關于Chebyshev多項式的首尾差r-循環矩陣的行列式

邱 濤， 雷 林， 何承源

（西華大學 理學院，四川 成都610039）

循環矩陣因其特殊的結構特征，而被廣泛應用于許多現代工程科學領域［1-5］，如編碼理論、數字圖像識別、密碼學、信號處理、石油勘測等.近年來，在矩陣理論研究領域，對特殊循環矩陣的研究一直是一個熱門的方向，國內外大量學者對經典循環矩陣［6］不斷進行推廣和延伸.主要研究包含特殊數列及多項式的特殊循環矩陣的行列式、逆矩陣、譜范數、非奇異性、自反廣義逆、特征值、冪運算等性質.

循環矩陣的行列式作為基本的數學工具，在各方面有著重要的作用.文獻［7］通過矩陣分解理論，給出了包含Fibonacci與Lucas數列的循環矩陣行列式；文獻［8］采用同樣的分解原理，將數列推廣到Jacobsthal與Jacobsthal-Lucas數列，并給出了行列式的顯式表達式；文獻［9］研究了H-循環矩陣及H-左循環矩陣的行列式；文獻［10-11］給出了H-循環矩陣的判別及求解H-循環矩陣線性系統的快速算法；文獻［12］討論了廣義Fibonacci多項式的循環矩陣行列式；文獻［13］給出了包含三階序列的行斜首加尾右循環（RSFPLR）和行斜尾加首左循環（RSLPFL）矩陣的行列式；文獻［14-16］將矩陣推廣到行首加r尾r右循環（RFPrLrR）和行尾加r首r左循環（RFPrLrL）矩陣，分別給出了包含不同線性遞推數列和多項式的行列式.

基于以上研究，本文主要將對H-循環矩陣和行斜首加尾右循環矩陣的研究推廣到對首尾差r-循環矩陣的研究，同時把H-左循環矩陣和行斜尾加首左循環矩陣推廣到首尾差r-左循環矩陣，這2類矩陣具有更廣義的形式.本文利用多項式因式分解逆變換的方法，給出了包含第一、二類Chebyshev多項式的矩陣的行列式，最后通過數值實例對定理進行了驗證.

1 預備知識

定義1［17］第一、二類Chebyshev多項式是權函數為且由序列｛1，x，…，x n，…｝在區間［－1，1］上正交化得到的正交多項式，具體表達式為：

其二階線性遞推公式為：

｛Tn（x）｝與｛Un（x）｝的通項公式為：

其中

定義2［18］記Mn×n（C）為復數域上n階矩陣的集合，若矩陣A∈Mn×n（C）有如下形式

則稱矩陣A為首尾差r-循環（FLDcircr）矩陣，簡記為A＝FLDcircr（a1，a2，…，a n）.

第一行元素a0，a1，…，a n－1決定了矩陣A的構成：對第i行的行尾元素先乘r，第i行的行首元素再減去第i行的行尾元素，所有元素向右移一位就得到第i＋1行元素.FLDcircr矩陣是一類特殊的循環矩陣，不同于首尾和（FLS）r-循環矩陣［19-20］和行首加r尾r右循環矩陣（RFPrLrR）［14-16］，也不是這2類的特殊情況.當r＝1，則FLDcircr矩陣就是H-循環矩陣［911］；當r＝ －1，則FLDcircr矩陣就是行斜首加尾循環矩陣（RSFPLR）［12-13］.

定義π為n階基本FLDcircr矩陣，則π的具體表達形式為

π的特征多項式為

且有

規定π0＝In，這里In是n階單位矩陣.FLDcircr矩陣可由基本FLDcircr矩陣π來表示，有

定義3若矩陣B∈Mn×n（C）有如下形式：

則稱B為首尾差r-左循環（FLDLcircr）矩陣，簡記為B＝FLDLcircr（a1，a2，…，a n）.

FLDLcircr矩陣的構成規則：對第i行的行首元素先乘r，第i行行尾元素再減去第i行的行首元素，所有元素向左移一位就得到第i＋1行.

引理1［18］設矩陣

那么A的特征值為

這里 ωi（i＝1，2，…，n）是基本FLDcircr矩陣π的特征值，即ωi是方程

的根.

引理2

其中

ωi（i＝1，2，…，n）是方程（2）的根，s、t是方程

的根，a≠0，c，b，a∈R.

證明

其中s、t是方程的根，根據韋達定理有

由于ωi是方程（2）的根，則有

其中，Δn－1＝sn－1＋t n－1，Δn＝sn＋t n（下同）.

引理3設

是一個FLDLcircr矩陣，

是一個FLDcircr矩陣，則有

證明容易驗證：

其中

進一步可以得到

2 主要結論及其證明

首先，研究關于第一類Chebyshev多項式Tn的首尾差r-循環矩陣及首尾差r-左循環矩陣的行列式，得到的結果和證明如下.

定理1設矩陣C＝FLDcircr（T1，T2，…，Tn），那么

其中

證明矩陣C＝FLDcircr（T1，T2，…，Tn）表示為

由引理1，可得矩陣C的行列式為

根據引理2，可得

的2個根.

推論1設矩陣

那么

其中

證明矩陣

表示為

類似定理1的證明，可以得到推論1的結果.

定理2設矩陣

那么

其中

證明由定義3，矩陣

可以表示為

所以，根據引理3有

且由推論1知

故有

其中

其次，考慮包含第二類Chebyshev多項式Un的首尾差r-循環矩陣及首尾差r-左循環矩陣的行列式，得到的結果和證明如下.

定理3設矩陣

那么

其中

證明矩陣

表示為

由引理1，可得矩陣F的行列式為

根據引理2，可得

其中

s3、t3是關于 ωi的方程

的2個根.

推論2設矩陣

那么

其中

證明矩陣

表示為

類似定理3的證明，可以得到推論2的結果.

定理4設矩陣

那么

其中

證明由定義3，矩陣

可以表示為

所以，根據引理3有detH＝detGdet，且由推論2知

故有

其中

3 數值舉例

設3階矩陣

求矩陣A的行列式.

解由定義1和定義2可知，矩陣A是包含第一類Chebyshev多項式的首尾差r-循環矩陣，其中r＝2，那么A可以簡記為A＝FLDcirc2（T1，T2，T3）.根據定理1可以得到

其中

取x＝ －1，則

由定理1可得

當x＝ －1，矩陣根據行列式理論有

4 結論

通過數值舉例，對本文提出的方法進行了驗證.利用類似的證明方法，參數r取不同的值，可以將對FLDcircr矩陣和FLDLcircr矩陣的研究推廣到其他特殊的循環矩陣，如：當r＝1，可以得到H-循環矩陣和H-左循環矩陣的行列式，見文獻［9］；當r＝－1，可以得到行斜首加尾循環矩陣和行斜尾加首左循環矩陣的行列式，見文獻［12-13］.利用本文的這些理論也可將矩陣元素推廣到二階線性遞推數列、三階線性序列和多項式，進而研究包含這些特殊數列的特殊循環矩陣行列式及其他性質.