非線性薛定諤方程的精確解析解

趙 歡

(南昌理工學院， 江西 南昌 330044)

自從理論上首次提出孤子并在實驗中得到證明以來[1]，孤子的研究已成為一個有吸引力的研究領域。孤子作為一種超短脈沖的特殊形式，能夠保持其速度和形狀不變。 在長距離傳輸中，由于其在組速度色散(GVD)和非線性(例如自相位調制，SPM)效應之間的平衡而引起的[2]。 實際上，已經在一些領域研究了孤子，包括應用數學，理論物理學，玻色-愛因斯坦凝聚和非線性光學，以及由于其優越的性能而在超快光學中的某些物理應用[3]。

在本文中，我們將介紹一個描述具有非線性和分布色散的非均勻光纖中孤子傳輸的動力學的廣義非線性薛定諤方程[4]

iut+id(t)u+b(t)uxx+l(t)u|u|2=0

(1)

其中u=u(x,t)。對于方程(1)，文獻[5]通過特殊函數的選擇研究了孤子的相互作用。文獻[6]通過Hirota方法獲得了單孤子和雙孤子解。文獻[7]構造了圓柱非線性薛定諤方程并給出了四個特殊變換。文獻[8]通過Darboux變換和Lax對得到了孤子解。文獻[4]討論了方程(1)類Dromion孤子相互作用。在空間/實驗室等離子體、流體力學和光纖中，方程(1)有很多重要的特例，比如圓柱和球面幾何修正的塵埃聲波包絡孤立波非線性薛定諤模型、變/分布系數廣義非線性薛定諤模型以及某些非均勻光纖非線性薛定諤模型等等[7]。

假設

u(x,t)=eiφ(x,t)Δ[ω(x,t)]

(2)

其中ω(x,t)=τ3(t)+xτ4(t)。此時，方程(1)變為

(3)

且

(4)

其中σ1和σ2是積分常數，τ1(t)和τ2(t)是積分函數。

1 亮暗孤子解

非線性薛定諤方程的亮孤子和暗孤子解是近年來研究的熱點[9]。亮孤子描述了在調制不穩定性下，恒定振幅波產生的脈沖。暗孤子代表調制穩定的恒幅波的脈沖。為了獲得這兩種解，我們有

Δ[ω(x,t)]=δ1Sech[ω(x,t)]+

δ2Tanh[ω(x,t)]

(5)

將 (5)代入(3)可得如下兩種解

(Ⅰ)、

(6)

其中σ3和σ4都是積分常數。此時可得方程(1)的亮孤子解

u(x,t)=

xτ4(t)]δ1

(7)

在方程(7)中令

σ1=σ2=σ3=σ4=1,δ1=2

亮孤子解(7)的物理結構見圖1。

圖1 (a) b(t)=-1;(b) b(t)=-t;(c) b(t)=cost

(Ⅱ)、

(8)

此時可得方程(1)的暗孤子解

(9)

在方程(9)中令

σ1=σ2=σ3=σ4=1,δ2=2

暗孤子解(9)的物理結構見圖2。

圖2 (a) b(t)=-1;(b) b(t)=-t;(c) b(t)=cost

2 雙曲函數解和三角函數解

為了獲得方程(1)的雙曲函數解和三角函數解[10-11]，我們假設

(5)

其中

G″[ω]=-JG′[ω]-KG[ω]

(6)

G′[ω]/G[ω]滿足：

(7)

(8)

(9)

其中?=J2-4K。將方程(5)-(9)代入(3)中可得方程(1)的雙曲函數解和三角函數解如下：

(Ⅰ)、

(10)

(11)

(12)

其中

(Ⅱ)、

(13)

(14)

(15)

其中

(Ⅲ)、

(16)

(17)

(18)

其中

8Kτ4(t)2]/[4τ4(t)2]

為了了解雙曲函數解和三角函數解的特點，我們選擇解(16)和(17)作為例子，假設

σ1=σ2=σ3=σ4=C1=1,C2=-2,η1(t)=2

此時他們的物理結構被展示在圖3和圖4中。

圖3 K=-1,(a) b(t)=-1;(b) b(t)=-t;(c) b(t)=cost

圖4 K=1,(a) b(t)=-1;(b) b(t)=-t;(c) b(t)=cost

3 結論

本文獲得了變系數非線性薛定諤方程大量的精確解，其中包含了亮孤子解、暗孤子解、雙曲函數解、三角函數解以及一部分有理函數解。這些解的物理結構被展示在圖1～圖4。所有的解都通過Mathematica軟件驗證是正確的。