基于偏微分去噪的結構光圖像預處理方法

王麒銘

（西南交通大學，四川 成都 611756）

三維重建屬于計算機視覺的重要研究內容之一。其中結構光技術使用預先定義的圖像模式對待測物體進行投影，成為重構技術的一個重要分支。在結構光中，柵線投影（DFP）技術由于其空間分辨率高、測量速度快、點密度高等優點，被廣泛應用于工業、醫療、娛樂等領域[1]。從變形的條紋圖中提取相位是柵線投影的必要步驟。目前，傅里葉方法[2]和相移方法[3-4]是最主要的手段。但傅里葉變換精度相對較低，相移方法會引入額外的時間復雜度。因此，進行圖像去噪是提升精度的直接可行方案。

與均值降噪、中值降噪等經典去噪方法相比，基于偏微分方程[5]的圖像去噪更具自適應性、穩定性和精確性。二階偏微分方程[6]和全變分（TV）模型[7]是典型的偏微分方程方法。然而，這些二階偏微分方程往往產生一個分段恒定的圖像，因此可以在其強度值平滑變化的區域中產生階梯效應。為此基于集合測度論和原始圖像的結構的MTV 方法被提出，其采用梯度最優化取得了理想的效果。

本文將利用偏微分方程方法對圖像進行預處理，來得到更高精度的測量結果。

1 基本理論

1.1 柵線投影技術

柵線投影法利用投影儀和相機光軸成一定的角度來構建三角關系，通過相位和高度的映射得到被測物體的三維輪廓。在本文，將不同灰度值視為三維物體的不同高度，構建了相位與二維圖像灰度值的映射關系。

設P 為投影儀光心，C 為相機光心。O 為相機光軸和投影儀光軸的交點。L1 和L2 分別為相機光心和投影儀光心到X 軸的距離，d 為相機光心到投影儀光心沿X 軸方向上的距離。設PO與AC 相交于M點，A-B-O 平面為假設的虛平面且平行于投影儀光心和相機光心的連線PC。求得高度Z 如下：

其中i=0，1，2，…，N-2，N-1。方程組共有N 個方程，三個未知量，原理上當N≥3 時即可求解。在實際操作中，為了保證求解的精度，一般取N≥4。采用Matlab 中peaks 高度分布和相位分布如圖1 所示。

圖1 高度相位關系

方程可以轉化為以下形式：

其中i=0，1，2，…，N-2，N-1。通過以下參數代換B1（x，y）=B（x，y）·cos[（φx，y）]，B2（x，y）=-B（x，y）·sin[φ（x，y）]，待求方程組表述為：

根據對B1（x，y）與B2（x，y）的構造可知tan[φ（x，y）=-B2（x，y）/B1（x，y）]，結合超定方程的最小二乘解法x=（NTN）-1NTI，求得φ（x，y）的最優解為：

1.2 MTV 偏微分濾波方法

假設噪聲圖像為I（x，y），待恢復圖像為u（x，y）。則TV 模型對于圖像的恢復流程對應以下函數的最小化過程：

2 數值模擬

在本文中，將采用MTV 方法對圖3 中的四幅圖像進行去噪處理，進一步利用文1.1 所述相位求解方法對相位進行計算。其單幅圖像的去噪效果如圖2 所示。

圖2 MTV 方法預處理柵線圖像單幅效果圖

圖3 相位求解對比

從圖2 中可以看出，MTV 方法在基本不損失柵線細節（在圖像彎曲處沒有出現明顯的過平滑效應）的情況下，有效地過濾了散布在測量圖像中隨機高斯噪音。其噪音圖的相位求解結果與MTV 方法去噪后的相位求解結果如圖3 所示。

基于圖3 可以看出，其通過MTV 方法去噪，可以有效的將平均絕對值誤差(MAE)從0.047rad 降低至0.0215rad。且去噪后的相位誤差分布可以看出，本文方法有效地降低了誤差的大小和規模。

3 結論

本文提出了一種運用偏微分方程對結構光圖像進行預處理的方法。根據四步相移方法，分別求解出MTV 偏微分方程濾波方法使用前后投影圖案對應的相位值。比較運用偏微分方程方法濾波前后相位的平均絕對值誤差(MAE)，其由0.047 降低至0.0215。

本文方法在結構光三維重建在應用的基礎上擴大了偏微分應用。另一方面，由于去噪過程沒有考慮結構光自身的模態信息，對結構光信息的影響也并未考慮。在今后的工作中，還應圍繞上述內容展開研究。