三角形易錯易混點解析

余旭紅

三角形是最簡單、最基本的幾何圖形之一，在實際生活中隨處可見.它不僅是研究其他圖形的基礎，還是初中幾何的重點.如果我們能從其易錯易混點入手，就能很好地掌握相關知識，提升解題能力.

易錯點1 忽視構成三角形的條件

例1 已知一個三角形有兩邊相等，且其中某兩邊長分別是2cm和4cm，則這個三角形的周長為________.

【錯解】這個三角形的周長為8cm和10cm.

【剖析】分兩種情況討論：

（1）當相等兩邊長均為2cm時，由于2+2=4，不符合“三角形任何兩邊的和大于第三邊”；

（2）當相等兩邊長均為4cm時，由于2+4＞4，此時能構成三角形，周長為10cm.

【點評】求三角形的周長時，必須考慮三角形三邊關系是否成立.

易錯點2 忽視三角形高線位置的分類討論

例2 已知AD是△ABC的邊BC上的高線，∠BAD=70°，∠CAD=20°，則∠BAC=______.

【錯解】∠BAC=90°.

圖1

圖2

【剖析】當高AD在△ABC的內部時（如圖1），∵ ∠BAD=70°，∠CAD=20°，∴ ∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；當高AD在△ABC的外部時（如圖2），∵∠BAD=70°，∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.綜上可知，∠BAC的度數為90°或50°.

【點評】三角形的高線因三角形的形狀不同而位置不同，對于與三角形高線有關的問題，需根據三角形的具體形狀進行分類討論.

易錯點3 忽視全等三角形的對應關系

例3 已知△ABC與△A′B′C′全等，其中∠A=60°，∠B′=40°，∠A′=80°，BC=3，則A′B′的長為（ ）.

A.3 B.4 C.5 D.不確定

【錯解】D.

【剖析】由于思維定式，誤認為A′B′=AB，且它們是未知的，故選D.

∵∠A′+∠B′+∠C′=180°，∠A′=80°，∠B′=40°，∴∠C′=60°，可得∠C′與∠A是對應角，即邊A′B′與邊BC是對應邊，則A′B′=BC=3.

【點評】在確定全等三角形的對應角、對應邊時，易受思維定式的影響而找錯對應邊、對應角，應根據角度相等找到對應角，從而找到對應邊.

易錯點4 忽視三角形全等判別方法的正確應用

例4 如圖3，在△ABC中，AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點，且CD=BE.△ADC與△AEB全等嗎？說明理由.

圖3

【錯解】因為 AB=AC，BE=CD，∠BAE=∠CAD，所以△ADC≌△AEB（SSA）.

【剖析】錯解在于把“SSA”作為三角形全等的判別方法.

【正解】△ADC≌△AEB.

∵AB=AC，D、E為AB、AC的中點，∴AD=AE.在△ADC和△AEB中，∵AB=AC，AD=AE，CD=BE，∴△ADC≌△AEB（SSS）.

【點評】判斷全等三角形的方法一般為“ASA”“SAS”“AAS”“SSS”“HL”.其中“HL”屬于直角三角形.很多同學在證明三角形全等的時候常常應用并不成立的“SSA”定理.

易錯點5 忽視等腰三角形、直角三角形問題中的分類討論

例5 等腰三角形的一個外角為140°，那么底角等于（ ）.

A.40° B.100° C.70° D.40°或70°

【錯解】A.

【剖析】等腰三角形的一個外角可以是底角的鄰補角，也可以是頂角的鄰補角.

【正解】D.

【點評】解決等腰三角形角的問題時，注意根據頂角或底角的特征進行分類討論；在解決等腰三角形邊的問題時，注意根據腰或底邊的特征進行分類討論.

例6 已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊的長.

【錯解】第三邊的長為5.

【剖析】若3、4都為直角邊長，則第三邊長為 32+42=5；若3為直角邊，4為斜邊長，則第三邊長為 42-32=7.

【點評】當所給出的直角三角形的已知邊沒有具體指明是直角邊還是斜邊時，要分情況討論，防止漏解.

易錯點6 忽視勾股定理的逆定理的正確理解

例7 判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形，其中

【錯解】不是.

【點評】由邊長關系判定直角三角形時，常常誤認為以a、b、c為邊的三角形，只有當a2+b2=c2時才是直角三角形，實際上只要存在兩邊的平方和等于第三邊的平方，就可判定一個三角形是直角三角形.

易錯點7 忽視等腰三角形的性質與判定的靈活運用

例8 如圖4，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠GDF=∠ADF.

（1）求證：△ADE≌△BFE；

（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關系，并說明理由.

圖4

【剖析】不能找到∠GDF=∠DFG，DE=EF，從而不能由等腰三角形的三線合一性質得到EG⊥DF.

【正解】（1）∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠BFE，∠DAE=∠FBE.

∵E是AB的中點，∴AE=BE.

∴△ADE≌△BFE.

（2）EG與DF的位置關系是EG⊥DF.

∵∠GDF=∠ADF，∠ADE=∠BFE，

∴∠GDF=∠BFE，

∴GD=GF.由（1）得DE=EF，∴EG⊥DF.

【點評】要證明一個三角形是等腰三角形，必須得到兩邊相等，而得到兩邊相等的方法主要有：①等角對等邊；②三角形全等；③利用垂直平分線的性質.在已知的等腰三角形中，應靈活應用等腰三角形的三線合一的性質解決線段之間的數量與位置關系.