考慮磁飽和的共懸浮繞組式無軸承開關磁阻電機徑向力模型

王喜蓮，崔睿珍，郝毅，劉岳楠，趙鵬宇

(北京交通大學 電氣工程學院，北京 100044)

0 引 言

開關磁阻電機(switched reluctance motor, SRM)，自1969年由美國學者S A Nasar提出以來，由于其結(jié)構(gòu)簡單、成本低廉、惡劣環(huán)境下運行穩(wěn)定等特點得到了廣泛的研究[1-6]。無軸承電機具有臨界轉(zhuǎn)速高、機械摩擦小、無需潤滑和維修等特征，自上世紀70年代初提出以來開展了許多相關方面的研究[7-11]，在此背景下，無軸承開關磁阻電機(bearingless switched reluctance motor,BSRM)應運而生，BSRM在SRM的基礎上改變了定子繞組結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子的自驅(qū)動自懸浮。

1997年，日本的Shimanda等提出了BSRM的概念[11]，在開關磁阻電機的基礎上額外增加了一套懸浮繞組，主繞組用于產(chǎn)生電機轉(zhuǎn)矩，懸浮繞組用于產(chǎn)生令電機轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮的力，與其他無軸承電機相比具有懸浮力與轉(zhuǎn)矩可控等優(yōu)點。在該結(jié)構(gòu)電機中，徑向力解析模型的推導是懸浮控制策略的基礎，但BSRM的嚴重非線性加大了解析模型建立難度，對此，國內(nèi)外各高校開展了徑向力解析模型的推導工作[12-20]。文獻[12]建立了等效磁路模型并得出了考慮磁飽和時的徑向力與轉(zhuǎn)矩模型，首次提出了用橢圓分割求取邊緣氣隙磁導的方法。文獻[13]提出了考慮轉(zhuǎn)子偏心的徑向力解析模型，文獻[14]利用虛位移法得出了考慮偏心的徑向力解析模型，文獻[15]提出了在電機短路故障情況下的徑向力解析模型。文獻[16]推導了考慮轉(zhuǎn)子偏心的共懸浮繞組式BSRM的徑向力模型，文獻[17]中推導了考慮轉(zhuǎn)子偏心的單繞組BSRM的徑向力模型，為該結(jié)構(gòu)電機位移控制策略奠定了基礎。文獻[12-17]均采用了建立等效磁路的方法求取電感參數(shù)，利用機電能量轉(zhuǎn)換原理進而推導徑向力解析模型，文獻[18-20]利用麥克斯韋應力法建立了徑向力解析模型，其中文獻[18]和文獻[19]分別利用經(jīng)典公式和分段擬合的方法對材料磁化曲線進行了擬合，得出了徑向力解析模型。文獻[20]用改進的氣隙磁密計算方法得出了在APC控制下的徑向力波形。基于本文提出的一種材料磁化特性擬合方法推導了共懸浮繞組式BSRM考慮磁飽和的徑向力解析模型，并將其計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果比較，驗證模型的準確性。

1 共懸浮繞組式BSRM結(jié)構(gòu)特點

共懸浮繞組式BSRM的結(jié)構(gòu)如圖1所示[21]，與傳統(tǒng)雙繞組BSRM相比，該結(jié)構(gòu)電機僅需要兩套懸浮繞組便可實現(xiàn)全周期的懸浮控制。運行過程中在三相主繞組Na，Nb，Nc間切換時不必切換懸浮繞組Nx，Ny，減少了控制電路的復雜性、降低了懸浮系統(tǒng)成本。此外，該電機由于其特殊的繞組結(jié)構(gòu)具有自解耦特性，調(diào)節(jié)懸浮繞組電流只會改變轉(zhuǎn)子所受徑向力，并不影響電機轉(zhuǎn)矩，不需要額外的解耦控制策略便可解除轉(zhuǎn)矩與徑向力間的耦合關系。

圖1 共懸浮繞組式BSRM結(jié)構(gòu)Fig.1 Sharing suspension windings BSRM structure

BSRM在懸浮繞組激勵下才會產(chǎn)生徑向懸浮力，懸浮繞組電流所產(chǎn)生的氣隙磁密大小相同，方向相同，與主繞組電流產(chǎn)生的氣隙磁密疊加在一起導致磁密差，進而使轉(zhuǎn)子受到徑向懸浮力。可通過調(diào)節(jié)X,Y方向懸浮繞組電流任意改變轉(zhuǎn)子在X,Y方向上的懸浮力。

2 徑向力模型

2.1 轉(zhuǎn)子所受徑向力

麥克斯韋應力法是求取徑向力解析模型的有效方法之一，選取一個包圍電機轉(zhuǎn)子齒的任意曲面，計算應力張量便可求得電機轉(zhuǎn)子所受徑向力F。令μ0為空氣磁導率，Bn和Bt分別為磁密的法向與切向分量，法向力Fn和切向力Ft的計算公式如下[22]：

(1)

(2)

將面積分轉(zhuǎn)為線積分，通過恰當?shù)剡x取積分路徑，可將式(1)簡化。當磁場分量與積分路徑垂直時

(3)

磁場分量與積分路徑平行時

(4)

其中：Fnr分量產(chǎn)生徑向懸浮力，F(xiàn)nt分量產(chǎn)生切向力。對徑向力解析模型建模，以下僅對Fnr分量進行研究。

求取徑向力的積分路徑如圖2所示，其中假設邊緣磁路為橢圓形磁路，短半軸為r|θ|，長半軸為g0+a1r|θ|，將a1表示為[12]

圖2 積分路徑示意圖Fig.2 Schematic diagram of integration path

(5)

邊緣磁路平均長度lf可表示為

(6)

其中：r為轉(zhuǎn)子半徑；g0為氣隙長度；θ為轉(zhuǎn)子位置角，當B相定子極與轉(zhuǎn)子極中心線對其時定義為θ=0°。

設h為轉(zhuǎn)子軸向長度，Bm為主氣隙磁密，Bf為邊緣氣隙磁密，按圖2所示的積分路徑進行積分，可得徑向力

(7)

以B相主繞組導通為例，圖1中4，2處磁密差產(chǎn)生徑向力FY， 1，3處磁密差產(chǎn)生徑向力Fx，5與7處產(chǎn)生的徑向力大小相同，方向相反，相互抵消，6與8處亦是如此。由此可得式(8)和式(9)，令θr為定子齒寬對應的機械角度，則有

(8)

(9)

2.2 磁場強度求取

利用安培環(huán)路定律求取氣隙磁場強度，當B相主繞組電流和Y方向懸浮繞組導通時，如圖1所示氣隙4處主磁場強度Hm4和邊緣磁場強度Hf4的表達式如式(10)、式(11)，其中d為鐵磁材料磁通路徑的等效長度，主要由經(jīng)過定轉(zhuǎn)子齒部、軛部鐵磁材料的磁通路徑等效長度確定[23]。定轉(zhuǎn)子齒部磁通路徑長度按定轉(zhuǎn)子極長計算，軛部磁通路徑長度根據(jù)飽和程度不同由補償系數(shù)近似考慮，Hs是鐵磁材料磁場強度，則有

Hm4g0+Hs(d-g0)=Nmib+Nyiy，

(10)

Hf4lf+Hs(d-lf)=Nmib+Nyiy。

(11)

根據(jù)磁通連續(xù)定理，可得

Hm≈μrHs。

(12)

其中μr為鐵磁材料的相對磁導率。將式(12)代入式(10)、式(11)，可得主磁場強度和邊緣磁場強度如下：

(13)

(14)

同理可得氣隙2處的磁場強度，如式(15)、式(16)。可用相同方法求取其他氣隙磁場強度，這里不再贅述。

(15)

(16)

2.3 磁化曲線擬合

通常對鐵磁材料磁化曲線采用經(jīng)典公式擬合，如圖3(a)所示，在進入磁路深度飽和狀態(tài)時誤差較大，進而影響飽和解析模型的準確度。對此本文提出了一種磁化曲線擬合方法，如圖3(b)所示。

圖3 磁化特性擬合效果對比Fig.3 Comparison of magnetization characteristic fitting effect

一般電機在正常運行時硅鋼片內(nèi)的磁場強度在240～10 000 A/m的范圍內(nèi)，以DW540-50材料磁化曲線為例，在該范圍內(nèi)B/H與H近似成反比關系，由此可初步推斷1/μr與H呈線性關系。為此，本文提出一種用一次線性關系描述材料磁化特性的方法，如

(17)

為驗證該擬合方法的準確性，將本文提出的擬合曲線與DW540-50實際磁化關系曲線進行了比較，如圖3(b)可知，在不飽和區(qū)域的擬合存在誤差，但在該區(qū)域1/μr的值很小，對于Hm與Hf的求解影響不大，可以忽略。在飽和階段擬合效果較好，用本文的方法描述磁化特性曲線合理。將上述方法與式(13)、式(14) 結(jié)合，可得氣隙4處的主磁場強度與邊緣磁場強度如下：

(18)

(19)

同理，可求得氣隙2處的主磁場強度Hm2與邊緣磁場強度Hf2，可表示為：

(20)

(21)

其中：

(22)

2.4 徑向力解析模型推導

由式(18)～式(22)、式(8)，可得出Y方向徑向力解析模型為：

(23)

(24)

其中：FXm、FYm為主磁通所對應的徑向力分量；FXf、FYf為邊緣磁通所對應的徑向力分量。為了分析邊緣磁通的忽略對于徑向力解析模型的影響，圖4給出了不同電流下忽略邊緣磁通與不忽略邊緣磁通時徑向力計算結(jié)果。由圖可知，邊緣磁通對徑向力模型的影響較小。

圖4 解析模型比較(θ=12°)Fig.4 Analytical model comparison(θ=12°)

因此可忽略邊緣磁通分量，得到簡化模型：

4k1(M-g0)(U1-U3)-

(25)

4k1(M-g0)(U4-U2)-

(26)

利用式(26)、式(27)可求得全周期內(nèi)徑向力解析模型，若A相導通，則徑向力解析模型可轉(zhuǎn)換為：

(27)

(28)

若C相導通，則徑向力解析模型可轉(zhuǎn)換為：

(29)

(30)

3 徑向力模型

為驗證該模型的準確性，使用Ansys Maxwell 2D軟件針對參數(shù)如表1的樣機建立有限元模型，將其計算結(jié)果與解析模型計算結(jié)果比較。

表1 仿真模型的參數(shù)

圖5是主繞組電流不變，懸浮繞組電流從0～3 A變化時產(chǎn)生的徑向力隨著轉(zhuǎn)子位置變化的曲線。由圖可知，該模型能夠較準確地描述不同懸浮繞組電流作用下，轉(zhuǎn)子所受懸浮力隨轉(zhuǎn)子位置變化的趨勢。

圖5 解析模型比較Fig.5 Analytical model comparison

為驗證在磁路深度飽和時徑向力解析模型的準確性，加大主繞組調(diào)節(jié)范圍，令主繞組電流在0～11 A變化，將模型與線性模型、有限元模型計算結(jié)果作比較，如圖6所示。

由圖6可知，在定轉(zhuǎn)子重疊面積較大時，模型計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果吻合比較好，如θ=4°時，在5 A的額定電流下解析模型計算誤差率可以控制在6.45%以內(nèi)，而線性模型誤差率達242%。在定轉(zhuǎn)子重疊面積較小時，由于簡化的等效磁路并不能全面考慮不同鐵心部位的飽和程度，產(chǎn)生的誤差相對較大，如θ=11°時，在5 A的額定電流下解析模型計算誤差率接近28.6%，而線性模型誤差率達92.9%。但從圖6中比較結(jié)果可得，主繞組電流增大到一定程度進入飽和工作區(qū)后，線性模型計算結(jié)果誤差較大，不適宜用線性模型描述徑向力特性，模型計算結(jié)果整體上與有限元計算結(jié)果較好地吻合，能夠在整個工作區(qū)域較準確地描述徑向力變化特性。

圖6 徑向力隨主繞組電流變化的曲線 Fig.6 Radial force versus main winding currents

圖7給出了線性模型與本文模型計算的徑向力與主繞組電流、懸浮繞組電流之間的三維曲面關系比較圖，進一步說明了模型較好的考慮到了懸浮繞組電流與主繞組電流對徑向力的非線性影響關系。

圖7 徑向力隨主繞組電流與懸浮繞組電流變化的三維曲面圖(θ=-7°) Fig.7 Three-dimensional surface diagram of radial force versus main winding currents and suspension winding currents(θ=-7°)

4 結(jié) 論

本文建立的共懸浮繞組式BSRM的徑向力解析模型考慮了電機在磁飽和時的運行情況，將麥克斯韋應力法與一種材料磁化特性擬合方法相結(jié)合，得出了全周期徑向力解析模型。該磁化特性擬合方法彌補了經(jīng)典公式適用于實際鐵芯材料時的局限性。

經(jīng)有限元驗證結(jié)果可得出徑向力隨著主繞組電流和懸浮繞組電流變化的趨勢符合實際情況，進一步說明了本文通過合理的近似處理方法得到的簡化解析模型能在磁路不飽和與飽和情況下描述徑向力變化趨勢。通過解析模型計算電機徑向力相比于有限元模型仿真分析具有計算量小、計算速度快的特點，且僅根據(jù)電機結(jié)構(gòu)參數(shù)和鐵磁材料電磁特性便可計算其他結(jié)構(gòu)BSRM的徑向力，該徑向力解析模型具有通用性，為BSRM控制方案的研究提供了理論基礎。