整體建構小學數學知識結構 使學生的認知走向通透

黃平

“關系數學”觀認為，數學學科中的任何知識、方法、思想都不是孤立的，都是與其他數學知識、方法、思想相關聯的。在小學數學教學中，秉持這樣的一種“關系”數學觀，有助于實施整體性教學。整體性教學，需要教師對數學知識進行整體解讀，需要教師引導學生整體建構，需要教師引導學生整體反思，從而讓學生的數學學習呈現出一種有機的結構樣態、體系樣態。整體性教學能有效地提升學生的學習力，讓學生的認知走向通透。

一、對數學知識的整體解讀

在數學教學中，教師首先要對數學知識進行整體性解讀。整體性解讀，包括課時內容解讀、單元內容解讀、類知識解讀以及跨教材、跨學段解讀。這是一個從宏觀到微觀、又從微觀到宏觀的反復解讀的過程。宏觀上，整體性解讀就是要把握數學知識的“高觀點”“大概念”，從而讓教師形成教學的“大視野”;微觀上，整體性解讀就是要“見微知著”，就是要讓教師能從“知識點”中發現“知識線”“知識面”乃至于“知識體”。

在對數學知識進行整體性解讀過程中，教師要以“高觀點”來駕馭，對相關數學知識進行左顧右盼、瞻前顧后。首先，從大的方面來劃分，要明確這一數學知識屬于哪個數學領域，“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”還是“綜合與實踐”;其次，在同一個數學學科領域比如“數與代數”之中，要考量屬于“概念”“計算”還是“應用”等;再次，要解讀顯性的數學知識背后的隱性的數學思想方法。例如：解讀“公頃和平方千米”（北師大版五年級上冊）這部分內容，很多教師往往只關注這一課時內容，缺乏對數學知識整體性解讀，結果造成了學生所獲得的數學知識都是點狀、孤立的，時間久了就會走向認知模糊。筆者在對這部分內容進行解讀過程中，嘗試將“公頃和平方千米”放置到面積單位系統中去進行解讀、考量，構建了一種整體性的知識關聯。將“平方十米（公畝 ）”放置其中，將“公頃”解釋為“平方百米”，從而構建了“平方毫米”“平方厘米”“平方分米”“平方米”“平方十米（公畝）”“平方百米（公頃）”“平方千米”等的序列，這樣的序列有助于學生對數學知識進行整體性建構。不僅如此，在知識解讀中，筆者還將“面積”“面積單位”與“長度”“長度單位”進行比較，并將這樣的一種解讀延伸、拓展到“體積”“體積單位”“體積單位之間的進率”。

計量單位的學習主要有兩個方面的內容，其一是引導學生建立計量單位的大小（量值）的概念，其二是讓學生把握計量單位之間的關系。整體性解讀能實現這兩個方面教學內容的統一。在數學教學中，如果教師仍然以“知識點”作為教學單位，以“課時”作為組織單位，那么學生獲得的知識就是碎片化、單子式的。而如果教師以“類知識”作為教學單位，以“板塊”作為組織單位，則能讓學生進行整體性、系統性、結構性的學習。

二、對數學知識的整體建構

對數學知識的整體性建構，是指教師在教學中將“相鄰”“相關”“相反”“相近”等內容進行整合，從而讓學生對數學知識的理解能達到舉一反三、觸類旁通。對數學知識的整體建構，有時需要對原來的教材內容進行解構，進而對原來的教材內容進行整合、重構。整體性建構以“結構”為中心，將教學變成了動態的、發展的、有個性的再創造學習過程。對數學知識的整體性建構，讓學生的學習空間從封閉走向開放，讓學生的知識結構從平衡走向新的不平衡，讓學生的探究過程從無序走向有序。

對數學知識的整體性建構，包括“預建構”“互建構”和“深建構”。在預建構中，教師要為學生的自主思考、探究預留充分的可能性時空;在互建構中，教師要引導學生深度研討、交流，讓學生的思維、認知相互碰撞;在深建構中，要讓學生重塑學的角色。比如“正比例和反比例”（北師大六年級下冊）這一學習內容是六年級的重點學習內容，這一學習內容是建立在學生已經學習的“比”“比例”等相關知識基礎上展開的。在教材中，“正比例”和“反比例”是分開來進行教學的。盡管這樣的一種“各個擊破”的編排方式有助于學生掌握正反比例的意義，但也容易導致學生數學學習的模式化、判定數量關系的機械化。為了提升學生的問題解決能力，培育學生的問題解決靈性，筆者在教學中，將這部分內容整合起來進行整體性教學。首先，正反比例盡管知識內容不同，卻有著相同點，都是“兩種相關聯的量”。為此，筆者在教學實踐中，將正反比例整合起來進行整體教學。通過出示多種表格（不相關聯、和一定、差一定、商一定和積一定），引導學生探究分類。學生首先將數量關系表格分成兩類：一類是不相關聯的量;另一類是相關聯的量。在此基礎上，引導學生認識深入分析相關聯的量，將“商不變的數量關系”以及“積不變的數量關系”進行比較，從而讓學生厘清正反比例的意義。通過整體性教學，學生形成了整體性的認知，如“相關聯的量不一定成比例”“成比例的量一定相關聯”，如“兩種量商一定就成正比例”“兩種量積一定就成反比例”，等等。整體性建構有助于學生在比較中鑒別，從而把握知識的本質屬性。

對數學知識的整體性建構，要放眼學科知識的長度、俯瞰學科知識的廣度、凝視學科知識的厚度。作為教師，要用數學學科內在的“組織形式”“構成秩序”將知識進行統整、融合，從而形成學科知識結構。借助于學科知識結構，就能形成學生數學學習的整體性觀念、整體性意識。通過整體性知識建構，能有效地提升教師的課堂教學效益，促進學生數學學習力的提升。

三、對數學知識的整體反思

整體性教學不僅包括整體性建構，還包括整體性反思。在學生學完一段知識之后，教師有必要將學生已有知識提取出來，引導學生比較、勾連，從而促進學生對數學知識的整體反思。在整體性反思過程中，教師要力圖用整體性的思想、觀念、上位知識等進行統馭。反思的過程，就是梳理知識的過程，就是感悟數學思想方法的意義的過程。通過整體性反思，能提升學生的數學認知。

在整體性反思中，學生的數學認知從“點狀”走向“線性”，從“個別”走向“整體”，從“單一”走向“多元”。比如“因數和倍數”（北師大五年級上冊）“分數的意義和性質”（北師大五年級上冊）以及“分數的加法和減法”（北師大五年級下冊）這些內容，盡管它們被教材編排在不同的年級、單元之中，但它們之間有著密切的關聯。因此，在教學相關知識之后，教師要引導學生進行整體性反思。如在教學“分數的意義和性質”時，可以引導學生反思“因數和倍數”;在教學“分數的加法和減法”時，可以引導學生溯源，如計算“分數的加法和減法”的主要方法就是“通分”，而“通分”的依據是“分數的基本性質”，而“分數的基本性質”的靈活運用諸如約分、通分等離不開“最大公因數”和“最小公倍數”，進而離不開“因數和倍數”這一單元的相關知識。這樣的整體性、溯源性反思，能讓學生切身感受、體驗到數學知識的前后貫通性、整體性、結構性，并且認識到先前的學習對于現在學習的功能、作用、意義，同時也能認識到現在的學習對以后學習的功能、意義和價值。如此，讓學生數學認知形成了一個整體性、系統性、關聯性的結構，對“源知識”“數學知識前后關聯”產生了一種通透性的把握，并進而達成了觸類旁通、連點成線、結線成網的教學效果。

整體性教學是小學數學教學的理性回歸與突圍。整體性教學超越了單元教學，它以“類知識”“類結構”作為載體、媒介、支撐。借助于整體性教學，實現了數學教學目標與過程的統一、教學預設與生成的統一、數學知識與能力的統一。整體性教學真正實現了教師“有深度的教”以及學生“有深度的學”。整體性教學，有效地提升了學生的數學學習力，發展了學生的數學核心素養。

■ 編輯/魏繼軍