主動磁懸浮軸承的滑模自抗擾解耦控制

李冰林， 曾勵， 張鵬銘， 竺志大

(1.南京林業(yè)大學 汽車與交通工程學院，南京 210037；2. 揚州大學 機械工程學院，江蘇 揚州 225009；3.浙江精功科技股份有限公司，浙江 紹興 312030)

0 引 言

氣流紡中，紡杯的轉速與紡紗的效率和質量戚戚相關，轉速越高，生產(chǎn)效率越高。抽氣式轉杯轉速可達13萬～15萬r/min。采用磁懸浮軸承技術的新型高速紡杯，可以大大減小功耗，降低噪聲，與傳統(tǒng)的機械軸承相比，具有明顯的優(yōu)勢[1]。在開發(fā)這種高速轉杯紡紗機時，應解決磁軸承的控制穩(wěn)定性問題。

根據(jù)轉子動力學理論，五自由度的磁懸浮軸承，軸向和徑向之間的耦合作用小，可忽略，對軸向單獨進行控制即可，于徑向而言，4個自由度之間存在著非線性、強耦合，需對其進行解耦才能獲得較好的控制性能[2]。文獻[3-4]采用的方法是對系統(tǒng)進行強制解耦，然后再采用分散的獨立控制，這種解耦控制方法會使系統(tǒng)模型產(chǎn)生一定的誤差，同時會忽略轉子高速時產(chǎn)生的陀螺效應，這樣的控制方法往往難以滿足需求，特別是在紡紗轉杯的高速控制應用上。一種傳統(tǒng)的方法是通過設計解耦補償器，使其與磁懸浮對象模型組成的廣義矩陣，再使其對角化，從而使耦合的系統(tǒng)解耦[5]。文獻[6-7]采用前饋解耦內模控制的方法，實現(xiàn)徑向偏轉解耦控制。鄭世強[8]等采用交叉反饋的相位裕度跟蹤補償控制的方法，實現(xiàn)全轉速范圍內的章動模態(tài)穩(wěn)定性控制。以上這些解耦方法對控制對象的數(shù)學模型要求很高，當系統(tǒng)控制過程中包含很多非線性、時變的多變量后，很難滿足控制需求。針對磁懸浮轉子存在陀螺效應的影響，沈易霏[9]等一種針對非對稱轉子的轉速自適應的多通道單邊濾波PIDC控制方法，在不同的轉速段內自動切換反饋通道，通過優(yōu)化預調參數(shù)對轉子遠離質心一端出現(xiàn)的渦動模態(tài)失穩(wěn)的現(xiàn)象進行相位補償。陳亮亮[10]采用逆系統(tǒng)求解的方式很好地實現(xiàn)了對系統(tǒng)的解耦，但該方法需滿足對求解方程的可逆性。智能解耦在解決系統(tǒng)非線性問題有其優(yōu)勢，如神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)具有自學習、自適應能力，但它需要和其它算法相結合來滿足解耦控制[11-12]。同時，這種智能解耦的方式需要預先對樣本訓練，計算量大。

自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)在非線性、時變、系統(tǒng)耦合的情況下能獲得良好的控制性能，在電機抗擾動控制、旋翼姿態(tài)控制等都要較好的應用[13-16]。非線性控制中，滑模控制具有響應快，對參數(shù)變化不敏感，控制易于實現(xiàn)等優(yōu)點，同時結合其它先進的控制理論，能實現(xiàn)對參數(shù)不確定性或時變系統(tǒng)的控制[17-18]。

論文針對磁懸浮電機軸承系統(tǒng)，結合滑模控制和自抗擾控制的優(yōu)點，對系統(tǒng)存在的自由度耦合和陀螺效應耦合進行解耦控制。當系統(tǒng)存在外界擾動時，采用擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer, ESO)能對這種擾動進行有效估計，并進行控制補償，以提高系統(tǒng)抗干擾能力。為了進一步提高控制的性能，再對傳統(tǒng)的ADRC算法進行改進，設計一種基于滑模變結構的自抗擾控制器，提高系統(tǒng)的控制效果。

1 系統(tǒng)模型和問題描述

1.1 系統(tǒng)模型

圖1為主動磁懸浮軸承控制系統(tǒng)工作原理圖，系統(tǒng)工作在平衡工作點(i0,x0)附近，f是2個電磁鐵的電磁力，i0是2個線圈中的偏置電流。當系統(tǒng)工作時，轉子受到擾動，并從平衡位置x0向下偏移，轉子距預設平衡位置的距離經(jīng)傳感器檢測，得出的偏差輸入到控制器中。控制器緊接著輸出控制信號，然后經(jīng)功率放大器放大處理后向兩個磁極線圈中輸入電流，分別為i0+ij和i0-ij，在兩者產(chǎn)生的電磁力的共同作用下，將轉子拉回到平衡位置。針對單一電磁鐵作用，電磁力可以表示為

圖1 主動磁懸浮軸承系統(tǒng)工作原理圖Fig.1 Schematic diagram of active magnetic bearing system

(1)

其中：K=μ0n2S0/4；μ0為真空磁導率；n為線圈匝數(shù)；S0為極橫截面積；x為轉子位置，電流i增加，電磁力增加，間隙x增加，電磁力減小。

對于圖1中這種U型磁極，兩個磁極作用在轉子上的力都帶有角度α，考慮α作用，則有[19]

(2)

由于系統(tǒng)采用差動方式驅動，一個電磁鐵由i0+ij電流驅動，另一個由i0-ij電流驅動，如圖1所示，所以電磁線圈對轉子可以產(chǎn)生正向和反向作用力。在式(2)中，用i0+ij和i0-ij代替i，同樣氣隙用x0-xj和x0+xj代替x，可以得到該自由度的電磁力為

(3)

式中：ij、xj分別是第j自由度處的控制電流和轉子位移；x0為給定氣隙。每個自由度的電磁力與電流和氣隙的平方值相關，在平衡點進行泰勒級數(shù)展開，略去高次項，可以統(tǒng)一表示的形式為

Fj=Kxjxj+Kijij，j=1,…,5。

(4)

式中Kij,Kxj分別為第j自由度上電流-力剛度和位移-力剛度。圖2是磁懸浮軸系統(tǒng)轉子的受力示意圖。忽略軸向和徑向間的耦合，徑向傳感器的布置和軸承線圈在同一個平面上。

圖2 五自由度主動磁懸浮軸承系統(tǒng)結構圖Fig.2 Structure of 5-DOF AMB rotor system

由轉子動力學得如下方程為：

(5)

式中：m為轉子質量；Fuv表示轉子在v端u軸方向的受力(v=a,b；u=x,y)；Fzc為轉子在Z軸方向上的受力；xc、yc、zc分別為轉子在質心處X軸、Y軸、Z軸方向的位移；θx、θy分別為轉子繞質心處X、Y軸的轉角；ω為轉子繞Z軸的轉動角速度；la和lb分別為質心到兩側軸承端的間距；Jy和Jx分別是轉子繞質心處Y軸和X軸的轉動慣量，其中xc、yc和θx、θy可以由xa、xb、ya、yb替代，可得：

(6)

式中：xa為轉子在a端X軸方向的位移；xb為轉子在b端X軸方向的位移；ya為轉子在a端Y軸方向的位移；yb為轉子在b端Y軸方向的位移。系統(tǒng)中假設電磁線圈對稱布置，每對線圈特性相同，所以其在徑向的位移-力剛度Kxr和徑向電流-力剛度Kir一致，根據(jù)式(4)可知：

(7)

式中：ixa、ixb分別為a、b端X軸方向電磁鐵的電流；iya、iyb分別為a、b端Y軸方向電磁鐵的電流；izc轉子軸向電磁鐵的電流；Kxz、Kiz分別為軸向的位移-力剛度和軸向電流-力剛度。

結合式(5)～式(7)，得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(8)

1.2 問題描述

在實際工作過程中，電磁線圈存在著漏磁現(xiàn)象，鐵心具有磁阻，存在著磁飽和問題等因素，會使系統(tǒng)的不確定性增加，同時外界的環(huán)境包括振動對系統(tǒng)控制都有一定的影響。同時由式(8)可知：

1)磁懸浮軸承在徑向存在著耦合，在X方向，xa、xb存在著耦合，在Y方向，ya、yb存在著耦合。

2)由于a22中存在±laJzω/lJy項，表明其值受轉子轉速ω的影響。這說明X、Y兩個方向都有陀螺效應耦合，在低轉速時，laJzω/lJy≈0,可忽略，但在高轉速，特別是紡杯的轉速高達200 000 r/min，該陀螺效應不應該被忽略。

因此，針對上述問題，首先必須對系統(tǒng)存在的徑向位置耦合進行解耦，然后設計一個具有良好抗外界干擾的魯棒控制器，同時該控制器針對轉子高速旋轉時存在的陀螺效應耦合不具有敏感性。

2 自抗擾解耦控制器

自抗擾控制有很好的魯棒和動態(tài)特性，可以對系統(tǒng)運行時的內外擾動進行實時觀測估計并進行補償[20]。該控制方法不要求被控對象的精確模型和擾動模型。磁軸承轉子在運行中由于存在磁場作用力的非線性，機械振動等不確定因素，使得依賴于模型的控制方法受到局限。采用自抗擾控制器對這些不確定因素進行動態(tài)估計和補償能使系統(tǒng)能快速跟蹤給定的目標值。

將矩陣(8)的形式寫成含有狀態(tài)變量的形式：

(9)

(10)

式中：

為各項內外擾動的總和，采用擴張狀態(tài)觀測器(ESO)估計出系統(tǒng)的擾動總和。因此，式(8)可看成是4個獨立的二階系統(tǒng)，可以單獨設計自抗擾控制器。這樣一個MIMO系統(tǒng)就轉化為了相互獨立的SISO系統(tǒng)，然后分別對其控制。ADRC控制器由跟蹤微分器(TD)、ESO和非線性誤差反饋器(NLEF)組成[21]。

下面以xa為例，詳細說明磁懸浮軸承解耦抗干擾控制，主要包括3個部分。

2.1 跟蹤微分器TD

目前離散式的跟蹤微分器實現(xiàn)過渡過程比較應用普遍，其表達式為[14]：

(11)

式中：r為速度因子，其數(shù)值影響到v1跟蹤到v的速度；v2為v1廣義導數(shù)；h0為濾波因子，加大其數(shù)值，可以使得噪聲污染程度減小；fhan(v1,v2,r,h0)為最速控制綜合函數(shù)。

2.2 線性擴張狀態(tài)觀測器

對于具有一個自由度的二階非線性系統(tǒng)，式(9)中各自由度可以表示為：

(12)

(13)

|sI-A|=s3+β01s2+β02s+β03=(s+w0)3。

(14)

2.3 非線性誤差反饋律

基于TD輸出的跟蹤信號的輸出v1，v2與ESO的估計值z11，z12的差值，構造系統(tǒng)誤差和誤差微分信號：

傳統(tǒng)的非線性反饋控制的控制增益為

(15)

擾動反饋控制律為

u=(u0-z13)/b0。

(16)

此時系統(tǒng)變?yōu)殡p積分系統(tǒng)。

3 滑模自抗擾控制律設計

由傳統(tǒng)的ADRC中非線性誤差反饋控制律采用非線性函數(shù)，控制參數(shù)較多，而且缺乏具體的物理意義，整定費時費力。滑模變結構控制使得系統(tǒng)結構能根據(jù)其狀態(tài)實時改變，其控制器設計包括滑模面和控制律的設計。論文將滑模變結構控制和自抗擾技術相結合，將自抗擾技術的非線性控制律設計改為滑模切換律控制，使得系統(tǒng)同時具有ADRC的抗擾能力，又具有滑模控制的快速響應特性。

3.1 控制律的設計

定義系統(tǒng)誤差方程為：

(17)

(18)

式中的c滿足Hurwitz多項式。采用滑模變結構對系統(tǒng)進行控制，會產(chǎn)生高頻抖振問題。而指數(shù)趨近律能縮短趨近時間，使運動達到滑模面時的速度很小，能系統(tǒng)的抖振的影響。因此，選取指數(shù)趨近律為

(19)

其中ε>0，k>0，為選取參數(shù)。由式(18)得出滑模控制率為

mx11xa+εsgn(s)+ks]。

(20)

3.2 控制器穩(wěn)定性分析

線性擴張狀態(tài)觀測器和滑模控制器構成的系統(tǒng)，其跟蹤誤差需是有界穩(wěn)定的。根據(jù)選取的滑模面，取Lyapunov函數(shù)為

V=s2/2。

(21)

對其進行微分

(22)

圖3 單自由度滑模自抗擾控制框圖Fig.3 Block diagram of 1-DOF sliding mode active disturbance rejection control

根據(jù)式(10)，由四自由度的磁懸浮軸承控制解耦結構圖如圖4所示。

圖4 四自由度磁軸承滑模自抗擾解耦控制框圖Fig.4 Block diagram of sliding mode active disturbance rejection decoupling control of 4-DOF magnetic bearing

4 仿真試驗分析

為了驗證所設計解耦控制器的效果，使轉子穩(wěn)定地懸浮在離電磁線圈中心0.125 mm的位置處。在相同的條件下，對比傳統(tǒng)的ADRC控制以及基于滑模變結構的SM-ADRC控制效果。控制參數(shù)：ADRC中wc=5 000 rad/s，w0=8 000 rad/s；SM-ADRC中，c2=5 000，ξ=2 800，k=2 800。磁懸浮的結構和運行的具體參數(shù)值見表1[4]。

表1 系統(tǒng)變量及參數(shù)值

1)位置響應。

圖5為在xa方向施加幅值為0.125 mm階躍信號，ADRC、SM-ADRC兩種控制下的懸浮位置階躍響應曲線，轉子在該方向都能懸浮在位置0.125 mm的位置處。由圖還可知，SM-ADRC的響應特性要優(yōu)于ADRC控制，超調量小，系統(tǒng)調節(jié)時間短，為0.036 s，ADRC調節(jié)時間約為0.05 s。由此可知，對于四自由度的磁懸浮系統(tǒng)，SM-ADRC相比于ADRC在快速響應上得到了提高。

圖5 兩種控制下的xa位置響應結果對比Fig.5 Comparison of xa position response results under two controls

圖6為xa=0.125 mm、xb=ya=yb=0時磁懸浮四自由度解耦前后的控制性能對比，解耦前采用的是分散PID控制，解耦后采用的是SM-ADRC控制，從仿真結果可知，解耦前，由于變量之間存在著耦合特性，雖經(jīng)過PID控制，xa、xb、ya、yb都出現(xiàn)了振蕩的情況，無法控制在所需的目標位置，控制性能很難滿足要求；但是經(jīng)過SM-ADRC解耦控制后xa經(jīng)過一定的振蕩和超調后穩(wěn)定在了0.125 mm處，xb、ya、yb這3個自由度經(jīng)過各自的振蕩后，都能穩(wěn)定在給定的目標為0的位置處，說明系統(tǒng)在坐標X、Y方向解耦成功，并達到了較好的效果。

圖6 4個自由度的位置響應曲線Fig.6 Position response of the system with 4-DOF

圖7為轉子兩端在該控制下的軸心軌跡圖，由圖7(a)也可知，在ya方向經(jīng)過一定波動后回到了目標點(0.125,0)的位置，b端經(jīng)過一定振蕩后歸于零點，與圖6的分析結果一致。

圖7 轉子a，b兩端的運動軌跡Fig.7 Trajectory of the two ends of the rotor “a” and “b”

圖8為隨著電機轉速的升高，轉子陀螺效應對系統(tǒng)控制的影響，從圖中可知，當電機從0加速到200 000 r/min，在低轉速時，陀螺效應項有振蕩波動的情況，隨著轉速的升高，該項趨于0，這說明轉速的耦合影響得到了抑制。

圖8 陀螺效應隨轉子轉速的影響Fig.8 Influence of gyroscopic effect with rotor speed

圖9 xa位置響應下的擴張狀態(tài)觀測器輸出Fig.9 Output of the ESO under xa position response

2)抗擾控制。

為了解系統(tǒng)解耦后的抗擾能力，假設各自由度的目標值都設定為0.125 mm，然后在0.01 s時刻在ya的位移方向加入外擾，使其偏離平衡位置0.02 mm的大小，同時觀察4個自由度的控制穩(wěn)定性，由圖10可知，ya方向所受的波動最大，經(jīng)SM-ADRC控制器之后，依然能保持穩(wěn)定，如圖10(c)所示，其余3個自由度都受到擾動，但最終都能穩(wěn)定在目標位置，如圖10(a)、(b)、(d)所示。說明SM-ADRC在負載干擾下能抵御擾動所帶來的影響，恢復到之前的平衡位置0.125 mm處，所設計的控制器具有很強的抗干擾能力。

圖10 ya方向施加擾動時各自由度的輸出Fig.10 Output of each degree when disturbance is applied in the ya direction

圖11為在外擾加入的情況下，轉子a端的軌跡變化，結果同樣顯示，加入擾動后轉子很快也回到了平衡位置，系統(tǒng)沒有靜差，具有很好的動態(tài)性能。

圖11 ya方向施加擾動時轉子a端的軌跡Fig.11 Trajectory of end “a” of the rotor when the disturbance is applied in the ya direction

圖12 ya方向施加擾動時擴張狀態(tài)觀測器輸出Fig.12 Output of the ESO when a disturbance is applied in the ya direction

3)跟蹤控制。

為了使系統(tǒng)轉子懸浮位置可調，使磁軸承轉子跟蹤所需要的懸浮高度要求，并驗證算法的跟蹤性能。在xa方向輸入為0.14±0.3 mm，頻率為100 rad/s的方波信號，其它自由度設置目標值為0.125 mm。由圖13可知，在各自由度上，控制結果都能跟蹤到目標值，表明SM-ADRC具有很好的控制跟蹤的能力。

圖13 xa方向輸入方波時各自由度的輸出Fig.13 Output of each degree when a square wave is input in the xa direction

圖14為在xa方向輸入方波的情況下，轉子a端的軌跡跟蹤，結果同樣顯示，解耦后的轉子很快跟蹤到該方向的位移，系統(tǒng)沒有靜差，同樣也具有很好的動態(tài)性能。

圖14 跟蹤控制時轉子a端的軌跡Fig.14 Trajectory of end “a” of the rotor during tracking control

圖15為跟蹤控制時擴張狀態(tài)觀測器的輸出，由圖15(a)、(b)、(c)可知，在位置控制上，觀測值很好地跟蹤了輸入?yún)⒖夹盘柕淖兓瑫r在速度和擾動估計上，觀測器也能對其進行很好的估計。因此，SM-ADRC可以使系統(tǒng)及時跟蹤輸入?yún)⒖剂康淖兓逸敵龇€(wěn)定，同時觀測器表現(xiàn)出了較好的觀測性能。

圖15 跟蹤控制時擴張狀態(tài)觀測器輸出Fig.15 Output of the ESO during tracking control

通過對3種控制的狀態(tài)分析得出：SM-ADRC能對磁懸浮系統(tǒng)徑向的4個自由度進行解耦控制，并能使轉子穩(wěn)定在所需要的懸浮位置。同時，在位置響應上，其動態(tài)特性要優(yōu)于ADRC控制，系統(tǒng)調節(jié)時間短時、超調量小。在抗干擾能力上，SM-ADRC對系統(tǒng)在工作過程中可能存在影響的外擾具有很好的抵抗作用。在位置跟蹤上，SM-ADRC同樣能對所設定的位置信號進行跟蹤。

5 結 論

通過對基于滑模自抗擾解耦控制的理論和仿真分析，可以得出以下結論：

1)本文所提出采用的基于滑模和自抗擾技術的控制能夠使磁懸浮軸承轉子系統(tǒng)保持穩(wěn)定，與傳統(tǒng)的自抗擾控制相比，系統(tǒng)的位置響應速度快，無超調。

2)基于滑模和自抗擾技術的控制實現(xiàn)了對磁懸浮轉子徑向4個自由度的完全解耦，并完全消除了高速時陀螺效應的影響。

3)在抗外擾和跟蹤性能上，基于滑模的自抗擾控制能有效地對外擾地抵抗外在擾動的干擾，使系統(tǒng)保持穩(wěn)定；同時系能根據(jù)所設定的目標值，對信號進行跟蹤。