基于先驗稀疏模型的光譜圖像壓縮采樣檢測 *

李瀟飛,唐意東

(1.空軍工程大學 航空工程學院，陜西 西安 710038；2.中國人民解放軍95607部隊，四川 成都 610066)

0 引言

近年來，隨著窄帶濾光技術和成像光譜技術的快速發展[1-2]，光譜成像已經成為發展天基預警衛星新型探測手段的重要方向[3]。光譜圖像包含探測場景的空間信息和光譜信息，具有“圖譜合一”的特點[4]，能夠提供豐富詳細的物質類別信息，能有效提升天基預警衛星的探測性能，但其龐大的數據量也往往給數據采集和實時處理帶來巨大挑戰[5]。

面對不斷提高的空間分辨率和光譜分辨率，基于壓縮感知理論[6-8]的光譜圖像壓縮采樣和解碼重構，為更加高效地實現數據采集提供了有效途徑。然而，在信號檢測、分類、估計和濾波等統計推理任務中，數據采樣的最終目的是進行檢測或分類決策，信號的精確重構有時十分困難且并非必要，因此可以考慮直接基于壓縮采樣數據開展相關應用[9-16]，以進一步提高數據處理效率。此時，由于壓縮采樣矩陣滿足約束等距條件[17]，信號被投影到低維空間，不同樣本之間的距離減小，加性噪聲的干擾被放大，壓縮采樣數據的應用精度將受到極大影響。

針對這一問題，本文將壓縮信號處理(compressive signal processing，CSP)理論[18]引入光譜圖像目標檢測，根據先驗稀疏模型中待測信號能量分布較集中，噪聲能量分布較分散的特點，利用待測信號稀疏表示子空間構造壓縮采樣矩陣，提出一種基于稀疏模型先驗知識的壓縮采樣檢測方法，并對其檢測性能進行了分析。

1 壓縮采樣目標檢測模型

根據傳統Neyman-Pearson檢測模型[19]，基于壓縮采樣的目標檢測模型為

(1)

(2)

虛警概率一定時，將式(2)代入檢測概率最大的似然比檢驗并簡化可得

(3)

定義基于壓縮采樣數據的最大似然檢測器為

t=yT(ΦΦT)-1Φs，

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式中:c為較小的正數。結合式(8),(10)，可以得到檢測概率的理論邊界滿足：

(11)

引入信噪比定義，可以將式(11)寫作

(12)

由于δ值通常較小，因此有

(13)

(14)

(15)

由式(15)可以看出，當信號長度L和信噪比SNR一定時，隨著測量數目K的增多，檢測概率呈指數增長。

2 光譜維非重構壓縮采樣目標檢測

2.1 光譜維壓縮采樣目標檢測模型

在光譜線性混合模型下，可以將基于光譜維壓縮采樣的目標檢測模型描述為

(16)

為抑制背景光譜的影響，采用局部正交子空間投影法將壓縮采樣信號投影到干擾信號Bβ的正交子空間。令Ω=ΦB，構造如下正交投影矩陣

(17)

式中:Ω#=(ΩTΩ)-1ΩT為矩陣Ω的廣義逆。假設Ω的奇異值分解為Ω=UΣVT，其中U為矩陣ΩTΩ的特征向量矩陣，即ΩΩT=UΣΣTUT，而V為矩陣ΩTΩ的特征向量矩陣，即ΩTΩ=VΣTΣVT。則背景正交投影矩陣為

I-UΣVT(VΣTΣVT)-1VΣTUT=

I-UUT,

(18)

背景抑制后，檢測模型(16)轉化為

(19)

(20)

將檢測模型寫作

(21)

進而可以得到恒虛警條件下的檢測概率為

(22)

式中:

ΦT(ΦΦT)-1Φ.

(23)

(24)

2.2 基于稀疏模型先驗條件的壓縮采樣目標檢測

模型(19)為光譜壓縮采樣目標檢測提供了一般性方法，盡管利用正交投影矩陣對背景光譜進行了抑制，但由于并未針對待測信號設計采樣矩陣，限制了有效信息的獲取，導致其檢測性能低于傳統采樣方式，且受目標端元豐度影響較大。為此，本文在模型(19)的基礎上，利用待測信號的稀疏表示子空間改進壓縮采樣矩陣，提出一種基于稀疏模型先驗知識的壓縮采樣檢測方法，并對其檢測性能進行分析。

假設光譜向量z是變換域Ψ∈RL×L內的k稀疏信號，從Ψ中選取相應的k列原子H∈RL×k,k

Φ=G(HTH)-1HT,

(25)

式中，G∈RK×k,K≤k為獨立同分布隨機矩陣，可以得到

(26)

當Ψ為規范正交基時，有HTH=I和zTz=θTHTHθ=θTθ。由于隨機矩陣G滿足GTG≈KIk和GGT≈kIK，因此有

(27)

采用局部正交子空間投影法進行背景抑制，將式(27)代入式(22)，可得檢測概率PD滿足:

(28)

對比式(24),(28)可以發現，檢測性能受到光譜混合模型中目標豐度的影響，目標豐度越大，檢測性能越好；由于k

3 實驗與分析

3.1 實驗1

實驗數據為合成信號，給定一組信號x∈RL,L=1 030，其中20%為噪聲信號，即x=n，80%為加噪光譜信號x=s+n。實驗中，采用隨機高斯矩陣作為采樣矩陣，以接收機操作特性(receive operating characteristic，ROC)曲線衡量檢測性能。為減小采樣矩陣的隨機性對檢測結果的影響，取100次重復實驗的平均檢測概率作為最終結果。

圖1給出了不考慮光譜混合，信噪比SNR=20 dB，采樣率K/L=0.05時的實際檢測性能和根據式(13)得到的預測性能。可以看到，不考慮光譜混合時，實際檢測性能的上界、下界與預測性能存在較大差異，但其平均值與預測性能十分吻合，重復實驗的標準誤差在10-4～0.011范圍。

圖1 無光譜混合時實際ROC曲線與預測ROC曲線Fig.1 Actual ROC and predicted ROC curve without spectral mixing

考慮光譜混合時，給定雜波背景為單一背景光譜，即背景樣本B各列向量相同。給定目標端元豐度ρ=0.5，信噪比SNR=20 dB，采樣率K/L=0.4，利用背景正交投影矩陣對采樣矩陣進行投影，得到圖2所示的檢測性能和根據式(24)得到的預測性能。對比圖2和圖1可以看出，盡管采樣率從0.05增大到0.4，但由于存在光譜混合，目標端元豐度減小，其檢測性能反而明顯下降；同時，雖然實際檢測性能與預測性能基本吻合，但重復實驗誤差明顯增大，其標準誤差增大至0.002～0.097范圍。這說明光譜混合對于壓縮采樣檢測影響較大，不僅會降低檢測性能，還會削弱壓縮采樣檢測算法的魯棒性。

圖2 有光譜混合時實際ROC曲線與預測ROC曲線Fig.2 Actual detection and prediction of ROC curves with spectral mixing

當具備待測信號先驗知識時，給定待測信號訓練樣本s∈RL,L=1 030，基于離散余弦變換矩陣(discrete cosine transform，DCT)和OMP算法估計其稀疏性，得到如圖3所示的稀疏模型。其中，圖3a)為DCT變換矩陣；圖3c)為稀疏表示系數，稀疏度k=483，此時L/k=2；圖3b)為對應的稀疏表示子空間；圖3d)為重構結果，其均方根誤差為4.487×10-4。

圖3 稀疏模型Fig.3 Sparse model

利用稀疏表示子空間構造壓縮采樣矩陣，得到稀疏模型先驗條件下的壓縮采樣檢測結果，如圖4所示。對比圖2和圖4可以看出，改進壓縮采樣矩陣后，檢測性能顯著提升，其標準誤差也減小至0.001～0.094范圍。這說明，利用待測信號的稀疏模型先驗知識構造壓縮采樣矩陣，有助于提升壓縮采樣檢測性能，增強其魯棒性。

圖4 稀疏模型先驗條件下的實際ROC曲線與 預測ROC曲線Fig.4 Actual detection and prediction of ROC curves with prior sparse model

為直觀比較不同情況的檢測性能，并分析采樣率對檢測性能的影響，以ROC曲線下面積(area under curve，AUC)為性能指標，取目標端元豐度為0.5，信噪比為20 dB，稀疏度為483，得到3種情況下壓縮采樣檢測性能隨采樣率變化的關系曲線，如圖5所示。

圖5 不同情況下的AUC值與采樣率的關系曲線Fig.5 Relation curve between AUC and sampling rate under different conditions

從圖5可以看出，不考慮光譜混合時，檢測性能隨著采樣率的增大而逐漸提升，在采樣率增大到0.15時達到峰值，而后保持穩定；另2種情況下，檢測性能則始終隨著采樣率的增大而逐漸提升，但其增長速度隨著采樣率的增大逐漸放緩，分別在K/L>0.5和K/L=0.4時，達到較高水平并保持穩定。比較3種情況的檢測性能發現，考慮光譜混合時，受背景雜波的影響，傳統壓縮采樣檢測的性能明顯下降，特別是在采樣率較低時，其檢測性能遠低于無光譜混合情況下的檢測性能。而利用待測信號的稀疏模型先驗知識改進壓縮采樣矩陣后，其檢測性能顯著提升。同時，隨著采樣率的增大，3種情況檢測性能之間的差距越來越小，特別是當采樣率大于0.4后，稀疏模型先驗條件下的壓縮采樣檢測性能十分接近無光譜混合時的檢測性能，光譜混合對壓縮采樣檢測的影響被極大削弱。由上述分析可知，在光譜圖像壓縮采樣目標檢測中，進行背景抑制和待測信號稀疏特性分析，能夠有效提升算法性能。

3.2 實驗2

實驗數據為真實光譜圖像AVIRIS Indiana Pines[21]，將其中占比較少的無線電發射塔作為待檢測目標像元，其真實分布如圖6所示。

圖6 真實光譜圖像Fig.6 Indiana Pines

隨機選擇訓練樣本，利用DCT矩陣和OMP算法對其稀疏表示模型進行估計，得到其稀疏度為136，光譜重構均方根誤差為9.99×10-4。實驗2中，分別采用單位采樣矩陣、傳統隨機壓縮采樣矩陣和經稀疏表示子空間改進后的壓縮采樣矩陣進行匹配濾波目標檢測，以AUC值為性能指標，分析它們在不同采樣率K/L下的檢測性能，如圖7所示。

圖7 不同情況下的AUC值與采樣率的關系曲線Fig.7 Relation curve between AUC and sampling rate under different conditions

從圖7可以看出，由于進行了完全采樣，單位采樣矩陣對應的AUC值為0.997。而采用壓縮采樣矩陣時，其檢測性能隨著采樣率的增大而逐漸提升，并且改進后的壓縮采樣矩陣總能獲得較傳統壓縮采樣矩陣更優的檢測性能，當采樣率為0.5時，前者的AUC達到0.989，其檢測性能與單位采樣矩陣相近，而此時傳統壓縮采樣矩陣的AUC值僅為0.914，這說明，利用稀疏模型先驗知識改進壓縮采樣矩陣，能夠降低壓縮采樣檢測對采樣率的要求，有效提升其檢測性能。

當采樣率K/L=0.4時，單位采樣矩陣、傳統隨機壓縮采樣矩陣和經稀疏表示子空間改進后的壓縮采樣矩陣對應的ROC曲線如圖8所示，其中誤差棒曲線為100次重復實驗檢測概率的平均值和標準差。

圖8 采樣率為0.4時各種采樣矩陣對應的ROC曲線Fig.8 ROC curves corresponding to different sampling matrix at sampling rate of 0.4

從圖8可以看出，傳統隨機壓縮采樣矩陣的檢測性能較差，而利用待測信號稀疏模型改進壓縮采樣矩陣后，其檢測性能明顯提升，在相同的虛警概率下，其檢測概率總是高于傳統隨機壓縮采樣矩陣，且檢測概率的標準差也明顯減小，從0.002～0.174 降至0.001～0.081范圍，說明利用稀疏模型先驗知識改進壓縮采樣矩陣不僅能夠提升壓縮采樣檢測性能，還能夠削弱采樣矩陣的隨機性對于檢測性能的影響，增強壓縮采樣檢測算法的魯棒性。

4 結束語

本文將壓縮信號處理理論引入光譜圖像目標檢測，研究了待測信號稀疏模型先驗條件下，基于非重構壓縮采樣的光譜圖像目標檢測方法。首先討論了傳統壓縮采樣檢測的邊界性能；然后利用待測信號的稀疏表示子空間構造壓縮采樣矩陣，采用正交子空間投影法將壓縮采樣信號投影到干擾信號的局部正交子空間，抑制背景光譜的影響；最后對其檢測性能進行了對比分析。實驗和分析結果表明，該方法能夠有效提升壓縮采樣檢測算法的性能，削弱壓縮采樣矩陣隨機性對于檢測性能的影響，增強壓縮采樣檢測算法的魯棒性。