基于變預測時域的電動汽車軌跡跟蹤控制

劉溯奇，王 剛，安偉彪，匡 兵，曾憲鋒，景 暉,2*

(1.桂林電子科技大學機電工程學院，桂林 541004；2.上海交通大學機械與動力工程學院，上海 200240)

軌跡跟蹤控制研究[1-3]是自動駕駛技術中的關鍵一環，也是智能交通系統的重要組成部分，是自動駕駛是否能落地實施的關鍵。因此軌跡跟蹤控制器在不同的道路工況和行駛工況下能否穩定精確地進行軌跡跟蹤，對于自動駕駛安全行駛具有重要的意義和作用。

倪蘭青[4]為了提高軌跡跟蹤的精度和軌跡跟蹤穩定性，提出了基于橫擺角速度的路徑跟蹤策略，同時考慮了車輛質心側偏角單獨用傳感器測量會有較大的噪聲造成測量誤差大，基于Kalman濾波器設計了實時估計出車輛的質心側偏角和橫擺角速度的估計器，同時針對二次型高斯最優控制器(linear-quadratic-Gaussian，LQG)穩定性的不足，改進了LQG/LTR控制器，通過仿真結果表明了算法的有效性。但該方法中采用的橫向預瞄誤差為近似值，同時未對車輛進行縱向控制，在極端工況下軌跡跟蹤的精度和穩定性會降低。馬迪[5]針對采用非完整約束的運動學模型不能處理車輛行駛過程的穩定性問題，基于魔術公式在控制器中加入輪胎側偏角約束，運用粒子群算法模糊控制器參數進行優化。通過仿真結果表明在一定工況下，能夠良好地保證車輛軌跡跟蹤的穩定性和精度。但由于控制器采用的車輛模型僅考慮側向動力學，假定了車輛行駛只工作在輪胎線性區域，因此在實際復雜工況下(速度變化大、輪胎在非線性區域工作等)易造成軌跡跟蹤失敗，導致安全事故。盧山峰[6]基于模型預測控制(model predictive control，MPC)設計了軌跡跟蹤控制器，依據控制器參數對軌跡曲率和軌跡偏差影響的結果，對道路曲率和跟蹤偏差建立了模糊控制規則，根據車輛的跟蹤狀態實時輸出相應的預測時域參數，實現了軌跡跟蹤的自適應控制，通過仿真驗證了在不同道路曲率下，改進后的控制器提高了跟蹤的精度和穩定性，但由于該仿真和試驗只考慮了固定車速下的軌跡跟蹤控制，實際在變速下軌跡跟蹤控制自適應性可能降低，導致跟蹤精度和穩定性下降。

針對以上軌跡跟蹤在不同工況下軌跡跟蹤自適應性變差的問題，首先依據MPC具有良好的自適應性和魯棒性等特點[7-10]，基于MPC設計軌跡跟蹤控制器，結合預測時域分析車速對軌跡跟蹤控制的影響，設計基于變預測時域的軌跡跟蹤控制器，最后通過仿真測試改進后的軌跡跟蹤控制器的有效性。

1 車輛動力學模型搭建

建立如圖1簡化的動力學模型。由牛頓第二定律得到車輛質心繞x、y、z軸的動力學方程。

圖1 簡化的動力學模型

沿車輛x軸方向的縱向動力學方程：

(1)

沿車輛y軸方向的側向動力學方程：

(2)

沿車輛z軸方向的橫擺力矩平衡方程：

(3)

式中：m為車輛質量；x為車輛的縱向位移；y為車輛運動的側向位移;φ為航向角；Flf為前輪縱向力;Flr為后輪縱向力;Fcf為前輪側向力；Fcr為后輪側向力；δf為前輪轉向角；Iz為轉動慣量；a為前軸到車輛質心的距離；b為后軸到車輛質心的距離。

車輛在慣性坐標系O-XYZ與車輛坐標系的運動學平衡方程為

(4)

輪胎的所受的縱向力Fl和側向力Fc為

(5)

式(5)中：Fz為車輛4個輪胎的垂直載荷；s為滑移率；μ為路面附著系數；α為輪胎側偏角。

為了簡化模型，忽略車輛前后軸載荷轉移造成的載荷變化，則Fz表示為

(6)

式(6)中：Fzf為車輛前面兩個輪子受到的垂直載荷；Fzr為車輛后面兩個輪子受到的垂直載荷。

滑移率s的定義為

(7)

式(7)中：v為車輛縱向速度；wr為輪胎轉速；r為輪胎滾動半徑。

輪胎的側偏角α定義為

(8)

式(8)中：vc為輪胎橫向速度；vl為輪胎縱向速度。

考慮到車輛正常運動過程中，車輛輪胎的側偏角和輪胎的滑移率變化幅度較小，為了更方便表示，采用線性關系表述輪胎的縱向力和側偏力，即

(9)

(10)

式中：Clf、Clr為前后輪縱向剛度；sf、sr為前后輪的縱向滑移率；Ccf、Ccr為前后輪的側偏剛度。由以上方程得到車輛動力學方程為

(11)

2 控制器設計

將式(11)車輛動力學方程寫成非線性動力學微分方程，即

(12)

基于非線性預測模型雖然控制精確，更符合實際的控制原理，但由于采用非線性控制需要經過復雜的運算處理，大大增加了運算負擔，在長時間的工作下，難以保證控制器的實時性、穩定性以及軌跡跟蹤的安全性。因此，基于線性化的預測模型進行軌跡跟蹤控制器的設計，這樣既保證了求解的方便，同時有效減少了運算器的負擔，能夠應用到實際應用中。

對式(12)進行線性化處理，得

(13)

將式(13)整理得

(14)

式(14)中：d(t0)=ξ(t0)-A(t0)ξ-B(t0)u(t0)。

根據上述步驟得到了線性化的狀態空間方程。由于該線性化后的方程是連續的，需要進行離散化處理才能運用到實際控制器設計中。采用的離散方法為前向歐拉離散方法，表達式為

(15)

式(15)中：I為單位矩陣；T為采樣周期。

上述離散化后的狀態空間方程一般形式為

(16)

參看文獻[10]中預測模型的設計，將式(16)寫為

(17)

式中：具體參數表達式為

在預測時域Np內，模型的輸出表示為

(18)

為了實現車輛的軌跡跟蹤，同時進行最優求解，產生最優控制量，設計如下目標函數：

(19)

式(19)中：Np、Nc分別為預測步長和控制步長；Q、R、S、ρ分別為跟蹤誤差、控制增量、控制量和松弛因子權重系數；目標函數第一項作用是讓車輛的實際軌跡跟蹤期望軌跡；第二項作用是在控制時域Nc內調節控制量的變化幅度，可以用來防止控制量大幅度變化造成的抖動；第三項作用能夠用來調節控制量變化快慢；最后一項的作用是防止出現無解的情況，用軟約束產生的次優解作為最優解。

對于式(19)類型的目標函數，若是直接去求最優解，則需要耗費大量的計算機計算時間，同時極大增加了控制器的負載，因此為便于計算機求解，需要對式(19)轉化為標準二次規劃形式(QP)。

經過假設和推導，式(19)轉化為如下標準二次型：

(20)

式(20)中：

(21)

式(21)中：Qe為輸出量的權重矩陣；Se為控制量的權重矩陣；ε為松弛因子，防止系統執行過程中出現沒有可行解的情況。

由于目的是要轉化為標準的二次規劃形式，則將Pt看作常數項省略掉，得

(22)

通過控制前輪轉向機構實現對軌跡的跟蹤，考慮到轉向機構的執行能力，對每個周期內的轉角增量和總輸入轉角做如下約束：

(23)

至此，目標函數約束設計完成。通過在控制器每個控制周期內產生一系列最優變量，并將產生的最優量的第一項作為最優解，即

ΔU(t)=[Δu(t),Δu(t+1),…,Δu(t+Nc-1)]

(24)

將式(24)中產生的最優向量第一項作為最優變量作用于系統，也即最終的控制量為

u(t)=u(t-1)+Δu(t)

(25)

3 仿真分析

首先，分析不同恒定車速度和不同預測時域Np對軌跡跟蹤效果的影響，然后通過CarSim和MATLAB/Simulink聯合仿真測試改進后的軌跡跟蹤控制器的性能。

3.1 車輛行駛速度對軌跡跟蹤控制影響仿真分析

為了分析在不同恒定車速度下，不同的預測時域Np下對軌跡跟蹤的影響，通過分析在同一定速度下，分析不同預測時域Np對軌跡跟蹤的影響；仿真實驗在不同定速度下進行了2組仿真測試，分別是36、90 km/h下進行不同恒定預測時域下軌跡跟蹤的效果，其中預測時域Np采用了4組，分別為8、14、20、26。車輛模型參數如表1所示。車輛輪胎與路面附著系數設置為0.8；仿真的工況為雙移線工況，目標軌跡和目標航向角如圖2所示。

圖2 目標軌跡和航向角

表1 車輛模型參數

車速36 km/h軌跡跟蹤仿真結果如圖3、圖4所示，由圖3知，軌跡偏差在預測時域為8時最小，且跟蹤過程平穩，無超調；預測時域由8到26過程中，發現隨著預測時域Np的增大，軌跡跟蹤偏差加大，這是由于隨著預測時域的增大使得預瞄距離變長，在較低車速下，車輛實際軌跡響應期望軌跡變慢，使得軌跡跟蹤偏差加大。由圖4可知，36 km/h車速下采用不同預測時域下軌跡跟蹤過程中車輛的質心側偏角和橫擺角速度變化正常。

圖3 車速36 km/h下軌跡跟蹤橫向和航向誤差

圖4 車速36 km/h下車輛質心側偏角和橫擺角速度變化

車速90 km/h軌跡跟蹤仿真結果如圖5、圖6所示，由圖5知，預測時域為8時，軌跡跟蹤失敗，實際的軌跡和航向已經完全脫離期望值，對應圖6中其車輛質心側偏角在縱向位移大約75 m處遠遠超出行駛的安全范圍，表明車輛已經失去穩定性；在預測時域為14時，車輛軌跡跟蹤橫向誤差較小，但對應其航向跟蹤誤差大，對應其質心側偏角和橫擺角速度在60～80 m處于大的范圍內波動，判斷車輛在60～80 m處于危險狀態；預測時域為20時，其軌跡跟蹤誤差和航向誤差較小，對應其質心側偏角和橫擺角速度變化平滑、自然，具有較好的跟蹤精度和穩定性；在預測時域為26，相比預測時域為20，其期望軌跡和期望航向跟蹤誤差較大，且存在一定的跟蹤滯后，控制效果不如預測時域為20的效果好。

圖5 車速90 km/h下軌跡跟蹤橫向和航向誤差

圖6 車速90 km/h下車輛質心側偏角和橫擺角速度變化

3.2 基于變預測時域的軌跡跟蹤控制器的設計和仿真分析

通過對比上述不同預測時域對應不同定速下軌跡跟蹤仿真分析發現，在低速下，軌跡跟蹤控制器采用小的預測時域軌跡跟蹤精度高，車輛行駛的穩定性也良好。在高速運動下，軌跡跟蹤控制器采用大的預測時域能夠較好地跟蹤期望軌跡，具有良好的軌跡跟蹤穩定性。由于實際車輛軌跡跟蹤變化過程中，會受到各種各樣的影響，車輛會進行加速或減速運動，使得車輛速度處于一直變化的過程中。如果采用恒定的預測時域，無法滿足低速、高速狀態和變速度下的軌跡跟蹤要求。因此，為了提升軌跡跟蹤控制器在不同速度下的自適應，根據當前車輛速度實時地更新預測時域Np的值。

圖7為基于變預測時域的軌跡跟蹤控制策略圖，其中系統誤差模型、系統約束、目標函數構成模型預測控制器，根據車輛的初始狀態、未來參考軌跡變化，輸入給模型預測控制器，控制器產生控制量輸入給CarSim車輛模型控制車輛軌跡跟蹤，CarSim車輛模型的車速狀態反饋到預測時域控制器，預測時域控制器根據車速產生相應的預測時域Np輸入給MPC模型預測控制器，實時更新預測時域，由此形成基于變預測時域的軌跡跟蹤控制器(以下稱為改進后的軌跡跟蹤控制器)。

圖7 基于變預測時域的軌跡跟蹤控制策略

由3.1節中車速對軌跡跟蹤控制的影響仿真分析，選取2組速度下對應的預測時域作為預測時域控制器設計的基準，如表2所示。考慮到車輛在低速下，控制器采用預測時域8時，控制效果較好；在高速采用大的預測時域，車輛軌跡跟蹤穩定性較好，但過度增加預測時域的值會加大控制器的運算負擔，使得控制器的實時性降低，存在安全隱患。因此，綜合考慮軌跡跟蹤的精度和穩定性，以及高速下控制器的實時性要求，最小預測時域選為8，最大預測時域為30；具體是通過選取的4組參數通過在MALTAB中進行3次多項式擬合取整得到，具體預測時域控制律如式(26)所示，獲得如圖8的預測時域控制器計算不同車速下對應的預測時域圖，其中4個藍色圈為表3中的4組參數，可以看出擬合并取整后的曲線能夠很好地代表4組參數。

圖8 不同車速下對應的預測時域Np

表2 不同車速下對應的預測時域Np

預測時域控制律具體如下：

(26)

為了更貼合實際超車過程以及更好測試改進后的軌跡跟蹤控制器的性能，車輛變加速進行軌跡跟蹤，輪胎與路面之間附著系數為0.8；并對比之前采用4組恒定預測時域的軌跡跟蹤控制器的跟蹤效果，車輛的參數和控制器參數與上述仿真中一致。

圖9為不同預測時域Np前輪轉角變化對比和行駛車速，其中，改進后的軌跡跟蹤控制器對應仿真結果命名為“自適應”。圖10為不同預測時域Np軌跡跟蹤和行駛航向對比，由圖10知，在預測時域為8和14，分別在縱向位移大約120 m和150 m處軌跡跟蹤出現大偏離，軌跡跟蹤失敗，原因是車輛運動過程中車速隨著縱向位移的變化不斷增加，使得車輛動力學特性發生較大變化，軌跡跟蹤控制器為了能夠跟蹤期望軌跡和參考航向，產生大的前輪轉角，使得車輛質心側偏角發生急劇變化，車輛行駛穩定性快速降低，使得車輛不能響應期望的轉角，造成軌跡跟蹤失敗。由圖11可知，預測時域為8和14，在縱向120 m處和150 m處，采用預測時域8和14的質心側偏角已經處于安全范圍之外，此時車輛已處于失穩狀態，驗證了上述失穩的原因。

圖9 不同預測時域前輪轉角對比

由圖10可知，分析對比控制器采用預測時域為20、26、自適應，發現采用自適應的預測值的車輛行駛軌跡偏差最小，對應航向偏差較小；預測時域為20的跟蹤航向偏差與自適應基本一致，但其行駛軌跡偏差較大；預測時域為26的行駛航向偏差在高速時最小，但行駛軌跡偏差很大，這也說明了高速時采用大的預測時域值，車輛穩定性較好，但代價是行駛軌跡偏差大。

圖10 軌跡跟蹤橫向誤差和航向誤差對比

由圖11發現采用自適應的車輛質心側偏角和橫擺角速度變化平滑自然，說明車輛軌跡跟蹤過程穩定；圖12為變速下自適應預測時域變化，可以看出隨著車速的變化，自適應預測控制器實時更新預測時域，增強了軌跡跟蹤控制器在不同車速下的自適應性。由以上分析說明了改進后的軌跡跟蹤控制器在兼顧車輛行駛穩定性的前提下，提升了軌跡跟蹤精度；而采用預測時域為26的軌跡跟蹤控制器，其航向偏差處于較小波動，但其軌跡跟蹤橫向誤差大，在實際應用中存在問題。

圖11 車輛質心側偏角和橫擺角速度變化

圖12 預測時域的變化

4 結論

采用大預測時域的軌跡跟蹤控制器能夠增加車輛行駛的穩定性，但車輛處于較低車速時，采用大的預測時域使得軌跡跟蹤橫向偏差加大，也大大地增加控制器的運算負擔，降低實時性。采用小的預測時域，在車速較低時具有較好的跟蹤效果；但實際中應用中，加速減速的工況使得車速變化幅度大，采用小的預測時域使得車輛軌跡跟蹤穩定性下降。而自適應預測控制器能夠實時根據車速的變化，實時產生預測時域。通過仿真結果分析表明，改進后的軌跡跟蹤控制器既滿足了車輛低速行駛下的軌跡跟蹤精度，也一定程度上克服了高速下車輛容易失去穩定性的問題。