為求字母k，b的值.

由已知條件x=2時，y=-1，得：-1=2k+b.

由已知條件x=3時，y=-3， 得：-3=3k+b.

兩個條件都要滿足，即解關于x的二元一次方程

-1=2k+b

-3=3k+b， 解得k=-2

b=3? .

所以，一次函數解析式為y=-2x+3.

1.3? 條件是以不等式的形式展現

【例題3】已知一次函數y=kx+b，當0≤x≤2時，-2≤y≤4，則kb的值是多少？

對于初學者來說，這是一種隱藏極深的待定系數法求解析式，初學者往往不是束手無策，就是不知道還要分類討論.

1.由已知條件x=0時，y=-2，得：-2=0k+b.

由已知條件x=2時，y=4， 得：4=2k+b.

-2=b

4=2k+b，? ?解得k=-3

b=-2.

此時kb=-6.

2.由已知條件x=0時，y=4，得：4=0k+b.

由已知條件x=2時，y=-2， 得：-2=2k+b.

4=b

-2=2k+b，? 解得k=-3

b=4 .

此時kb=-12 .

綜上， kb的值為-6或-12.

1.4? 數字以半遮面型的形式展現

【例題4】已知一次函數圖象平行于直線y=-x-17且過點（2，-1），求此一次函數的解析式.

解：設這個一次函數為：y=kx+b（k≠0），

∵一次函數圖象平行于直線y=-x-17，

∴k=-.

由已知條件x=-2時，y=-1，得：-1=-2×（-）+ b，

解得：b=- .

所以，一次函數解析式為y=-x-.

2? 題目從“形”的角度展示條件

一次函數的圖象是一條直線，因為過兩點有且只有一條直線，所以初學者要學會從題目給的條件中找出兩個能確定直線位置的點.正比例函數的圖象是一條過原點的直線，所以只需一個異于原點的點就可以確定這條直線.

2.1? 條件以圖象形式直接展示一次函數與坐標軸的交點

【例題5】 已知一次函數的圖象如下圖1，求它的關系式.

分析： 從“形” 的角度來看，圖象與坐標軸交于兩點，經過x軸上橫坐標為2的點，y軸上縱坐標是-3的點.從“數”的角度來看，坐標（2，0），（0，-3）滿足解析式.

解： 設所求的一次函數的解析式為y=kx+b（k≠0）.直線經過點（2，0），（0，-3），把這兩點坐標代入解析式，得

0=-2k+b

-3=b? ? ?，? ?解得k=

b=-3 .

所以所求的一次函數的關系式是y=x-2.

2.2? 圖象半遮面型

【例題6】如圖2，一次函數的圖象經過點A，且與正比例函數y=-x的圖象相交于點B，求這個一次函數的解析式.

分析：本題中，一個點A的坐標是已知的，橫坐標是0，縱坐標是2，另一個點B的縱坐標是為1已知的，但橫坐標不知道，須從正比例函數y=-x獲得.

解：把y=1代入正比例函數y=-x得x=-1.

設這個一次函數為y=kx+b（k≠0），

直線經過點（0，2），（ -1，1，），把這兩點坐標代入解析式，得2=b

1=-k+b，? ?解得k=1

b=2.

所以所求的一次函數的關系式是y=x+2.

3? 題目以實際問題為背景展示條件

題目以實際問題為背景展示條件，這就需要初學者認真讀題，從題目中提煉尋找出所需的兩個條件.

【例題7】如圖3，媽媽買了很多個形狀大小完全一樣的花盆想種多肉，丫丫把其中的5個花盆疊成兩摞，請根據圖中所給信息，求出花盆的高度高度y（cm ）與花盆個數x（個）之間的一次函數關系式（不要求寫自變量取值范圍 ）.

分析：本題是從實際問題中提煉尋找所需的兩個條件.設所求的一次函數的解析式為y=kx+b（k≠0）.

條件一：當x=2時，y=11.5，得：11.5=2k+b.

條件二：當x=3時，y=17，得：17=3k+b.

11.5=2k+b

17=3k+b? ，? ?解得k=

b=

.

所以所求的一次函數的關系式是y=x+.

【例題8】蔬菜種植大戶老張引進某種滴灌技術，要用如圖所示方法粘合若干段水管，圖4為水管的主視圖，相鄰兩根水管重疊部分寬為2 cm，（1）求6根水管粘合后的長度;（2）設x根水管粘合后的總長度為y cm ，求y與x之間的函數關系式，并求出當x=30時， y的值.

分析：本題也是典型的從實際問題中尋找條件的，

條件一：當x=1時，y=35;

條件二：當x=2時，y=68，條件三：當x=3時，y=101…，設所求的一次函數的解析式為y=kx+b（k≠0）.選取最簡單的條件一與條件二代入得：

35=k+b

68=2k+b? ?解得k=33

b=2? .

所以所求的一次函數的關系式是y=33x+2.

當x=6時，y=200.當x=30時，y=992.

初學者力求能從以上三個方面分析題目，尋找出所需的兩個條件，學會用待定系數法求一次函數解析式的基本思路，以解決相關問題.