一類差分方程退化不動點的定性性質

李明山， 周效良

（1.南京航空航天大學 經濟與管理學院，江蘇 南京211106； 2.嶺南師范學院 數學與統計學院，廣東 湛江524048）

近年來，差分方程理論與應用研究取得許多成果［1-4］.目前關于二維差分方程具有特征值±1的退化不動點的定性性質研究成果較少.文獻［5］利用Picard迭代［6］、去奇化理論［7］、共軛關系［8］和Takens定理［9］研究了一類離散競爭模型退化不動點的定性性質.文獻［1］提出了一類離散經濟模型

映射（2）在不動點E0（0，0）處的特征值為 λ1＝1，λ2＝－1.本文考慮映射（2）在退化不動點E0附近的定性性質.

本文利用Picard迭代和Takens定理得到了映射（2）在退化不動點E0的近似系統（也稱為微分方程），通過極坐標變換來研究微分方程在退化平衡點附近的定性性質.進一步，利用blow-up方法和微分方程的時間-1映射的反射與映射（2）之間的共軛來研究映射（2）在退化不動點E0附近的定性性質.

1 流近似

利用Picard迭代和Takens定理將映射嵌入微分方程的流.利用微分方程來研究映射（2）在退化不動點E0處的定性性質，首先給出Takens定理.

引理1.1［9］假設

是一個在O附近的形式映射，S是半單的且具有特征值 ±1，N是冪零的，是k次齊次多項式，則在O附近存在唯一的不變向量場Y使得φ~Y（1，·），這里 φ~Y（t，·）表示~Y的形式流.對所有）僅依賴于j k（~H），其中j k是截斷形式映射或者形式向量場在O處的k次項系數.

定理1.2在（0，0）的充分小鄰域內，映射R?滿足

其中，w＝（u，v），R＝diag（1，－1），φ（t，w）滿足初值φ（0，w）＝w，并且是由如下平面微分方程生成的流

證明利用?：x＝u＋v，y＝u－v變換可將映射（2）對角化為T＾，故有

由Takens定理，映射在E0附近可以嵌入連續流.考慮如下微分方程

其中Xk（u，v）∈Hk，

a ij、bij是待定的.設微分方程（6）有如下形式

接著比較（7）式和（8）式的三次項可得

故映射R?（w）的近似系統為微分方程（4）.證畢.

這樣就得到如下向量場：

為方便行文，給出如下記號，其中?i、Ik（i，k∈υ）是以E0為中心的扇形鄰域是充分小的正數，υ：＝ ｛1，2，3，4｝，κ：＝｛j＋1｝，且

定理1.3微分方程（4）的平衡點（0，0）是不穩定的.在E~0充分小鄰域附近，在區域I1內，微分方程（4）的軌線沿著直線I1進入E~0，區域I1是一個吸引的扇形區域；在區域I2內，微分方程（4）的軌線沿著直線I2靠近平衡點E~0，并且沿著直線l4離開平衡點，區域I2是一個鞍點扇形區域；在區域I3內，微分方程（4）的軌線離開平衡點E~0，區域I3是一個排斥的扇形區域；在區域I4內，微分方程（4）的軌線沿著直線l8靠近平衡點E~0，并且沿著直線l5離開平衡點，此時區域I4是一個鞍點扇形區域.

證明為了明確微分方程（4）在原點附近的軌線走向，對其實施坐標變換x＝rcosθ，y＝rsinθ，得到如下系統

系統（10）在單位圓周｛0｝×S1上有奇點（0，θj），j＝1，2，…，8.若r充分小，當 θ ＝ θ0時，有 θ˙＝0.此時r˙＜0，所以在l1直線上（4）式的軌線是趨向于平衡點E~0.當 θ∈（－ θ1，θ1）時，有r˙＜0.所以在區域I1內，（4）式的軌線沿著直線I1進入平衡點E~0，此時區域I1是一個吸引的扇形區域.當θ∈（θ1，θ2）時，有r˙＜0.當 θ∈（θ2，θ3）時，有r˙＞0.所以在區域I2內，（4）式的軌線沿著直線I2靠近平衡點E~0，并且沿著直線l4離開平衡點，區域I2是一個鞍點扇形區域.當 θ＝ θ4，u＜0時，此時r˙＞0.所以在l4直線上（4）式的連續時間流是趨于－∞的，從而（4）式的平衡點E~0是不穩定的.當 θ∈（θ3，θ5）時，有r˙＞0.所以在區域I1內（4）式的軌線離開平衡點，此時區域I3是一個排斥的扇形區域.

因為（4）式是v?－v不變的，所以在區域I2內，（4）式的軌線沿著直線l6靠近平衡點E~0，并且沿著直線l6離開平衡點此時區域I4是一個鞍點扇形區域，故（4）式在平衡點附近的相圖如圖1所示.證畢.

圖1 （4）式在平衡點~E 0附近的相圖Fig.1 Phase portrait of system（4）near equilibrium~E 0

2 退化不動點的定性性質與穩定性

下面應用blow-up方法來研究向量場X的平衡點的定性性質.應用映射（2）與向量場X之間的共軛關系，得到了映射（2）退化不動點E0的定性性質.

引理2.1［8］設H和Y分別是在原點O附近的C∞映射和C∞向量場，且它們的形式部分分別與引理1.1給出的形式映射~H和形式向量場~Y相同.假設向量場Y有一軌道沿著特定的方向連接O，向量場Y無橢圓扇形，且向量場Y是Lojasiewicz類型的.假設通過去奇化后得到的向量場僅有雙曲平衡點，則存在C∞坐標變換Ψ滿足j∞（Ψ－I）＝0使得 Ψ－1?H?Ψ ＝S?φY（1，·），其中I表示恒同變換.

若存在常數k、σ、η 使得對任意（x，y）∈R2，‖（x，y）‖k≤η，都有‖Y（x，y）‖≥σ ‖（x，y）‖k，則稱C∞向量場是Lojasiewicz類型的，其中‖·‖表示R2中的Euclid范數.顯然向量場X是Lojasiewicz類型的.

定理2.1映射（2）的退化不動點E0是不穩定的.在退化不動點E0的充分小鄰域內，若初值Q（x0，y0）∈?1，則沿著直線l2兩側收斂于E0，?1是一個“吸引的扇形區域”；若初值Q（x0，y0）∈?2，則沿著直線l3靠近不動點E0，并且沿著直線l5離開不動點E0，區域?2是一個“鞍點扇形區域”；若初值Q（x0，y0）∈?3，則離開不動點E0，區域?3是一個“排斥的扇形區域”；若初值Q（x0，y0）∈?4，則沿著直線l1靠近不動點E0，并且沿著直線l7離開不動點E0，此時區域?4是“排斥的扇形區域”.

證明顯然微分方程（4）與向量場X在原點O附近的定性性質是一樣的.對向量場X應用變換u＝w1，v＝w1w2沿著v軸進行blow-up，將向量場X轉化為如下系統

這樣可以降低向量場X平衡點（0，0）的退化程度，其中dτ1＝w1dt.系統（11）在w2軸有平衡點E4（0，0）、E5（0，1）和E6（0，－1），在平衡點處E4、E5和E6的雅可比矩陣分別為

故平衡點E4是穩定結點，平衡點E5和E6是鞍點.對微分方程（4）應用變換u＝ξ1ξ2，v＝ξ2沿著u軸進行blow-up，得到如下系統

其中dτ4＝ξ2dt.系統（12）在 ξ1軸有平衡點E7（－1，0）和E8（1，0），在平衡點E7的雅可比矩陣為J（E7）＝diag（－2a，2a）且J（E8）＝ －J（E7），故平衡點E7和E8是鞍點.

由上述過程可知，向量場X經過去奇化獲得的系統只有雙曲平衡點，所以對于向量場X，由定理1.2可知向量場X滿足引理2.1的假設條件.由引理2.1可知，在O附近存在一個C∞微分同胚Ψ2滿足j∞（Ψ2－I）＝0使得

圖2 映射（2）在平衡點E 0附近的相圖Fig.2 Phase portrait of mapping（2）near equilibrium E 0

本文研究一類差分方程退化不動點E0的定性性質.微分方程（4）的退化平衡點比較復雜，出現了鞍點扇形，這是文獻［5］中所沒有涉及的情形.

致謝廣東省大學生科技創新培育專項資金（PDJH2021B0309）、廣東省高校重點項目（2019KZDXM032）和南京航空航天大學研究生創新基地（實驗室）開放基金（KFJJ20190802）對本文給予了資助，謹致謝意.