思維可視化助力數學建模

陳云

【摘? ?要】數學問題的解決常常是有“模”的，在“建模”的過程中，教師引導學生運用圖示、表格、公式等，用數學的語言把思考方法、思考過程、思考結果表達出來，這個過程就是“思維可視化”。學生在經歷模型準備、模型假設、模型建立和模型分析的過程中，恰當運用圖解，有助于從生活中抽象數學問題、運用數學語言描述發現，直至正確建立數學模型，并將所學知識應用到需要解決的問題中去。

【關鍵詞】數學建模;模型準備;模型假設;模型分析

數學問題的解決常常是有“模”的，在小學數學課堂中建立的這個“模”，是寬泛意義上的模式，是學生在對一類現實問題觀察和分析的基礎上，利用直觀的數學語言或工具，對問題進行恰當的抽象、提煉，并最終成為解決一類問題的模型。在建模的過程中，教師引導學生運用圖示、表格、公式等數學語言，把思考方法、思考過程、思考結果表達出來，這個過程就是“思維可視化”。“可視化”方式讓學生數學學習的心理過程清晰可見，助力學生對問題的分析、認識和解決，助力學生感知力、思維力、想象力的提升，更助力數學建模的完成。

數學模型并非現實問題的直接翻版，小學課堂中的數學建模常常要經歷模型準備、模型假設、模型建立和模型分析的過程，也就是結合生活實際進行抽象—運用數學語言、數學方式描述—初步建立數學模型—應用于需要解決的問題。下面以蘇教版三年級上冊“間隔排列”的教學過程為例，來分析思維可視化在建模過程中的重要作用。

一、模型準備

在建模的準備過程中學生需要了解問題的實際背景，掌握對象的各種信息，特別是提煉出問題的精髓，進而用數學語言來描述問題。在“間隔排列”的教學過程中，當呈現教材主題情境圖之后，教師首先引導學生用生活語言表述：小兔和小兔之間有一個蘑菇、木樁和籬笆一個接一個……接著進一步要求學生用數學語言描述問題，提示學生關注“數”的信息和“量”的特質，并選擇合適的方式呈現出來。然后教師與學生一起，用表格的方式將信息進行整理。

使用表格便于信息的集中、觀察和比較，是一種有數學特色的可視化“語言”，學生一看就知道接下來應該是會進行數量上的觀察與比較。確實，建模的準備過程需要對大量的觀測數據進行統計分析，以尋求規律，這就需要啟發學生選擇合適的“可視化”方式，把復雜的現實問題抽象成數學的信息，凸出“量”的特質，再輔以關鍵詞，讓學生對問題的把握一目了然。當然，問題的特點決定著采用什么樣的“可視化”方式，靜態的表格、圖示，動態的場景重現、電化手段等，都不失為好方法。

二、模型假設

有了充分的準備，教師要根據實際問題的特征和建模的目的，引導學生對問題進行必要的簡化，并用個性化的數學語言提出一些恰當的假設。“間隔排列”的教學中，學生觀察了兩種物體的數量，內心對兩種物體的數量關系有了朦朧的認識，此時教師便可以啟發學生提出模型的初步假設：能把你的發現寫出來或者畫出來嗎？在問題驅動下，學生有了多種表達方式，有用文字表述的：一個物體的數量=另一個物體的數量+1;有用字母抽象的：a=b+1;有用圖形代替的：+1……多元的表達方式，是學生對問題個性化的理解。

“可視”的數量關系式使問題的主要方面凸顯了出來，一方面表明學生已經在嘗試用抽象的方式進行建模，另一方面也暴露出學生對“間隔排列”方式認識的單一性。在分析完問題后，學生會帶著自己的認識，對存在的問題進行假設，嘗試運用抽象法，把復雜的研究對象轉化為數學的模式，經合理簡化后，建立起數學關系式（或方程式），以揭示研究對象定量的規律性。這既是數學建模中很關鍵的一步，也是比較困難的一步，運用“可視化”的方式更利于呈現學生的學習心理，找到學生在問題認識上的得與失。

三、模型建立

在假設的基礎上，學生進一步利用適當的數學工具來刻畫各變量、常量之間的數學關系，建立相應的數學結構。例如，學生對“間隔排列”的模型有了初步假設之后，需要進一步對自己公式中的各個符號進行解釋：這里的a和又表示什么？如何便于相互間的溝通？為什么會出現一個物體比另一個物體多1的現象？生活中的“間隔排列”現象都符合這個規律嗎？隨著生活中大量間隔排列現象的引入、比較、抽象，學生嘗試更完整地把研究過程和研究結果呈現出來（如圖1）。

有了這樣直觀工具的幫助，學生明白了同樣是的間隔排列，兩端物體是否相同決定了兩種物體的數量是否相同。于是就有了“首尾相同”和“首位不同”的第一次模型分類。為了進一步幫助學生理解間隔排列中兩種物體之間的數量關系，教師借助“一一對應”的思想，引導學生圈一圈（如圖2）。

至此，模型得以建立：

首尾相同：兩端物體數量=另一種物體數量+1;

首尾不同：物體a的數量=物體b的數量。

從這里可以看到，圖形、公式都是重要且簡單的數學工具，運用這些“可視化”工具，能讓學生的思維從抽象到具象再到抽象的過程有所依托，學生充分發揮想象力，借抽象的工具對自己的思路進行詳細闡釋，當模型與現實還沒有完全契合時，會有其他同學思路的補充和完善，以充分考慮各種可能性，最終完成模型的建立。

四、模型分析

對所建立模型的思路進行闡述之后，學生還需將模型與生活實際聯系起來，對所得的模型進行數學上的分析和檢驗，這是模型的運用過程，也是其數學價值的體現。在“間隔排列”模型建立之后，教師給學生提供了這樣的生活情境：“體育課上，男生女生是間隔排列的，已知男生有18人，這個班最多多少人？最少多少人？”男女生的“間隔排列”會出現哪些情況？很多學生能像圖1那樣用圖形或文字代替男生、女生，逐一排列。當然也會有同學用更簡潔的分析方式進行闡述（如圖3），這雖然只是跨出了一小步，卻可以看出學生對現實問題抽象、提煉的建模能力得到了有效提升。

對模型的分析要分為兩部分進行考慮，模型有哪些優點，又有什么缺點？很顯然，完成圖3這樣的分析是對模型的直接運用，是模型優點的展示。事實上，“間隔排列”可能出現的狀況還有很多，譬如這里的學生圍成一個圓會是多少人呢？如果不是排成一列，而是排成兩列或三列呢？等等。當然對于模型的這些缺點該怎么改進，并不需要三年級學生立即去解決，但隨著學生今后學習的深入，再遇到“間隔排列”問題時，就可以利用自己豐富的聯想和想象對原有的模型進行改進和完善，以期更好地去解決實際問題，這正是模型評價的基本目的和方向。

學生用“可視化”的方式對抽象的數學問題進行相關信息的加工、重組、抽象和提煉，這種將思維過程形象化、具體化的呈現方式，可以助推學生把知識資源轉化為知識資本，這是解決問題的重要基礎，也是數學建模的必要途徑。

（南京師范大學蘇州實驗學校? ?215133）