基于改進(jìn)灰色GM(1.1)模型的鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)

肖金山，何 濤

(蘭州交通大學(xué) 研究院，蘭州 730070)

鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)是鐵路貨運(yùn)部門(mén)進(jìn)行運(yùn)輸規(guī)劃和科學(xué)決策的重要依據(jù)，科學(xué)準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)結(jié)果將為鐵路貨運(yùn)規(guī)劃方案的實(shí)施提供有力保障.國(guó)外對(duì)鐵路貨運(yùn)量的預(yù)測(cè)研究相對(duì)較早，文獻(xiàn)[1]通過(guò)多元回歸模型對(duì)鐵路貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[2]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)港口多式聯(lián)運(yùn)貨運(yùn)量預(yù)測(cè)研究；文獻(xiàn)[3]更是率先使用Box-Jenkins模型對(duì)短期貨運(yùn)量進(jìn)行了預(yù)測(cè).國(guó)內(nèi)鐵路貨運(yùn)量的預(yù)測(cè)研究主要集中于年度長(zhǎng)期預(yù)測(cè).文獻(xiàn)[4]通過(guò)遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混合運(yùn)算對(duì)鐵路年度貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[5]利用無(wú)偏灰色Verhulst對(duì)蘭州至中川機(jī)場(chǎng)年度貨運(yùn)量預(yù)測(cè)研究；文獻(xiàn)[6]則通過(guò)灰色關(guān)聯(lián)分析選取年度貨運(yùn)量的主要影響因素，并建立支持向量機(jī)模型完成鐵路年度貨運(yùn)量的最終預(yù)測(cè).由于鐵路貨運(yùn)部門(mén)制定月度貨運(yùn)計(jì)劃時(shí)，年度貨運(yùn)量預(yù)測(cè)在貨運(yùn)規(guī)劃方面的指導(dǎo)意義較小，若能科學(xué)準(zhǔn)確的對(duì)鐵路月度貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，將有效解決我國(guó)鐵路短期貨運(yùn)量規(guī)劃參考理論不足的問(wèn)題.

鐵路月度貨運(yùn)量的影響因素較多，準(zhǔn)確的對(duì)各因素定量分析存在較大難度，使得普遍應(yīng)用于鐵路年度貨運(yùn)量預(yù)測(cè)的基于線性回歸、指數(shù)分析的傳統(tǒng)建模方法，因沒(méi)有長(zhǎng)期有效的月度觀測(cè)資料無(wú)法有效使用.灰色GM(1.1)模型以貧信息、小樣本為研究對(duì)象，提供了不確定性系統(tǒng)解決問(wèn)題的新思路[7].若將鐵路月度貨運(yùn)量看作一個(gè)灰色系統(tǒng)，對(duì)監(jiān)測(cè)得到的較少信息進(jìn)行累加變換，使原始貨運(yùn)量呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)現(xiàn)象后，建立GM(1.1)模型對(duì)鐵路月度貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)將存在理論依據(jù).文獻(xiàn)[8-12]采用傳統(tǒng)GM(1.1)模型對(duì)鐵路年度貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)研究，由于選取的鐵路貨運(yùn)量樣本呈非負(fù)單調(diào)增長(zhǎng)趨勢(shì)，預(yù)測(cè)精度較高.文獻(xiàn)[13-14]則對(duì)呈現(xiàn)振蕩波動(dòng)現(xiàn)象的鐵路年度貨(客)運(yùn)量序列直接采用傳統(tǒng)GM(1.1)建模，因沒(méi)考慮樣本序列波動(dòng)的情況，預(yù)測(cè)精度較差.由此表明，傳統(tǒng)GM(1.1)模型僅對(duì)樣本呈現(xiàn)非負(fù)單調(diào)變化的序列適用性較強(qiáng)，對(duì)于存在波動(dòng)現(xiàn)象的序列預(yù)測(cè)效果并不理想.

查閱國(guó)家統(tǒng)計(jì)局相關(guān)資料發(fā)現(xiàn)，鐵路月度貨運(yùn)量序列時(shí)常呈現(xiàn)非負(fù)波動(dòng)現(xiàn)象，為解決鐵路月度貨運(yùn)量存在振蕩波動(dòng)現(xiàn)象時(shí)，傳統(tǒng)GM(1.1)建模方法預(yù)測(cè)效果不理想的問(wèn)題，本文使用加速平移與加權(quán)均值變換對(duì)存在波動(dòng)現(xiàn)象的鐵路月度貨運(yùn)量序列預(yù)先處理，使其滿足非負(fù)單調(diào)條件后進(jìn)行改進(jìn)GM(1.1)建模.

1 灰色GM(1.1)模型

1.1 傳統(tǒng)GM(1.1)

傳統(tǒng)GM(1.1)模型基本思想是：為方便數(shù)學(xué)建模，對(duì)原序列進(jìn)行一次累加生成，因累加后序列具有指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)，所以利用近似一階微分方程建立模型，最后由建模序列累減生成預(yù)測(cè)序列完成原序列發(fā)展趨勢(shì)的預(yù)測(cè)[15-16].

傳統(tǒng)GM(1.1)具體建模過(guò)程如下：

設(shè)原序列為：X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，對(duì)該序列進(jìn)行一次累加生成：

(1)

生成具有指數(shù)規(guī)律的序列為

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}.

將X(1)序列近似為一階微分方程

(2)

的解.其中:a為模型的發(fā)展系數(shù);b為灰作用量.

記參數(shù)A=[a,b]T，利用最小二乘法求得A為

A=(BTB)-1BTY.

(3)

式中：

Y={x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)}T.

求得a,b值并代入公式(2)，計(jì)算得

(4)

由公式(4)累減可得預(yù)測(cè)函數(shù)為

(5)

1.2 振蕩序列的傳統(tǒng)GM(1.1)誤差分析

傳統(tǒng)GM(1.1)建模時(shí)，因原序列規(guī)律性不強(qiáng)，需進(jìn)行累加變化后利用公式(2)建立數(shù)學(xué)模型.此建模方式不論原序列振蕩與否，累加生成的序列都將非負(fù)單調(diào)變化，還原序列也呈相同變化趨勢(shì).當(dāng)原序列非負(fù)單調(diào)時(shí)，預(yù)測(cè)精度較好，但當(dāng)原序列振蕩波動(dòng)時(shí)，因還原序列非負(fù)單調(diào)變化，無(wú)法準(zhǔn)確擬合原振蕩序列，預(yù)測(cè)精度并不理想.

1.3 振蕩序列的GM(1.1)模型改進(jìn)

若對(duì)振蕩波動(dòng)序列進(jìn)行數(shù)學(xué)變換使其具有非負(fù)單調(diào)趨勢(shì)后，利用GM(1.1)建立數(shù)學(xué)模型，最后計(jì)算還原函數(shù)并進(jìn)行數(shù)學(xué)反變換得到預(yù)測(cè)序列，將很好的解決傳統(tǒng)GM(1.1)模型對(duì)振蕩序列預(yù)測(cè)精度不高的問(wèn)題.對(duì)于振蕩序列的數(shù)學(xué)變換，學(xué)者們提出了不同的思想，主要包括利用指數(shù)變換、三角變換、正弦函數(shù)變換、平移變換、加權(quán)均值、幾何平均和緩沖算子等方法處理振蕩序列[17-21].本文參照文獻(xiàn)[18,21]，結(jié)合加速平移與均值變換方法對(duì)呈現(xiàn)振蕩波動(dòng)現(xiàn)象的序列預(yù)先處理，達(dá)到弱化序列波動(dòng)性的目的.

設(shè)X={x(1),x(2),…,x(n)}為原序列，若存在k,k′∈[1,2,…,n-1]，使x(k+1)-x(k)>0,x(k′+1)-x(k′)<0，則稱X為隨機(jī)振蕩序列.令：

M=max{x(k)|k=1,2,…,n},

(6)

m=min{x(k)|k=1,2,…,n},

(7)

稱M-m為序列X的振幅，記為T(mén).

定義加速平移變換：為了對(duì)原振蕩序列的波動(dòng)性進(jìn)行弱化，特定義序列XE1={x(1)e1,x(2)e1,…,x(n)e1}，式中：

x(k)e1=x(k)+(k-1)T,k=1,2,…,n.

(8)

稱e1為加速平移變換因子，通過(guò)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)運(yùn)算即可證明經(jīng)過(guò)該變換后的原始非負(fù)振蕩序列呈單調(diào)變化趨勢(shì).

定義加權(quán)均值變換：經(jīng)過(guò)e1因子處理后的序列已呈現(xiàn)單調(diào)變化趨勢(shì)，具備建模條件.為了更加準(zhǔn)確的對(duì)原序列進(jìn)行擬合，引入加權(quán)均值變換對(duì)因子處理后的序列進(jìn)行二次變換.定義變換序列為XE2={x(1)e1e2,x(2)e1e2,…,x(n)e1e2}，式中：

(9)

稱e2為加權(quán)均值變換因子，通過(guò)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)計(jì)算可證明經(jīng)過(guò)e2因子變換后的序列保持了原有序列的單調(diào)特性且使序列更加光滑.

2 振蕩序列的改進(jìn)GM(1.1)建模

設(shè)原振蕩序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，其中:x(0)(k)>0,k=1,2,…,n.改進(jìn)GM(1.1)建模過(guò)程如下：

1) 對(duì)原序列X(0)進(jìn)行e1因子變換為

Y(0)={y(0)(1),y(0)(2),…,y(0)(n)}.

2) 對(duì)序列Y(0)進(jìn)行e2因子變換為

Z(0)={z(0)(1),z(0)(2),…,z(0)(n)}.

3) 對(duì)序列Z(0)進(jìn)行一次累加為

Z(1)={z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(n)}.

4) 建立Z(1)序列的GM(1.1)微分方程模型：

(10)

a,b參數(shù)由最小二乘法

(11)

確定，其中：

P=[z(0)(2),z(0)(3),…,z(0)(n)]T.

5) GM(1.1)微分方程的響應(yīng)函數(shù)為

(12)

6) 一次累減得到z(0)的預(yù)測(cè)函數(shù)為

(13)

(14)

(15)

(16)

9) 精度檢驗(yàn).利用殘差值和相對(duì)誤差指標(biāo)對(duì)改進(jìn)GM(1.1)模型預(yù)測(cè)精度進(jìn)行評(píng)價(jià)，并和傳統(tǒng)GM(1.1)模型對(duì)比分析.

設(shè)殘差值序列為

e={e(1),e(2),…,e(n)}.

其中：

(17)

則相對(duì)誤差為

(18)

平均相對(duì)誤差為

(19)

3 數(shù)值模擬驗(yàn)證

如表1所列我國(guó)2019年11月至2020年5月鐵路貨運(yùn)量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為例，分別使用傳統(tǒng)GM(1.1)和改進(jìn)GM(1.1)建立鐵路月度貨運(yùn)量預(yù)測(cè)模型.通過(guò)比較預(yù)測(cè)貨運(yùn)量與實(shí)際貨運(yùn)量的擬合程度，對(duì)兩種建模方法的模擬精度進(jìn)行對(duì)比分析.

表1 2019年11月至2020年5月我國(guó)鐵路月度貨運(yùn)量統(tǒng)計(jì)表Tab.1 Statistical table of China′s railway monthly freightvolume from November,2019 to May,2020

1) 利用表1數(shù)據(jù)建立傳統(tǒng)GM(1.1)模型.原數(shù)據(jù)序列為X(0)={38 367,39 209,36 313,31 576,35 189,32 723,36 660}.對(duì)原序列累加一次得X(1)={38 367,77 576,113 889,145 465,180 654,213 377,250 037}.

通過(guò)公式(3)利用最小二乘法求A，其中：

由公式(5)可得傳統(tǒng)GM(1.1)模型預(yù)測(cè)函數(shù)為

將k=1,2,3,4,5,6代入上式，得到傳統(tǒng)GM(1.1)對(duì)2019年11月至2020年5月我國(guó)鐵路月度貨運(yùn)量的模擬結(jié)果為

35 553.202 1,34 957.401 6,34 371.585 6,33 795.586 7}.

2) 利用表1數(shù)據(jù)建立改進(jìn)GM(1.1)模型.原序列為X(0)={38 367,39 209,36 313,31 576,35 189,32 723,36 660}.由原數(shù)據(jù)得X(0)序列的振幅T=7 633.

根據(jù)公式(8)對(duì)X(0)進(jìn)行e1因子變換得：Y(0)={38 367,46 842,51 579,54 475,65 721,70 888,82 458}.

根據(jù)公式(9)對(duì)Y(0)進(jìn)行e2因子變換得：Z(0)={38 367,42 604.5,45 596,47 815.75,51 396.8,

54 645.333 3,58 618.571 4}.

原序列經(jīng)過(guò)e1和e2因子處理后呈非負(fù)單調(diào)變化趨勢(shì),以Z(0)數(shù)據(jù)建立GM(1.1)模型.Z(0)的一次累加生成序列為

Z(1)={38 367,80 971.5,126 567.5,174 383.25,225 780.05,280 425.383 3,339 043.954 7}.

公式(11)中，參數(shù)B,P分別為

P=[42 604.5,45 596,47 815.75,51 396.8,

54 645.333 3,58 618.571 4]T.

由公式(12)可得一階微分方程的解為

由公式(13)可得改進(jìn)GM(1.1)模型預(yù)測(cè)函數(shù)為：

將k=1,2,3,4,5,6代入上式，得到改進(jìn)GM(1.1)對(duì)Z(0)的預(yù)測(cè)結(jié)果為

51 411.348 2,54 781.849 7,58 373.319 6}.

33 531.862 2,33 469.357 2,34 124.139}.

為了準(zhǔn)確分析兩種模型的預(yù)測(cè)精度，對(duì)傳統(tǒng)GM(1.1)模型和通過(guò)e1和e2因子變換后生成新的序列建立的改進(jìn)GM(1.1)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際貨運(yùn)量進(jìn)行比較分析，結(jié)果如表2所列，如圖1所示.

表2 兩種模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)及誤差分析Tab.2 Prediction data and error analysis table of the two models

圖1 兩種模型擬合曲線Fig.1 Fitting curves of the two models

結(jié)果表明，和傳統(tǒng)GM(1.1)相比，對(duì)呈現(xiàn)振蕩現(xiàn)象的鐵路月度貨運(yùn)量使用e1和e2因子變換后建立的GM(1.1)模型在殘差、相對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差三項(xiàng)指標(biāo)均有減小，且預(yù)測(cè)結(jié)果呈現(xiàn)波動(dòng)變化趨勢(shì)，更好的擬合了鐵路月度貨運(yùn)量原始序列，解決了傳統(tǒng)GM(1.1)模型對(duì)振蕩波動(dòng)序列模擬度差的問(wèn)題.

4 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)GM(1.1)對(duì)呈現(xiàn)振蕩波動(dòng)現(xiàn)象的鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)效果不理想的問(wèn)題，本文建立改進(jìn)GM(1.1)模型.通過(guò)模擬我國(guó)鐵路月度貨運(yùn)量，對(duì)兩種模型的擬合效果進(jìn)行了比較分析，主要結(jié)論如下：

1) 傳統(tǒng)GM(1.1)建模時(shí)，由于還原后的預(yù)測(cè)函數(shù)呈非負(fù)單調(diào)變化，導(dǎo)致預(yù)測(cè)序列也呈相同變化趨勢(shì)，這是造成傳統(tǒng)GM(1.1)模型對(duì)振蕩序列預(yù)測(cè)效果差的主要原因.通過(guò)擬合我國(guó)2019年11月至2020年5月鐵路貨運(yùn)量發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)e1和e2因子變換后的改進(jìn)GM(1.1)模型在殘值、相對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差指標(biāo)和傳統(tǒng)GM(1.1)模型相比下降明顯，驗(yàn)證了改進(jìn)GM(1.1)模型對(duì)呈現(xiàn)振蕩波動(dòng)現(xiàn)象的鐵路月度貨運(yùn)量預(yù)測(cè)的可行性.

2) 對(duì)鐵路月度貨運(yùn)量的擬合和預(yù)測(cè)，按年份順序進(jìn)行月度數(shù)據(jù)橫向分析大幅提高了預(yù)測(cè)精度.由于影響鐵路月度貨運(yùn)量的因素眾多且復(fù)雜，后續(xù)研究將考慮外在因素對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，并加入不同年份同一月份的縱向月度貨運(yùn)量預(yù)測(cè)值，結(jié)合兩種預(yù)測(cè)結(jié)果通過(guò)最優(yōu)組合法得到預(yù)測(cè)實(shí)際值，以進(jìn)一步提高鐵路月度貨運(yùn)量的預(yù)測(cè)精度.