含相變材料熱結構拓撲優化研究 *

張曉亮，于江祥，劉昌洪

(北京電子工程總體研究所，北京 100854)

0 引言

隨著現代工業的迅猛發展，包括能源、石油化工、航空航天在內的諸多領域的設備及構件常常需要在高溫環境下進行工作，然而由于材料性能受溫度影響，當結構溫度超過使用溫度極限時，會使結構的強度、剛度以及可靠性下降。所以，針對高溫環境下工作結構的熱適應或熱防護設計是十分重要的[1]。

針對熱環境的適應性設計主要有被動式、半被動式和主動式3種[2]。具體采取何種形式需要根據環境特點、工作時間、結構要求，效率、復雜性、可靠性、綜合成本等多方面考慮。從原理上看，被動式結構相對簡單，主動式熱防護方案結構復雜，難于制造，需要一個額外的冷卻劑泵送系統來維持冷卻，系統復雜度較高；半被動式的燒蝕結構難以滿足保形需求，而熱管結構的加工難度較大、加工成本高且技術成熟度較低，所以，如何提高被動式防熱結構的熱防護能力依然是目前工程上的重要關注方向。

一定熱載荷條件下，結構的升溫速率主要由材料的熱沉與導熱系數決定，若需要減緩承力部位在工作過程中的升溫速率，使其在更長時間內保持一定的承載能力，則需要進一步增加局部質量來提高局部熱沉。但常用的高強度材料儲熱密度普遍較低，在輕量化要求的限制下難以達到預期的效果。而一般物質在由固相變為液相時會吸收熱量，并且在相變過程中，溫度一直保持在相變點，直到相變結束，這一過程吸收的熱量往往十分可觀。

鋁基相變材料導熱率高，儲熱密度大，相變體積變化小，且資源豐富，具有較高的性價比，是當前研究最為廣泛的金屬相變儲熱材料[3]。而且，鋁基相變材料的相變溫度在450～571 ℃，與工程中常用的TA15鈦合金的使用溫度相匹配，短時使用溫度可達800 ℃，是一類與鈦合金結構適應性較好的相變儲熱材料。目前研究較多的鋁基相變材料的相變潛熱分布在310 000～560 000 J/kg之間[4-5]，而鈦合金的比熱容為545 J/(kg·K)，這也就意味著鋁基相變材料的熔解熱至少相當于將相同質量的鈦合金加熱升溫568 ℃吸收的熱量。因此，如果在鈦合金結構中加入鋁基相變材料，不僅可以高效的提高結構熱沉，而且當結構中的相變材料開始發生相變時，由于其溫度在相變結束前一直維持在相變點，一段時間內會在局部形成低溫區，從而延緩鈦合金溫升的速率，使鈦合金結構可以更長時間的在使用溫度以下工作。

所以，本文利用鋁基相變材料導熱率高、儲熱密度大且相變溫度與鈦合金使用溫度相匹配等特點，從提高結構工作時間的角度出發，基于非梯度拓撲優化方法KG-MFSE(Kriging-based material-field series expansion topology optimization algorithm)[6]，構建了加熱狀態下考慮相變傳熱過程的截面熱剛度拓撲優化模型，以熱載荷作用下某時刻截面抗彎剛度最大為優化目標，對某一承受彎曲載荷的異質加強筋截面進行了拓撲優化研究，基于2種單位質量儲熱量較大的鋁基相變材料，進行了加強筋截面的拓撲優化設計，達到了減緩加強筋部位升溫速率，延長其工作時間的目的。

1 KG-MFSE拓撲優化方法[6]

相變材料的熱物性參數隨溫度變化，具有強烈的非線性，所以考慮相變傳熱的拓撲優化問題的靈敏度計算必須利用差分法進行求解，需進行大量的有限元分析，十分耗時[7-8]。

近期，大連理工大學羅陽軍教授與亢戰教授團隊提出了一種基于Kriging代理模型的非梯度拓撲優化方法KG-MFSE，該方法基于隨機場的級數展開理論[8-9]提出了一種新的拓撲描述方法，在保證結構描述精度的前提下，實現了拓撲優化問題中設計變量數目的大幅縮減，通過50～100個設計變量控制了設計域中的拓撲變化，結合設計域的自適應調整策略，可高效地進行拓撲優化問題的求解。

利用KG-MFSE方法進行考慮相變傳熱過程的結構拓撲優化設計可避免耗時的靈敏度分析過程，故本文基于KG-MFSE方法進行考慮相變傳熱的拓撲優化。

1.1 基于材料場級數展開的拓撲描述方法[10]

材料場函數在設計域中具有一定的連續性。將材料場視為具有預定義邊界的未知場，可以通過空間中各點的相關性描述這種連續性。為確定設計域內的材料場函數，首先需要設置Np個在設計域中均勻分布的觀測點{x1,…,xNp}，基于這組觀測點便可得到定義在設計域上的相關性矩陣C。

(1)

式中：C(xi,xj)為空間中兩點xi與xj的相關性大小，其值可根據指數形式的距離相關函數計算得到，如式(2)所示。

(2)

式中：lc為材料場中的相關性長度，lc越大，材料場中各點的相關性越強。對于設計域為矩形(短邊長度為b)的拓撲優化問題，一般可取lc=b/3,便可以在優化結果中得到主要的拓撲特征。求得設計域中的相關性矩陣C之后，便可根據式(3)定義設計域內的材料場函數。

(3)

式中：η=[η1,η2,…,ηM]T是材料場函數中的待定系數，即拓撲優化問題中的設計變量；M則為待定系數η的維數，其取值可由式(4)確定；Cd(x)為設計域中坐標點x與設計域中各個觀測點的相關性向量，其中各元素的值同樣可由式(2)決定；Λ為由相關性矩陣C中降序排列的前M個特征值組成的對角線矩陣，Φ為相應的M個特征向量組成的矩陣。

(4)

式中：λj(j=1,2,…,Np)為以降序排列的相關性矩陣的特征值；Np為設計域中觀測點的數目；ε>0為材料場函數的容許截斷誤差。

1.2 材料插值模型

根據任意位置x處材料場函數φ(x)的值，便可以得到材料在設計域中的分布情況：

(5)

不過，直接由式(5)構建的拓撲優化問題是高度非線性和病態的，為改善拓撲優化問題性態，引入了Heaviside函數進行材料場函數φ(x)與拓撲結構的映射：

(6)

為進行有限元模型的拓撲描述，引入相對密度的概念：

(7)

式中：ρe和xe分別為單元e的相對密度與中心位置；ρmin為單元的相對密度下限，以避免有限元分析過程中出現奇異問題，文中取ρmin=0.001。

基于相對密度ρe與SIMP材料插值模型[11]，優化過程中各單元的物性參數可由下列等式確定：

彈性模量：

Ee=EA+ρe(EB-EA)，

(8)

焓值：

(9)

單元質量：

me=mA+ρe(mB-mA)，

(10)

熱導率：

(11)

式中：下標A，B分別表示A，B 2種材料，本文中A表示TA15，B表示鋁基相變材料。

1.3 設計空間自適應的Kriging代理模型輔助優化算法

基于設計空間自適應調整策略的代理模型優化算法的基本流程為：首先確定初始子設計空間，通過實驗設計的方法在子設計空間中抽樣得到初始樣本并計算其響應值構建初始Kriging代理模型[12]，然后開始在當前子設計空間中的迭代尋優，在每一次的迭代過程中選取使更新準則函數值最優的點作為更新點，并計算更新點的真實響應值，更新代理模型，然后進入下一次迭代，直到子迭代的終止條件被滿足，停止在當前子設計空間中的尋優，以當前樣本集中的最優樣本作為下一個子設計空間的中心點，更新子設計空間，開始在新子設計空間中的迭代尋優，直到整個優化過程的終止條件被滿足，優化結束。

子設計空間自適應調整策略的數學列式如下[6]：

Ωk=|η-ηk|∞≤rk,k=0,1,2,…，

(12)

(13)

rk+1=0.95rk，

(14)

式中：Ωk為第k次子優化問題的設計空間；rk為第k次子優化問題中設計空間的半徑;ηk+1為第k次子優化得到的最優樣本，也是第k+1次子優化問題中設計空間的中心。

在子設計空間中優化的終止條件為

EI(ηk)≤0.01·yminorNk>50，

(15)

式中：EI表示改善期望函數[12];ymin為樣本集中最優樣本的目標函數值;Nk為第k次子優化過程中更新樣本點的次數。

在本文中，整個優化過程的終止條件為

|ηk+1-ηk|∞≤0.01.

(16)

2 含相變材料加強筋截面拓撲優化

薄壁加筋或骨架蒙皮結構中，加強筋是主要承力元件，如圖1所示，具有較高的強度要求，又由于加強筋局部熱容較小，在高溫環境下升溫迅速，是結構熱控設計中需要重點關注的部位[13]。所以本文以某一在熱載荷作用下承受彎曲載荷的加強筋的截面作為研究對象，進行含相變材料結構的優化研究。

圖1 輕量化結構中的加強筋Fig.1 Stiffeners in lightweight structures

2.1 優化問題說明

本文研究的加強筋截面如圖2所示，筋高24 mm，凸緣寬度12 mm，厚度為3 mm，所用材料為鈦合金TA15，由于整個模型的對稱性，故在研究中只取整個結構的1/4。由于加強筋在工作過程中主要承受彎曲載荷，抗彎剛度是評價其承載能力的重要指標。

基于Euler-Bernoulli梁理論，梁的抗彎剛度可表示為截面二次矩與彈性模量的乘積，其離散形式為[14]

(17)

圖2 加強筋截面與拓撲優化設計域Fig.2 Stiffener section and topology optimization design area

當截面受到瞬態熱載荷作用時，截面中不同區域的單元體具有不同的溫度，而材料的彈性模量隨溫度的變化而變化[15]，表1為不同溫度下TA15的彈性模量。

表1 TA15的彈性模量[16]Table 1 E of TA15[16]

所以考慮瞬態熱載荷作用時的截面抗彎剛度的計算公式為

(18)

由表1中的數據可以看出，溫度對于材料的彈性模量具有較大的影響，而且目前可查到的TA15彈性模量數據只給到了550 ℃，是TA15推薦使用溫度范圍之內的數據。在更高溫度的環境中，材料不僅性能指標更差，性能的分散度也會增加，可靠性會大幅降低，所以在進行結構設計時需要盡量保證結構在工作過程中的溫度處于材料的推薦使用溫度之內。而基于傳統的一種材料的承載結構設計方案，為降低工作過程中結構的溫度就必須在結構中加入更多的TA15或使用耐溫性更好而密度也更大的高強度材料，而這2種方案往往都會造成結構的輕量化要求難以滿足。鋁基相變材料具有密度小，儲熱密度大，導熱率高等優點，可以高效地提高結構熱沉，延緩結構的溫升速率，提高加熱狀態下結構的承載能力。表2中給出了5種目前研究較多的鋁基相變材料和TA15的熱物性能參數。6種材料在0～1 000 ℃范圍內的單位質量儲熱量曲線如圖3所示。

表2 鋁基共晶合金與TA15的熱物性參數[4，16]Table 2 Thermal physics properties of Al-based eutectic alloys and TA15[4，16]

圖3 鋁基相變材料與TA15的單位質量儲熱量曲線Fig.3 Curve of unit mass heat storage of aluminum based phase change material and TA15

可以看出，Al-35Mg材料由于其比熱容較高，在整個溫度區間內單位質量儲熱量一直都處于很高的水平，而Al-Si-Mg雖然比熱容不及Al-35Mg，但其憑借更高的相變潛熱，在整個溫度區間的后半段達到了與Al-35Mg相近的儲熱量水平，不過兩者的相變溫度、相變潛熱以及導熱系數均有較大差異，兩者的降溫效果需要根據其各自的優化構型進行比較。

所以，本文基于Al-35Mg與Al-Si-Mg 2種鋁基相變材料，利用第1章中介紹的KG-MFSE拓撲優化方法，以提高熱載荷作用下截面的抗彎剛度為目標，進行由TA15與鋁基相變材料構成的加強筋截面的拓撲優化設計。

2.2 有限元模型與設計域說明

加強筋1/4截面的有限元模型如圖4 所示，為一個12 mm×6 mm的矩形平面離散為48×24的平面有限元模型。整個矩形平面分為3個區域，分別是設計區域、非設計區域和孔洞區域。非設計區域的材料為TA15，它的設置是為了保證加強筋縱向傳力路徑的連貫性以及對設計區域中會熔化為液體的相變材料的包裹性。此外，由于鋁基相變材料的密度小于TA15合金，在質量約束的作用下，加入鋁基相變材料的加強筋截面面積可能會有所增大，所以本文在進行加強筋截面拓撲優化的同時也將加強筋的凸緣厚度L作為設計變量進行了優化設計。當L的取值發生變化時，設計域形狀也會發生變化，而非設計區域的厚度保持不變，如圖4所示。由于設計域在優化過程中是不斷變化的，如果只建立設

圖4 優化設計域設置Fig.4 Design area of optimization

計域的材料場函數按1.1節當中的方法進行拓撲描述實現起來會比較繁瑣。所以，在圖4所示的整個矩形區域中建立了材料場函數。在建立有限元模型時，首先判斷單元所屬區域(孔洞、非設計區域或設計區域)，若單元處于孔洞區域或非設計區域，則直接賦予單元孔洞或TA15的材料屬性；若單元位于設計域中，則根據單元中心點處材料場函數的值，按照式(7)～(11)賦予單元相應的材料屬性參數。

此外，為模擬加強筋結構在工作過程中的溫度場變化，在加強筋的上表面施加54.6 kW/m2的恒定熱流密度，作用時間為300 s，其余邊界絕熱。

2.3 優化目標與優化問題模型

以截面的抗彎剛度Dx作為優化的目標，由式(18)可知，截面抗彎剛度的計算需要不同溫度下TA15的彈性模量數據(考慮到復雜異質材料構件的成型工藝限制，文中暫不考慮相變材料在結構中的承力作用)。但如表1所示，目前可查的不同溫度下TA15彈性模量的數據最高只給到550 ℃，而優化過程中會出現結構最高溫度遠高于550 ℃的樣本，由于缺乏更高溫度下彈性模量的數據，這些樣本的截面抗彎剛度難以計算。但從優化的角度分析，由于希望優化結果的整體溫度處于TA15的使用溫度之內，所以結構中最高溫度高出550 ℃越多的樣本，其目標函數值應當越差。因此，可以通過對TA15更高溫度下彈性模量的懲罰，使截面溫度過高的構型的目標函數值更小，從而實現對高溫構型的目標函數值的懲罰，避免得到截面最高溫度遠高于TA15使用溫度極限的優化結果。經試驗，基于圖5所示的彈性模量隨溫度的變化曲線可以在保證優化過程收斂性的同時獲得滿足使用溫度要求的優化結果。

圖5 TA15彈性模量隨溫度變化曲線Fig.5 TA15 elastic modulus versus temperature curve

所以，根據圖5所示的E(T)，以熱載荷作用300 s時刻截面的抗彎剛度最大作為優化目標，優化問題的數學模型可定義為

式中：C為等效熱容陣[8]；K為等效熱傳導陣；P為施加的熱載荷向量；m0為質量約束值。

2.4 優化流程

基于第1章中所介紹的KG-MFSEf拓撲優化方法進行考慮相變過程的含相變材料截面拓撲優化設計的流程框圖，如圖6所示。

圖6 基于KG-MFSE方法的優化流程框圖Fig.6 Optimization flow chart based on KG-MFSE method

2.5 優化結果與討論

以原始設計的截面質量為約束，以300 s時刻的截面抗彎剛度最大為優化目標，進行了加強筋截面的拓撲優化，圖7為在截面中加入Al-35Mg時的優化收斂過程，經過不到1 200次的有限元計算后實現了收斂。

圖7 優化設計2的拓撲優化過程Fig.7 Topology optimization process of the second optimization design scheme

表3對3種設計方案進行了對比,在截面質量相同的約束下，優化設計1，2中分別加入了 14.92% 的Al-Si-Mg和19.2%的Al-35Mg，與原始設計相比，300 s時刻的截面最高溫度分別下降了244 ℃和298 ℃，降溫效果十分明顯，得益于截面整體溫度的大幅度下降，優化設計1，2于300 s時刻的截面抗彎剛度與原始設計在200 s時刻的截面抗彎剛度幾乎持平，僅下降了不到5%。圖8中為3種設計方案的材料分布和300 s時刻的溫度場分布。

圖8 3種設計方案的材料分布及300 s時刻的溫度場Fig.8 Material distribution of three designs and temperature field at 300 s

表3 3種截面構型的性能對比Table 3 Performance comparison of three cross section configurations

圖9為3種截面最高溫度隨時間變化的曲線，可以發現，相變材料的加入使截面的升溫曲線出現了明顯的平臺期，含Al-35Mg截面的最高溫度升溫曲線的平臺期開始于233 s，在278 s處結束，持續時間45 s，期間，最高溫度由466.4 ℃增長到484 ℃，僅增長了17.6 ℃；含Al-Si-Mg截面的最高溫度升溫曲線的平臺期開始于244 s，一直持續到熱載荷作用結束，持續時間≥56 s，最高溫度由572.7 ℃增長到593 ℃，增長了21.3 ℃。

圖9 3種設計方案的最高溫度溫升曲線Fig.9 Maximum temperature rise curves of three design schemes

此外，在200～300 s這段時間內，隨著熱載荷作用時間的增加，原始設計的溫度方差由23 347.4上升到了37 650.9，而優化設計1，2中由于相變過程的發生，溫度方差不升反降，分別由15 073.8和10 364.9 降低到了11 137.6與8 810.9，體現了相變過程對于提高結構局部溫度場分布均勻性的顯著作用。

可以發現，加入Al-35Mg的方案獲得了更好的降溫效果，分析認為，這主要是由于Al-35Mg材料的相變溫度更低，在工作溫度區間內總儲熱密度更大(顯熱+潛熱)，具有更高的降溫效率，所以在優化結果中加入Al-35Mg的比例更高，結構的熱沉也更大，降溫效果也更加顯著。而Al-Si-Mg材料憑借更大的單位質量相變潛熱，在含量少于Al-35Mg的情況下依然為結構帶來了更長時間的平臺期。

綜上所述，相變材料的加入對于降低局部結構溫度、提高局部溫度分布均勻性有著顯著的效果，而且憑借相變材料可觀的相變潛熱，可以較長時間的使結構局部溫度維持在相變材料的相變點附近。

3 結束語

本文針對工作于高溫環境中結構的熱適應或熱防護問題，提出了一種基于相變材料的新型熱控思路。以在熱載荷作用下承受彎曲載荷的加強筋的截面為研究對象，通過考慮材料的溫度效應以及對更高溫度下彈性模量的懲罰，構建了截面的熱彎曲剛度拓撲優化模型，基于KG-MFSE非梯度拓撲優化方法進行了含相變材料加強筋截面的拓撲優化，經過不到1200次的有限元計算之后實現了收斂，得到了基于Al-35Mg和Al-Si-Mg兩種鋁基相變材料的優化截面構型，對優化構型的分析表明，在TA15加強筋截面中加入鋁基相變材料可以高效的延長加強筋結構在高溫環境中的工作時間。