平凸透鏡焦距的測量與研究

陳 舟 倪 敏

(上海師范大學數理學院 上海 200234)

1 引言

厚透鏡與薄透鏡不同，測量焦距時起始點不在透鏡中央，也不在邊緣.在大學物理實驗中，常利用光具座和測節儀等測量厚透鏡的主點、焦點等[1].我們主要利用學生已經學習過的知識，利用球面折射的基本公式和透鏡成像法，測量出光線會聚點與透鏡邊緣的距離[2]，結合基點、基面的知識，得到透鏡焦距；也可以通過入射角、折射角計算透鏡折射率[3]，用游標卡尺測量透鏡長度、厚度，利用勾股定理得到透鏡的曲率半徑，代入厚透鏡的焦距測量公式計算得到焦距，從而對透鏡成像法所得結果進行檢驗，確定焦距的值以及測量的始末點.兩種方法各有優劣，透鏡成像法的優勢在于免去測量透鏡的曲率半徑，以防透鏡外形不規則，曲率半徑用勾股定理難以測量；由于在測量中要求近軸光線，因此焦距公式法可避免在焦距的測量中光線偏離光軸的問題.但兩種方法均能簡化實驗方法，幫助學生理解光學元件的3對基點，符合學生的認知能力和水平，鞏固對于光學知識的掌握，通過實驗對公式進行驗證，逐步培養學生理論聯系實際的能力以及實事求是的科學態度.

2 實驗原理

2.1 基本參量

透鏡兩表面在其主軸上的間隔稱為透鏡的厚度.若透鏡的厚度與球面的曲率半徑相比不能忽略，則稱為厚透鏡；若可略去不計，則稱為薄透鏡.對于厚透鏡而言，它有6個基點，分別為主點、節點和焦點，它們又有物方和像方之分.

(1)焦點

平行于主軸的入射光線折射后和主軸相交的位置稱為像方焦點F′.如果把物點放在主軸上某一點時，發出的光折射后將產生平行于主軸的平行光束，那么這一物點所在的點稱為物方焦點F.過F垂直于主軸的平面稱為物方焦面，過F′垂直于主軸的平面稱為像方焦面.

(2)主點

將物體垂直于光軸放置在主軸上的某點，在另一處會形成等大正立的像，主軸上的這兩個點，分別稱為物方主點H和像方主點H′.即物方主點是物空間中橫向放大率為+1β=+1的垂軸平面與主光

軸的交點，像方主點是物方主點關于透鏡的共軛點.過物方主點和像方主點垂直于光軸的兩個平面分別稱為物方主平面和像方主平面.

(3)節點

節點是透鏡主軸上角放大率γ=+1的兩個共軛點.入射光線(或延長線)通過物方節點時，出射光線(或延長線)必通過像方節點，并與入射光線平行.過物方節點和像方節點垂直于光軸的平面分別稱為物方節面和像方節面.

當厚透鏡兩側處于同一介質即折射率相同時，主點與節點位置重合[4].

2.2 球面折射原理

當光線從空氣中射入折射率為n,半徑為r1的球面介質中時，如圖1所示，在近軸光線的條件下，由近軸光線下球面折射的物像公式可得

圖1 光線從空氣中射入球面介質

當s1=-∞時，即光線平行于主軸入射，得到像方焦距

同理，當光線從折射率為n,半徑為r2的凹球面介質進入空氣中發生折射時可得

當s2=-∞時，即光線平行于主軸入射，得到像方焦距

2.3 厚透鏡聚光原理

厚透鏡結構如圖2所示.

對折射球面O1

對折射球面O2

圖2 厚透鏡的基點和基面

因為

且

可得

(1)

由透鏡高斯公式

假定物距和像距的參考原點從O1和O2分別移動了距離p和p′，則

(2)

比較式(1)和式(2)，計算得到

所以，對于厚透鏡而言，如果令

則空氣中厚透鏡的物像公式的高斯形式與薄透鏡的相同，皆為

2.4 平凸透鏡聚光原理

平凸透鏡相當于一邊曲率半徑為無窮大的厚透鏡，因此在計算主點和焦距時可將r1或r2取為無窮大[7].

(1)左凸右平(r2=∞)(圖3)

圖3 左凸右平

則

所以

(2)左平右凸(r1=∞)(圖4)

圖4 左平右凸

則

所以

通過計算可以看出，平凸透鏡在左平右凸和左凸右平兩種情況下，透鏡焦距是相同的，而測量焦距的起始位置不同.由計算可知p和p′的大小取決于透鏡厚度以及透鏡折射率.

3 實驗內容和實驗方法

3.1 焦距公式法測平凸透鏡焦距

(1)測量透鏡曲率半徑

由于平凸透鏡為圓柱體的一部分，因此設此圓柱體的半徑為r，透鏡平面的長度為d，透鏡的厚度為h，如圖5所示，其中平凸透鏡為黑色邊框加粗的部分.根據勾股定理可知

即

用游標卡尺測量平凸透鏡平面的長度d和透鏡厚度h，測量3組求出平均值，計算平凸透鏡的曲率半徑.

圖5 平凸透鏡幾何圖

(2)測量透鏡折射率

將透鏡放在刻度盤上，調整入射光線的角度，使光線從透鏡直邊進入，觀察折射光線.由于折射光線從曲邊出射時會再次發生折射，因此不能直接測量出射光線.測量時需要記錄出射光線與透鏡曲邊的交點，連接入射點與交點，并將其延長，與刻度盤的邊緣相交，即可得到折射角的大小.原理圖如圖6所示.

n1sini1=n2sini2

由于透鏡在空氣中，因此

重復測量3次求平均值.

圖6 折射原理圖

(3)利用折射球面的像方焦距公式計算透鏡焦距

將測得的透鏡曲率半徑及折射率代入折射球面的焦距公式式(3)和式(4)，計算出平凸透鏡兩個方向上的焦距即物方和像方空間的焦距.

3.2 透鏡成像法測平凸透鏡焦距

(1)同3.1中(1)用游標卡尺測量透鏡的厚度h.

(3)平行光照射平凸透鏡的曲邊(左凸右平)，如圖7所示，畫出光的傳播路徑，記錄光線的會聚點，測量直邊到交點的距離O2F′，由于透鏡基點H′與O2不重合，得到

負號表示H′在O2左側，因此

則

重復測量3次求透鏡焦距平均值.

圖7 平行光照射平凸透鏡曲邊

(4)平行光照射平凸透鏡的直邊(左平右凸)，將平凸透鏡翻轉，如圖8所示，重復上述步驟(3)，由于p′=0即H′與O2重合，測量出曲邊到交點之間的距離O2F′，即為焦距f′，則

f′=|O2F′|=|H′F′|

重復3次求透鏡焦距平均值.

圖8 平行光照射平凸透鏡直邊

(5)將透鏡焦距的成像法與公式法比較，求其相對誤差η.

4 實驗結果分析

根據實驗要求,由透鏡成像法和厚透鏡的焦距公式測得平凸透鏡焦距f′(包括左凸右平以及左平右凸兩個)，并將成像法所得的數據與公式法比較，以公式法所得結果為理論值，計算相對誤差，實驗結果如表1和表2所示.

表1 左凸右平透鏡的實驗數據

表2 左平右凸透鏡的實驗數據

通過采用盡可能簡單的實驗儀器，結合基點、基面及厚透鏡成像等實驗原理，對平凸透鏡的參數進行測量，優化了實驗方法，由測量數據可見：以成像法測得的透鏡焦距與測量相關參數代入厚透鏡的焦距公式進行計算而得的數據基本吻合，誤差小于3%.透鏡成像法是利用凸透鏡會聚光線的原理，測量平行光線通過透鏡后會聚點與透鏡邊緣的距離，考慮到基點、基面，加上基點到透鏡邊緣的距離，兩者之和即為透鏡的焦距.由于公式的推導中要求近軸光線，因此平行光必須盡可能靠近軸線，減小誤差.其優點在于對平凸透鏡本身無過高要求.公式法是通過將相關參數代入公式計算得到平凸透鏡的焦距，避開了直接測量焦距中由于光線偏離軸線帶來的誤差，但其同樣有一定的局限性.透鏡的曲率半徑是通過測量透鏡長度和厚度，利用勾股定理計算得到的，這就意味著透鏡必須為從一個圓柱體上一刀切下的一塊，邊緣處不能有磨損或損耗，否則需要通過其他方式計算透鏡曲率半徑，增大了實驗的難度.所以兩種測量方法可根據實際需要正確選擇應用.

通過成像法的測量和公式法的驗證，證實了理論推導中得到的基點和基面，解釋了成像法測厚透鏡焦距時測量起始點是不同的，不能簡單地看成透鏡中央或透鏡邊緣，而需要根據p′的值加以判斷.對于平凸透鏡，左凸右平情況下

左平右凸時p′=0，即前者基點在透鏡平面左側，后者基點在透鏡凸面邊緣.由此可知對于一般厚透鏡也是如此，基點即測量焦距時的起始點并不一定在透鏡中央或透鏡邊緣，由3.3中的理論推導

和

此外，以公式法和成像法測量平凸透鏡的焦距，其準確度較高，符合實驗要求，由此也可引申出從實驗角度測量出透鏡焦距f,折射率n和曲率半徑r中任意兩個參量去求另一參量.作為設計實驗，讓學生自行研究平凸透鏡的相關參量，增強學生的實驗設計能力以及操作能力.

在實際測量中需注意以下3點：

(1)考慮到符號法則，因此左凸右平和左平右凸情況下曲面的曲率半徑為一對相反數.

(3)當入射光線從平凸透鏡的平面和曲面射入時，成像法測得的焦距大小有所不同，原因在于實際測量中，光線偏離了軸線，導致誤差的產生.

5 結束語

從二期課改的角度來看，物理實驗教學的地位在逐步提升，考慮到高中生的理論知識以及實驗能力，這部分內容可以作為拓展實驗課程教學內容，讓學生自行設計實驗方法進行課題研究，對基點、基面等概念有更深刻的了解，也可作進一步引申，作為測量折射率和曲率半徑的另一方法.對于學有余力的學生可在本實驗的基礎上進行拓展，引入大學中測量相關參量的辦法，豐富物理師范生對物理實驗設計內容的研究，有助于培養學生創新、設計和拓展實驗的思維能力.

1 林盛松，張和民.談光組基點測定實驗教學.西南師范大學學報(自然科學版)，1994，19(5)：567～570

2 翟勇.如何測量凸透鏡的焦距.中學生數理化(八年級物理)(配合人教社教材)，2013(11)：16～17

3 鄭永令.光的反射與折射.物理教學，2012，34(6):6～10

4 楊述武.普通物理實驗(光學部分). 北京：高等教育出版社，2007.24～25

5 母國光.光學.北京：人民教育出版社，1979.40～45

6 姚啟鈞.光學教程.北京：高等教育出版社，1984.165～167

7 盧杰，韓力，曲延吉.用移測顯微鏡測量平凸透鏡的基點.物理實驗，2014，34(10)：8～11