壓力位差式層流流量傳感技術氣體測量適用性研究*

王晴晴，李國占，李長武，張東飛，張洪軍*

(1.中國計量大學計量測試工程學院，浙江 杭州310018；2.蘇州市計量測試院，江蘇 蘇州215128)

層流流量計具有響應速度快、準確度高等優點，被廣泛用于流量測量領域。層流流量計基于哈根－泊肅葉定律工作，通過測量層流元件兩端壓降來實現流量測量[1]。傳統層流流量計通常在層流元件出口管道設置取壓腔室取壓，測得的差壓中必然存在毛細管進出口局部損失和層流起始段流動動能損失等非線性壓損，流體兩側壓降與流量并不是嚴格的線性關系。

為了獲得高準確度流量測量，層流元件設計需要較大的毛細管長徑比[2]，并需進行5個方面影響的修正，分別為非理想氣體、壁面滑移、入口段、膨脹效應以及熱影響修正[3－4]。臺灣計量標準中心(CMS)Feng等[5]采用玻璃毛細管為層流元件，選取多種影響因素修正后的計算模型對空氣和氮氣測量數據進行處理，并用二階多項式將其擬合，測量誤差在±0.17%之內，其毛細管長細比超過500。實驗室高精度氣體粘度測量也常采用層流法，中國計量科學研究院對氣體的理想流動進行了氣體徑向溫度場、體積膨脹等修正，成功測量了243.15 K~393.15 K氬氣在理想氣體狀態下的粘度數據[6]，并在國際上首次建立雙毛細管氣體粘度測量系統[7]。

當毛細管進出口流動損失較大時，總壓降中線性和非線性部分可分開描述，為此，陜西省計量科學研究院張嘉祥[8]在考慮氣體密度和粘度對測量影響的基礎上建立了新的層流流量計數學模型—JX2009方程，流量計算公式中引入了雙流量系數，將其運用天然氣流量測量時，相對誤差范圍為±1.8%。

為了從結構設計方面減少非線性壓損影響，Pena等[9]提出了一種三個取壓點的層流元件方案，小流量時取全部長度毛細管的壓降，大中流量時取毛細管后半部分的壓降，這樣一方面可以更好地利用差壓傳感器測量范圍，另一方面可減小差壓非線性部分占比，不過這種方法中增加了閥門切換系統，裝置相對復雜。近幾年，西北工業大學王筱廬等[10]提出微小縫隙式層流元件，利用Berg[3]的模型對數據進行修正，最大的引用誤差為±0.8%。

2020年，黃浩欽等[11]提出壓力位差式(Pressure potential differential type，PPD)層流流量傳感技術，其傳感元件由兩個流道組成，含四個交叉對稱的層流組件，實驗表明相對于傳統層流元件，PPD傳感元件測得差壓與流量之間有更好的線性關系。但是實驗過程中未單獨考慮氣體膨脹性影響修正，而是包含在流量修正系數中。同年，王晴晴等[12]針對不可壓縮流體，對PPD傳感元件進行了流體力學數值模擬研究，驗證了該元件滿足兩條支路流阻特性相同的要求，并且未經任何修正下流量與壓力位差具有良好的線性關系。

將PPD層流傳感技術應用于氣體流量測量時，諸多影響因素需要分析和修正。例如:①兩個支路流阻特性一致性問題。PPD層流流量傳感元件用于氣體流量測量時，由于氣體沿流道流動時會產生膨脹效應，流速沿流道不斷變化，兩條支路流動阻力是否相同?流量是否相同?②氣體層流流量計膨脹影響修正方法。對于氣體流動，流道內壓力沿流向逐漸降低，密度減小，體積流量增大，因此會帶來額外的壓損。氣體膨脹影響如何修正?這些問題的解決都有賴于傳感元件內部流動的深入理解。

由于采用實驗方法難以詳細測量流道沿程壓力損失和內部流場，數值模擬方法則可彌補實驗研究的不足，能夠提供有用的流動細節。數值模擬方法應用于相關領域，在氣體流動細節研究方面發揮了重要作用，獲得許多新的發現。例如，Van[13]通過理論分析和數值模擬的方法求解毛細管內可壓縮層流流動計算粘度的方程。結果表明，測量結果最主要是對流體的可壓縮性帶來的影響進行修正。劉臣勇[14]通過數值模擬分析長度、直徑和出入口錐角等幾何參數對流量測量裝置內部壓力分布和流量特性的影響規律，以便確定合適的氣體小流量測量裝置結構。許文達等[15]通過CFD仿真對渦街流量計中可壓縮和不可壓縮流動進行研究，結果表明仿真得到的偏差曲線與理論計算和實驗測試數據變化趨勢一致。

本文將主要采用數值模擬方法研究壓力位差式層流流量測量技術應用于氣體流量測量時傳感元件內部流場、流道阻力特性和差壓輸出特性，驗證PPD層流流量傳感技術對于可壓縮氣體流量測量的適用性，研究氣體膨脹影響修正系數取值，同時對計算仿真結果進行實驗驗證。

1 PPD層流流量傳感元件工作原理

根據哈根－泊肅葉定律，對于不可壓牛頓流體充分發展圓管層流，體積流量qv正比于壓降Δp[16]:

式中:d為圓管直徑；μ為流體的動力粘度；L為測壓點之間的管道長度。

為了克服前文所提到的非線性壓損，如圖1所示，PPD層流流量傳感元件設計了雙流道結構，其流道由含有四個毛細管層流組件位置交叉對稱的雙支路組成。兩條支路上不同長度層流組件中間設置取壓腔室，兩腔室取壓點之間的差壓為ΔP，即壓力位差[11－12]。

圖1 示意性給出了PPD傳感元件兩條支路上游毛細管內部壓降情況。其中ΔP′、ΔP″為兩條支路上游毛細管組兩端的總壓降。兩條支路工作時具有相同的入口壓力P0，當兩支路流量相同時，上游毛細管進出壓損、層流入口段壓損均相等，因此壓力位差ΔP＝P′－P″＝ΔP″－ΔP′＝ΔP6″[11－12]。即ΔP相當于支路2上游毛細管后半段層流充分發展段的流動壓降，則流經該支路的體積流量Qv為:

圖1 PPD傳感元件結構及壓降示意圖[12]

式中:n為單個層流組件中的毛細管根數；ΔL為兩種長度毛細管的長度之差。

式(2)成立是建立在假設不可壓縮流體流經兩條支路的流量相同、流阻特性一致的基礎上。一般情況下，流體在層流元件內的流動會引起壓力產生變化，而壓力會造成氣體密度變化，從而導致體積流量沿流向改變，可能引起兩條支路流阻出現一定偏差，對此需要進行分析和驗證，以確認該技術對于氣體測量的適用性。

2 氣體膨脹影響理論分析

應用層流法進行氣體流量測量需考慮多個方面的影響[16]，如:流動動能變化、非理想氣體、流體壓縮性、毛細管壁面滑移和熱效應等，這些因素都會引起額外的壓降變化。對于PPD傳感元件，理論上可以消除層流元件進出口動能變化影響，測量中低壓流體時非理想氣體影響可以忽略，由于粘性摩擦生熱與氣體膨脹效應導致溫度降低可以相互抵消，熱效應一般可忽略。圓管流動氣體壁面滑移影響修正數值可用4KslipKn來估算。其中，滑移修正系數Kslip＝1，努森數Kn為分子自由程λ與管道特征尺度d/2之比[3，17]。

式中:P為氣體的壓強；T為絕對溫度；Rgas為氣體常數。本文毛細管直徑d＝0.8 mm，介質為空氣，在常溫常壓下，估算壁面滑移影響修正為10－4量級，可忽略。因此，必須要考慮的影響因素可能只有氣體膨脹影響。

首先，在忽略體積膨脹引起的額外壓降情況下，分析流量與壓降關系。沿著毛細管管中流動方向取一微元段dx，根據哈根－泊肅葉公式，壓降dP和質量流量qm0的關系為:

式中:x為軸向坐標；ρ為流體密度。

對于理想氣體，壓強與密度之間滿足:

溫度不變的情況下可假設氣體密度與壓強成正比，對式(4)進行積分，可得毛細管內質量流量qm0為[3－4]

式中:P1、P2分別為毛細管工作段兩端的壓力；ΔP＝P1－P2。

當考慮氣體膨脹導致額外壓降時，根據伯努利方程，毛細管內流動動能增大，壓力下降，則式(4)轉變為:

式中:qm為考慮膨脹影響情況下的質量流量，第二項為動能增加導致的額外壓降，α為動能修正系數，當管中為充分發展層流流動時，α＝2。

取α＝2，對式(7)進行積分，可得:

一般情況下，式(8)中分母第二項遠小于1，忽略其展開式中的多次項并引入誤差修正系數Kexp，則質量流量qm可近似為:

根據上述推導，當不考慮膨脹引起的流速分布變形情況下Kexp＝0.5，文獻[3]和[13]考慮這種影響后，建議Kexp＝1，本文將根據數值模擬數據進行驗證。

3 物理模型和數值方法

3.1 物理模型

數值模擬研究中，選用單根毛細管組成層流元件。圖2為兩條支路的物理模型，支路1上游為短毛細管，支路2上游為長毛細管，給定相同流量情況下針對兩條支路分別進行計算，可對比其流阻(即總壓降)是否相同。兩支路各段差壓記法分別如圖所示，其中取x軸為流向坐標，坐標原點位于上游毛細管的進口處。

圖2 兩支路的物理模型

毛細管內徑d＝0.8 mm，管道和取壓腔內徑D＝6 mm。為保證長毛細管后半段流動為層流充分發展狀態，毛細管長度應超過層流起始段長度。層流流動速度分布在起始段內不斷發展，當管內中心流速達到充分發展段流速的99%時可認為進入充分發展段流動[18]。圓管層流起始段長度Le可以按照下式估算:

式中:C＝0.056。

當最大工作雷諾數Re為2 000時，則Le＝90 mm，短毛細管長度可以取100 mm，長毛細管長度為150 mm。

利用幾何建模軟件ICEM構建幾何模型和進行三維網格劃分。網格數量與質量對模擬計算結果有直接的影響，在進行正式仿真計算之前，需要進行網格無關性驗證。參考文獻[12]，本文網格數選取3443040能夠滿足計算要求。

3.2 邊界條件及計算方法

為了更好的分析氣體膨脹效應對PPD傳感技術測量結果的影響，對可壓縮模型和不可壓縮模型分別進行仿真計算。在不可壓縮模型中，其流體密度選擇為常數，而可壓縮模型中流體選擇理想空氣，其他邊界條件設置相同。入口設置質量流量邊界，兩條支路給定相同的質量流量qmr，由式(11)可計算得到單根毛細管中氣體的雷諾數。

式中:A為毛細管橫截面積。

出口設置為壓力邊界，壁面設置光滑、無滑移。選用大渦模擬方法，小尺度的渦通過引入亞格子應力建立與大渦的關系進行計算[18]，采用亞格子模型(WALE model)能夠通過判斷流場結構去改變亞格子應力以避免過多粘性所帶來的數值誤差。

4 計算結果與分析

4.1 內部流場分析

圖3 為Re＝1 000時，支路2毛細管內同一軸向位置的橫截面(x＝120 mm)處，采用不可壓縮和可壓縮流體兩種模型計算獲得的時均速度云圖。圖中可見，可壓縮模型計算結果中v＝35 m/s的區域比不可壓縮模型明顯大，兩者相對于毛細管橫截面占比的差別約為2.5%，意味著前者截面平均流速和流體動能比后者大。由于計算入口條件是相同的，顯然氣體可壓縮性起了作用，產生更多壓損，流速和體積流量增大更快。

圖3 時均速度云圖，Re＝1 000

實際流體的流動過程中由于粘性摩擦的存在，伴隨著能量轉換過程，一部分流動機械能不可逆地轉化為熱能。氣體總壓是氣流中靜壓與動壓之和，總壓的變化可以體現這種不可逆機械能損失(簡稱能量損失)。圖3顯示了雷諾數Re＝1 000時，支路2長毛細管總壓沿軸向變化情況，兩條曲線分別為采用不可壓縮模型和可壓縮模型的結果。

圖4 可以看出，相對比不可壓縮模型，采用可壓縮模型計算的總壓變化速率較快。表1為兩個模型中長毛細管兩端總壓數據，其中P1為x＝－20 mm處過流截面的總壓，P2為x＝156 mm處過流截面的總壓，ΔPt為兩者之差，即ΔPt＝P1－P2。

圖4 總壓沿毛細管流向變化曲線，Re＝1 000

表1 兩種氣體模型的總壓數據 單位:Pa

表1 數據顯示可壓縮模型中毛細管兩端的總壓損失較不可壓縮模型增大52.38 Pa，相對于不可壓縮模型中的總壓損失ΔPt的偏差為1.8%。

4.2 兩條支路的流阻特性

表2 列出了兩支路總差壓數據，其中，ΔP1、ΔP2分別為支路1和支路2的總差壓(參見圖2)；δΔP為ΔP1和ΔP2的相對偏差值，由式(12)給出，即

表2 數據顯示，在整個雷諾數范圍內(Re＝50~2 000)，兩條支路總壓降的相對偏差最大為0.05%，在一般測量精度要求情況下，可認為兩條支路流動阻力相同。如此可以推測，PPD層流流量傳感技術應用于氣體測量時，兩條并聯支路流量也必然相等，原理分析過程中的假設是成立的。

表2 支路總差壓數據

4.3 氣體膨脹影響修正

兩條支路的流阻特性一致，流經支路的流量相同，上述單獨計算模擬的兩條支路可以相當于一個PPD傳感元件的兩支路，基于兩支路計算數據進行進一步分析。

在前面提到的氣體膨脹影響理論分析過程中，如果假設層流流速分布為理想的二次拋物線，則動能修正系數α＝2，公式中(9)的Kexp＝0.5。但由于膨脹效應影響，流速分布可能并不是理想的二次拋物線。圖5為仿真計算支路2中x＝120 mm處氣體層流流動速度剖面，其中u(y)為徑向坐標y處軸向流速，v為截面平均流速，坐標原點位于圓管中心。顯然，由于膨脹影響，截面流速不再是二次拋物線分布，當雷諾數增加時，與拋物線分布差異更加明顯。

圖5 可壓縮性對管內層流速度剖面的影響

表3 列出PPD傳感元件測得差壓和流量數據處理結果。其中:qmk0為氣體膨脹影響修正前的流量值，即Kexp＝0，計算公式見式(6)；qmk1、qmk2分別為Kexp＝0.5、1時按照式(9)進行氣體膨脹性修正后的流量值；δc為其對應的相對誤差，相對誤差計算公式為

式中:qmc為計算得到的質量流量，其中c可以為k0，k1或k2；qmr為真實質量流量值，即數值計算給定準確值。

表3 中數據顯示，未引入膨脹修正時，流量計算值qmk0與實際值qmr的偏差(即誤差)隨著雷諾數的增加而增大，相對誤差δk0最大可達到3.44%。圖6為不同膨脹系數修正后的誤差曲線圖，對比Kexp＝1和Kexp＝0.5的修正結果，圖中顯示前者明顯好于后者，取Kexp＝1修正后的最大測量誤差為0.32%。文獻[3]和[13]建議Kexp應該取1，本數值計算結果驗證了這一取值。

表3 不同膨脹修正系數結果對比

圖6 不同膨脹系數的誤差曲線

4.4 差壓與流量的關系

ΔP11、ΔP21分別為兩條支路上游毛細管兩端的差壓值(參見圖2)，其值可等價于長度為100 mm、150 mm的傳統層流流量傳感元件測得的差壓。取Kexp＝1，qm1、qm2分別為根據ΔP11、ΔP21按照式(9)計算的流量值，相對誤差同樣參照(13)進行計算，此時式(13)中c為1或2，計算數據見于表4。同時，將3種差壓計算得到的流量值與真實流量值qmr分別進行對比，如圖10所示。

表4 常規層流流量傳感元件測試數據

由表3、表4中數據可以看出，在未經非線性修正情況下，傳統層流流量傳感元件測量相對誤差δ1、δ2隨著雷諾數的增加呈上漲趨勢，其值一直比δk2大。其中δ1、δ2在最大雷諾數工況下分別超過49%和33%。此外，可以看出，δ2一直較δ1較小，這是因為前者毛細管長徑比大，非線性影響相對較小。

另一方面，圖7顯示在整個測量范圍內，根據PPD傳感元件測得差壓計算得到的流量值與真實流量吻合非常好，最大偏差僅為0.32%，PPD傳感元件相對誤差至少要比傳統層流元件小一個量級。這種新型測量技術可以很好地將層流入口段和毛細管進出口的影響消除，從而可以達到更高的測量精度和更大的量程比。

圖7 未經非線性修正的流量與差壓關系曲線

5 實驗驗證

5.1 PPD傳感元件實驗模型和實驗裝置

為了進一步驗證數值計算結果，設計了PPD傳感元件的實驗模型(圖8(a))，并對其進行實驗測試。整個模型由兩個支路管道組成，管道采用不銹鋼材料，每條支路內放置兩個長度不同的不銹鋼毛細管組件(圖8(b))，組件兩端的支撐板用于密封和毛細管定位。

圖8 PPD傳感元件實驗模型

在實際應用中，為了獲得更小的毛細管長徑比，管內中心流速達到充分發展段流速的95%時可近似認為進入層流充分發展流動[19]，此時式(10)中C＝0.033。選取的毛細管內徑為0.8 mm，當工作最大雷諾數Re＝1 400時，Le＝37 mm，設計中取長短兩種毛細管長度分別為40 mm和90 mm。單個毛細管組件中毛細管的根數為53，層流元件模型設計最大流量約為5.4 m3/h。

實驗系統如圖9所示，主要包括PPD層流元件模型、音速噴嘴氣體流量標準裝置和微差壓測量儀器。其中，音速噴嘴氣體流量標準裝置流量范圍為0.016 m3/h~6.5 m3/h，測量不確定度為±0.3%(k＝2)，采用FCO560微差壓校準儀測量兩個取壓腔室之間的壓差，該校準儀的量程為±2.5 kPa，測量精度為讀數的0.05%±0.03 Pa。實驗流量范圍為0.025 6 m3/h~5.30 m3/h。

圖9 實驗系統圖

5.2 實驗測試結果

表5 為實驗測試數據，表中qs為音速噴嘴氣體流量標準裝置設定和給出的標準流量，其他參數含義與仿真計算相同。為了便于直觀對比，將表5中相對誤差數據繪制成散點圖，如圖10所示。表5和圖10數據顯示，在未引入氣體膨脹修正情況下(Kexp＝0)，PPD傳感元件整體測量誤差隨流量增大而增大，最大流量時達到＋2.41%；當采用Kexp＝1進行膨脹修正后，在大約200倍的實驗測量范圍內，測量誤差在±0.8%以內，說明膨脹影響得到了較好的修正，這與數值計算結果是一致的。另一方面，測試數據可看出，隨著流量增大，毛細管流動阻力(差壓)增大，膨脹影響也相應增大，如果不進行膨脹修正會給測量帶來較大誤差。

圖10 流量的相對誤差分布

同時，表5數據表明在采用膨脹修正后，PPD層流元件測量流量與標準流量偏差很小，再次驗證了計算仿真結果和PPD層流流量測量技術原理的正確性。

表5 PPD傳感元件實驗測試數據

需要指出的是，關于PPD傳感元件用于氣體流量測量時兩條支路流阻特性基本一致的實驗結果在文獻[12]中已給出，有興趣的讀者可參考該文獻。從本文研究結果來看，PPD氣體層流流量技術完全可以用于實際傳感器設計，而設計過程中應解決傳感器集成化和模塊化問題。與傳統層流流量傳感器相比，PPD層流流量傳感器的缺點是元件組成相對復雜，含有4個毛細管組件，會增加一定成本，但增加量比較有限。

6 總結

本文針對可壓縮氣體流量測量，對PPD傳感元件進行了數值模擬和實驗測試，主要工作和結果如下:①分別采用可壓縮模型與不可壓縮模型進行計算仿真。發現采用可壓縮性模型時，毛細管內流動總壓變化速率更快，管內中心區域速度更大，說明氣體壓縮性對流動和壓降有明顯影響。②對氣體PPD傳感元件兩條支路流動阻力特性進行了仿真研究。流量相同情況，兩條支路總壓降的相對偏差均不超過±0.05%，流阻特性可視為一致，說明這種新型測量技術應用于氣體流量測量的假設條件是成立的。③對層流流量測量中氣體膨脹影響進行理論分析，并對修正系數的取值進行仿真計算和實驗驗證，結果表明，膨脹修正系數Kexp＝1時，修正后的流量測量誤差基本在±0.8%之內，這一結果與前人研究是一致的。④將PPD傳感元件與傳統層流流量傳感元件進行對比，結果顯示，在整個計算雷諾數范圍內(Re＝50~2 000)，不進行非線性修正情況下，PPD層流元件流量最大相對誤差僅為0.32%，較傳統層流元件至少小1個量級。