一類波動方程解的生命跨度的估計

明 森，鐘文倩，范雄梅，蘇業芹

（1.中北大學 理學院，太原 030051；2.西南財經大學 證券與期貨學院，成都 611130）

考慮如下初邊值問題

其中Ωc＝Rn＼B1（0），Ω＝B1（0）為Rn中的單位球；ε＞0是一個小參數。f（x）與g（x）∈（Ωc），并且

A（x）＝表示光滑的n×n實對稱矩陣函數。存在常數C＞0，使得≤aij（x）ξiξj≤，?ξ∈Ωc，x∈Ωc。aij（x）＝≥R。重復指標i，j表示求和。若aij＝δij，則問題（1）為常系數問題，其中δij為Kroneckerδ函數。

近來，關于如下非線性波動方程的Cauchy問題

解的破裂與生命跨度的估計被廣泛關注。1979年，John［1］在三維且p＞p1（3）時證明了問題（4）存在整體解，而當1＜p＜p1（3）＝ 1＋時，解在有限時刻破裂。Strauss［2］給出猜想：當p＞p1（n）時，問題（4）存在整體解；當1＜p＜p1（n）且在有限時刻時解會破裂，此處p1（n）＝為r（n，p）＝－［（n－1）p2－（n＋1）p－2］＝0的正根。當n＝1時，p1（1）＝＋∞。當n＝2時，Glassey［3］證明了1＜p＜p1（n）時解將破裂。當n＝4且p＞p1（4）時，Zhou［4］得到問題（4）具有整體解（詳見文獻［5－9］）。Zhou等［10］在1＜p≤p1（n）（n≥3）時證明了初邊值問題的解將出現破裂。對于Cauchy問題

Glassey［11］給出猜想：當p＞p2（n）＝1＋2／（n－1）時，問題（5）存在整體解；當1＜p≤p2（n）時，解會在有限時間內破裂。當n＝1時，p2（1）＝＋∞。文獻［10］在1＜p≤p2（n）（n≥1）時，證明了解會破裂（詳見文獻［12－16］）。Han等［14］在全空間中得到常系數與組合非線性項情形的波動方程解的破裂性態。

問題（1）解的破裂結果見如下定理1和定理2。

定理1 設1＜p≤p2（n）＝，問題（1）的解滿足

則解u的生命跨度T（ε）的估計為

其中C為不依賴于ε的正常數。

定理2設，問題（1）的解滿足

則問題（1）的解u會在有限時間內破裂，且式（6）可替代為

注結合定理1與定理2中的T（ε）的估計，可知

從而說明定理2中非線性項指數p的范圍優于定理1中p的范圍，且定理2中解的生命跨度的上界估計更佳。另外，本文利用檢驗函數方法與Kato引理將文獻［14］中的小初值問題的部分結論推廣至外區域上且帶變系數的初邊值問題。

1 定理1的證明

首先，給出Kato引理等相關引理及證明過程。

引理1［14］設a≥1，β＞1，（β－1）a＞α－2。若F∈C2（［0，T））且滿足

（a）F（t）≥δ（t＋R）a

其中k、δ、R為正常數，則F（t）會在有限時間內破裂，且F（t）的上界估計T（δ）滿足

其中C是依賴于k，R，但不依賴于δ的正常數。

對于問題（1），首先考慮如下兩類問題

其中f（x），g（x）滿足式（2）和（3）。

引入檢驗函數?0，?1∈C2（Ωc），詳見文獻［10］中定理2.2和定理2.3。記

引理2［10］假設（f，g）滿足式（2）和（3），且問題（7）的解滿足

則對?t≥0，有

式中c0為正常數。

引理3設問題（7）具有與引理2相同的假設條件。則當1＜p＜p1（n）時，問題（7）的解將會破裂，并且生命跨度滿足

證明：由文獻［10］中引理2.2可得

在問題（7）兩邊同乘以?0（x）并在Ωc上積分，結合式（10）得到

利用H?lder不等式及式（11），可得

其中k＝［Vol（Bn）］1－p＞0。另一方面，有

利用式（11），引理2和文獻［10］引理2.5得到

其中L＝。對式（13）在［0，t］上積分2次，當t充分大時則有

其中

結合式（12）和（14），取參數a≡n＋1－≡n（p－1），β≡p，當1＜p＜p1（n）＝時，結合引理1可導出式（9），證畢。

引理4設問題（8）具有與引理2相同的假設條件。當1＜p≤p2（n）時，對于問題（8），解的生命跨度估計為

證明：利用ψ1（x，t）＝e－t?1（x）及文獻［10］引理2.3可知

在問題（8）兩邊同乘以ψ1，關于x積分并結合式（15），可得

記

利用式（2）（16）和文獻［10］引理2.3得

記

由于F（t）≥0，?t≥0，利用文獻［10］中引理2.6得

即

當p＜p2（n）時，通過求解Riccati方程并利用式（17）可得

即T（ε）。

當p＝p2（n）時，則有T（ε）≤exp（Cε－（p－1））。從而得到引理4中的結論，證畢。

運用式（7）（8）及疊加原理，從而得到定理1中式（6），證畢。

2 定理2的證明

在問題（1）兩邊同乘以ψ1（x，t），并對x積分，結合式（15）得到

從而

類似地，計算得到

因此，記

由于

因此，由式（19）～（21）得

記I（t）＝。利用問題（1），可得

因此，I（t）滿足

利用H?lder不等式可得

從而得到

對式（22）關于t積分2次，當t充分大時，可得

利用式（23）與（24），取a≡2－，α≡n（p－1），β≡p，利用引理1，選取δ＝εp即得定理2中T（ε）的估計，證畢。