具有低碰撞區的跳頻序列的理論界

唐小虎

（西南交通大學 信息科學與技術學院，四川 成都611756）

由于跳頻擴頻（FHSS）通信系統具有較強的抗干擾能力、較高的保密性等特性，因而廣泛應用于移動通信、短距離無線通信、軍事無線通信等領域.對于跳頻通信系統，使用跳頻序列進行頻移鍵控調制，使載波不斷地進行跳變.漢明（Hamming）相關函數是兩個跳頻序列之間的一個重要特征，用來描述跳頻序列在不同時隙頻率重疊的總次數，是影響跳頻通信系統性能的重要因素之一.跳頻序列理論一直是現代擴頻通信領域的重要研究課題.跳頻序列理論包括跳頻序列理論界與跳頻序列設計兩方面.跳頻序列理論界是評價跳頻序列集性能優劣的標準，對跳頻序列設計具有重要的指導意義［1-7］.

根據跳頻通信理論可知，為了降低多址干擾，跳頻擴頻序列的漢明相關函數應該具有如下“理想”特性：跳頻序列除零時延外的全部自相關值和全部互相關值都應該是零.然而，由跳頻序列理論界可以推出，“理想”跳頻序列集的有關參數必須滿足等式MN＝q，其中，N為跳頻序列周期（長度）、M為跳頻序列個數、q為跳頻序列利用的頻率數目［6］.在實際跳頻擴頻通信系統中，使用的跳頻序列的長度總是大于頻率數目，因而等式MN＝q總是不成立的，所以跳頻通信系統一定存在用戶間的多址干擾.

為了解決這些問題，必須創建一種新的研究思路，設計新型的跳頻序列.首先考慮使用的一種思路是在“較小”的時延范圍內分析跳頻序列的漢明相關性.2006年，Peng等［8］提出低碰撞區跳頻序列的新概念，將跳頻序列的漢明相關函數自變量限制在零時延附近的一個小區間（LH）內進行研究.對于跳頻序列集，當時延不超過LH時，如果每個跳頻序列的漢明自相關值（零時延除外）和任意2個跳頻序列的漢明互相關值都取很小的值（例如0、1、2等），則把這種跳頻序列集稱為“低碰撞區跳頻序列集”，LH稱為“低碰撞區（LHZ）”.特別地，當時延不超過LH時，如果每個跳頻序列的漢明自相關值（零時延除外）和任意兩個跳頻序列的漢明互相關值都取0，則把跳頻序列集稱為“無碰撞區跳頻序列集”，這樣的LH稱為“無碰撞區（NHZ）”，記為NH.很明顯，對于低碰撞區跳頻序列集，當時延不超過LH時，序列的漢明相關值較小，并且序列數目較多［8-9］.

自從低（無）碰撞區跳頻序列的概念與研究方法被提出以后，尤其是首批研究成果公布報道以來，在國內外引起較大反響，許多學者開始投入低碰撞區跳頻序列的研究，研究成果非常豐富，不斷在國際期刊或國際會議發表出來.人們不但建立了一批低碰撞區跳頻序列的理論界，而且構造出許多最優低碰撞區跳頻序列集，推動了跳頻序列理論的發展［10-26］.本文綜合論述低碰撞區跳頻序列理論界的研究狀況.

1 具有低碰撞區的跳頻序列周期漢明相關函數的理論界

在跳頻通信系統中，發射機發送信號使用的頻率是不斷變化的，用跳頻序列來描述這種變化規律.用F＝｛f1，f2，…，f q｝表示跳頻通信系統使用頻率的集合，其中q＝｜F｜表示頻率的數目，把

x＝（x0，x1，…，x N－1），x i∈F，i＝0，1，…，N－1稱為F上的一個跳頻序列，其中N被稱為跳頻序列x的長度或周期.令S是由M個長度為N的跳頻序列組成的集合.

對于任給2個頻率f1，f2∈F，設

跳頻序列的漢明相關函數是刻畫跳頻通信系統2個用戶發送信號使用頻率相互重疊的次數.

定義1.1［5］已知2個跳頻序列

l為整數，0≤l＜N，把

稱為跳頻序列x和y關于時延l的周期漢明相關函數.式中的下標加法i＋l是按模N運算，并且這里只考慮正時延l.

已知跳頻序列集S，把

稱為S的最大周期漢明自相關邊峰值，把

稱為S的最大周期漢明互相關值.令

在不引起混淆的時候，簡記

對于異步跳頻通信系統，要求每對跳頻序列在整個周期內無碰撞，可是根據跳頻序列的理論界，這樣的跳頻序列的數目非常少，難以支持較多的用戶.但是，如果將序列的漢明相關值限制在零時延附近的一個較小的時延范圍內研究，就能夠構造出較多的跳頻序列.這就是低碰撞區跳頻序列產生的基本思想.

下面給出低碰撞區跳頻擴頻序列的準確定義.

定義1.2［4，8］設S是由頻率集F上的M個長度為N的跳頻序列組成的集合，任給正整數

令

把LAHZ稱為S關于周期漢明相關函數的自相關低碰撞區，LCHZ稱為S關于周期漢明相關函數的互相關低碰撞區，LHZ稱為S關于周期漢明相關函數的低碰撞區.進一步地，把S稱為一個具有低碰撞區LHZ的跳頻序列集，或者簡稱S是一個LHZ跳頻序列集.

在定義1.1中，如果令

低碰撞區LHZ被稱為跳頻序列集S的一個無碰撞區，記為NHZ，同時把S稱為一個具有無碰撞區NHZ的跳頻序列集，或簡稱S是一個NHZ跳頻序列集.

由定義1.1可知，完整描述一個低碰撞區跳頻序列集S需要的參數有：跳頻序列使用頻率的數目q、跳頻序列的長度N、序列的數目M、低碰撞區長度LHZ、在低碰撞區內的最大漢明自相關邊峰值Ha和在低碰撞區內的最大漢明互相關值Hc.因此，可以把低碰撞區跳頻序列集記為

類似地，無碰撞區跳頻序列集具有4個參數，記為對于跳頻通信系統，為了減少多址干擾，設計的跳頻序列應該使其Ha和Hc盡可能小（例如Ha，Hc＝0，1或2等），使低碰撞區長度LHZ和序列個數M盡可能大.基于低碰撞區跳頻序列的準同步跳頻多址通信系統，只要相對時延不超過低碰撞區，序列之間的漢明相關值仍然是零或者是很小的值，能夠有效地降低甚至消除系統的多址干擾.低碰撞區跳頻序列在多用戶雷達、聲納、藍牙和超寬帶等無線通信系統中具有重要的應用價值［25-30］.

為了評價低碰撞區跳頻序列的性能，必須揭示低碰撞區跳頻序列集全部參數滿足的數學關系.2003年，Ye等［9］首次給出了具有無碰撞區的跳頻序列關于周期漢明相關函數的理論界.

定理1.1（Ye-Fan界）［9］設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列組成的集合，NHZ是序列集S關于周期漢明相關函數的無碰撞區，則有

設a是一個實數，用表示小于或等于a的最大整數，用表示大于或等于a的最小整數.

2006年，Peng等［8］首次建立了具有低碰撞區的跳頻序列關于周期漢明相關的理論界.

定理1.2（Peng-Fan-Lee界）［8］設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列組成的集合，LHZ是S關于周期漢明相關函數的低碰撞區，令

那么對于任意整數Z（0≤Z≤LHZ），有

注意到，Hm＝max｛Ha，Hc｝，由定理1.2可以得到如下推論.

推論1.1設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，LHZ是S關于周期漢明相關函數的低碰撞區，令

那么對于任意整數Z（0≤Z≤LHZ），有

很明顯，界（4）比界（5）更簡潔，但由于

所以，界（5）比界（4）更緊.

在定理1.2中，令Ha＝Hc＝0，直接得到下面關于無碰撞區跳頻序列的理論界.

推論1.2設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，NHZ是S的無碰撞區.令

那么

可見，界（6）就是Ye-Fan界（1）.

現在將界（7）進一步簡化，得到如下結果.

推論1.3設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，NHZ是S的無碰撞區，那么

證明把界（7）變形為

設

代入上式得

當0≤ε＜1時，有

所以（8）式成立.

界（6）可以變形為可見，界（8）比界（6）更緊.

定理1.2開創了低碰撞區跳頻序列研究的新方向，從此以后，有關低碰撞區跳頻序列的理論界與序列設計的研究成果不斷被報道.2011年，Ye等［31］進一步改進了無碰撞區跳頻序列關于周期漢明相關的理論界，獲得了以下結果.

定理1.3（Ye-Fan界）［31］設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，NHZ是序列集S關于周期漢明相關的無碰撞區，則有

2019年，Liu等［15］建立了一個新的低碰撞區跳頻序列關于周期漢明相關的理論界.

定理1.4（Liu-Shu-Zeng界）［15］設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列組成的集合，LHZ是序列集S關于周期漢明相關函數的低碰撞區.那么

在定理1.4中，令LHZ＝N－1，可以得到常規跳頻序列集周期漢明相關函數新的理論界.

推論1.4設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列組成的集合，那么

2 具有低碰撞區的跳頻序列非周期漢明相關函數的理論界

跳頻序列的非周期漢明相關函數是描述跳頻通信系統頻率碰撞的又一個重要指標，它的定義如下.

定義2.1已知2個長度為N的跳頻序列

l為整數，且0≤l＜N，跳頻序列x和y關于時延l的非周期漢明相關函數定義為

已知跳頻序列集S，把

稱為S的最大非周期漢明自相關邊峰值.把

稱為S的最大非周期漢明互相關值.設

為了簡便，令

現在給出跳頻序列集非周期漢明相關函數低碰撞區的概念.

定義2.2已知跳頻序列集S，令整數a≥0，c≥0，那么，S關于非周期漢明相關函數的自相關低碰撞區LAAHZ、互相關低碰撞區LACHZ與低碰撞區LAHZ分別定義如下：

2010年，Niu等［20］首次給出了具有低碰撞區跳頻序列集的非周期漢明相關函數的理論界.

定理2.1（Niu-Peng-Liu界）［20］設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，LAHZ是序列集S關于非周期漢明相關函數的低碰撞區.那么，對于任意整數Z（0≤Z≤LAHZ），有

推論2.1設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，LAHZ是序列集S關于非周期漢明相關函數的低碰撞區.那么，對于任意整數Z（0≤Z≤LAHZ），有

在定理2.1中，令

可以得到常規跳頻序列集非周期漢明相關函數一個新的理論界.

推論2.2設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，則有

推論2.3設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，則有

容易驗證，理論界（14）與（15）比早期的常規跳頻序列集非周期漢明相關的Peng-Fan界更緊［5］.2015年，Han等［23］得到了低碰撞區跳頻序列集關于非周期漢明相關理論界的如下結果.

定理2.2（Han-Peng-Liu界）［23］設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，LAHZ是序列集S關于非周期漢明相關函數的低碰撞區.對于任意整數Z（0≤Z≤LAHZ），有如下結論.

當0≤Z≤min（LAHZ，N－a）時，有

當0≤Z≤min（LAHZ，N－a）時，有

2018年，Liu等［32］得到了無碰撞區跳頻序列集關于非周期漢明相關的一個新理論界.

定理2.3（Liu-Zhou-Zeng界）［32］設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，NAHZ是序列集S關于非周期漢明相關函數的無碰撞區，則有

3 具有低碰撞區的跳頻序列部分漢明相關函數的理論界

跳頻序列的部分漢明相關是在一個比序列周期“更小”的時延范圍內考慮序列的漢明相關特性.在實際應用中，部分漢明相關比全周期漢明相關能更準確地描述跳頻通信系統的干擾特性.由于跳頻序列部分漢明相關的數學描述比較復雜，研究比較困難，所以，在很長時間內，公開報道的研究結果較少.近年來，引入了跳頻序列低碰撞區的概念，為跳頻序列部分漢明相關函數理論研究提供了一種新方法，從而獲得了一系列新的研究結果.

首先給出跳頻序列周期部分漢明相關函數的概念.

定義3.1［5，16］設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，對于任意兩個跳頻序列

序列x和y在相對時延為τ，相關窗起點為j，相關窗長度為L時的周期部分漢明相關函數定義為

其中，下標i＋τ按模N運算.當x＝y時，

被稱為周期部分漢明自相關函數；當x≠y時被稱為周期部分漢明互相關函數.明顯地，如果令j＝0并且L＝N，周期部分漢明相關函數與周期漢明相關函數一致.進一步地，把

稱為跳頻序列集S的最大周期部分漢明自相關.把

稱為跳頻序列集S的最大周期部分漢明互相關.把

稱為跳頻序列集S的最大周期部分漢明相關.在不引起混淆的時候，令

現在定義跳頻序列周期部分漢明相關函數低碰撞區的概念.

定義3.2設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合.對于任意給定的相關窗L（L≤N），令正整數

把定義為跳頻序列集S的部分漢明自相關低碰撞區，把

定義為跳頻序列集S的部分漢明互相關低碰撞區，把

定義為跳頻序列集S的部分漢明相關低碰撞區.

特別地，當j＝0且L＝N時，序列集S的周期部分漢明相關低碰撞區、周期部分漢明自相關低碰撞區和周期部分漢明互相關低碰撞區分別成為跳頻序列集的周期漢明相關低碰撞區，周期漢明自相關低碰撞區和周期漢明互相關低碰撞區.為了簡便，令LPHZ＝LPHZ（L）.

2018年，文獻［18，33］首次建立了低碰撞區跳頻序列集周期部分漢明自相關和周期部分漢明互相關理論界.

定理3.1［18，33］設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，部分漢明相關窗長度為L（L≤N），LPHZ為S的周期部分漢明相關低碰撞區，令

那么對于任意正整數Z（0≤Z≤LPHZ），有

令PLm＝max｛PLa，PLc｝，由定理3.1立即得到以下推論.

推論3.1對于任意正整數Z，0≤Z≤LPHZ，令

有

在定理3.1中，令L＝N，則跳頻序列集S的周期部分漢明相關低碰撞區LPHZ即成為序列集S的周期漢明相關低碰撞區LHZ，可以直接導出低碰撞區跳頻序列集周期漢明相關的理論界.

推論3.2設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，LHZ為跳頻序列集S的周期漢明相關低碰撞區.令

那么對于任意正整數Z（0≤Z≤LHZ），有

因此，界（21）和（22）分別是關于低碰撞區跳頻序列周期漢明相關的Peng-Fan-Lee界（2）和（3）.如果令跳頻序列集S的周期部分漢明相關低碰撞區Z＝LPHZ＝N－1，由定理3.1直接得出常規跳頻序列集周期漢明相關的理論界.

推論3.3設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，則有

可以看出，理論界（23）和（24）即是關于常規跳頻序列周期漢明相關的Peng-Fan界［5］.在定理3.1中，令LPHZ＝N－1，可以得到常規跳頻序列周期部分漢明相關的理論界［5］.

推論3.4設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，相關窗長度為L（L≤N），令

則有

注意到Pm＝max｛Pa，Pc｝，可以直接得到以下推論.

推論3.5設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，相關窗長度為L（L≤N），令

有

2017年，Zhou等［25］改進了界（20），獲得了低碰撞區跳頻序列集周期部分漢明相關一個新的理論界.

定理3.2（Zhou-Peng-Liang界）［25］設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，相關窗長度為L（L≤N），LPHZ為跳頻序列集S的周期部分漢明相關低碰撞區，令

那么對于任意正整數Z（0≤Z≤LPHZ），有

定理3.3（Zhou-Peng-Han界）［26］設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，相關窗長度為L（L≤N），LPHZ為跳頻序列集S的周期部分漢明相關低碰撞區.那么對于任意正整數Z（0≤Z≤LPHZ），有

容易檢驗，界（30）比界（19）更緊.2018年，Liu等［17］獲得了低碰撞區跳頻序列集周期部分漢明相關的一個理論界.

定理3.4（Liu-Zhou界）［17］設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，相關窗長度為L（L≤N），LPHZ為跳頻序列集S的周期部分漢明相關低碰撞區.那么對于任意正整數Z（0≤Z≤LPHZ），有

容易檢驗，界（31）比界（20）（29）更緊，并且與（20）（29）式相比較，（31）式更簡潔，它不含參數I.在定理3.4中，令LPHZ＝N－1，直接得到常規跳頻序列集周期部分漢明相關的理論界.

推論3.6設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，相關窗長度為L（L≤N），則有

容易檢驗，界（32）比界（27）和（28）更緊.

4 具有低碰撞區的跳頻序列漢明相關函數平均值的理論界

對于跳頻序列的理論界，早期學者基本上都集中研究跳頻序列漢明相關函數的最大值，這是從“最壞”的角度評估跳頻序列的性能，根本原因還是數學描述比較容易.對于跳頻擴頻通信系統性能評估，跳頻序列漢明相關函數的平均值也是一個重要的標準.但是，跳頻序列漢明相關函數平均值的數學描述比較復雜，研究很難，一直未見有關研究結果.從2000年以來，彭代淵［4-5］開始研究跳頻序列漢明相關函數平均值的理論界，不斷有研究結果被發表出來.

首先給出跳頻序列集平均漢明相關的有關定義.

定義4.1［5，34］設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，那么

和

分別稱為跳頻序列集S的周期漢明自相關碰撞總數和周期漢明互相關碰撞總數.將

和

分別稱為跳頻序列集S的平均周期漢明自相關和平均周期漢明互相關.在不引起混淆的時候，令

現在給出部分漢明相關函數平均值的定義.

定義4.2［5，35］設F是個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，相關窗長度為L（L≤N）.把

稱為跳頻序列集S在相關窗L內的周期部分漢明自相關函數總值，把

稱為跳頻序列集S在相關窗L內的周期部分漢明互相關總值.跳頻序列集S在相關窗L內的周期部分漢明自相關函數平均值與周期部分漢明互相關平均值分別定義為：

現在給出低碰撞區跳頻序列集平均周期部分漢明相關的定義.

定義4.3［35-36］設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，相關窗長度為L（L≤N），LPHZ為跳頻序列集S的周期部分漢明相關低碰撞區.對于任意正整數Z（0≤Z≤LPHZ），把

和

分別稱為跳頻序列集S在低碰撞區LPHZ內的周期部分漢明自相關總碰撞次數和周期部分漢明互相關總碰撞次數，并把

和

分別稱為跳頻序列集S在低碰撞區LPHZ內的平均周期部分漢明自相關和平均周期部分漢明互相關.2010年，Niu等［35-36］得到了具有低碰撞區的跳頻序列集周期部分漢明相關平均值的理論界.

定理4.1（Niu-Peng-Liu界）［35-36］設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，相關窗長度為L（L≤N），LPHZ為跳頻序列集S的周期部分漢明相關低碰撞區，令

那么對于任意正整數Z（0≤Z≤LPHZ），有

在定理4.1中，令j＝0，L＝N，則跳頻序列集S的周期部分漢明相關低碰撞區LPHZ成為S的周期漢明相關低碰撞區LHZ，從而直接得到低碰撞區跳頻序列集周期漢明相關函數平均值的理論界如下.

推論4.1［5］設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，S的周期漢明相關低碰撞區為LHZ，設

那么對于任意正整數Z（0≤Z≤LHZ），有

在定理4.1中，令Z＝LPHZ＝N－1，得到常規跳頻序列集周期部分漢明相關平均值的理論界.

推論4.2［5］設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的跳頻序列構成的集合，相關窗長度為L（L≤N），設

那么

5 具有低碰撞區的寬間隔跳頻序列漢明相關的理論界

在有些無線通信應用中，要求實現寬間隔跳頻，即要求在2個相鄰跳頻時隙里發射的2個載波的頻率間隔大于某個規定的值.使用寬間隔跳頻序列，有利于對抗窄帶干擾、跟蹤干擾與寬帶阻塞式干擾［2］.首先給出寬間隔跳頻序列的定義.

定義5.1［2，37］設F＝ ｛f1，f2，…，f q｝是一個頻率集，f1＜f2＜…＜f q，x＝（x0，x1，…，x N－1）是F中長度為N的跳頻序列，D是一個給定的整數，如果

則稱x是一個寬間隔跳頻序列，并且把滿足（39）式最小的D稱為x的最小間隔.

2019年，Li等［37］首次得到了具有低碰撞區的寬間隔跳頻序列集部分漢明相關的理論界.

定理5.1（Li-Fan-Yang界）［37］設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的寬間隔跳頻序列構成的集合，部分漢明相關窗長度為L（1≤L≤N），LPHZ為S的周期部分漢明相關低碰撞區，令

那么

在定理5.1中，令部分漢明相關窗長度為L＝N，則跳頻序列集S的周期部分漢明相關低碰撞區LPHZ即成為序列集S的周期漢明相關低碰撞區LHZ，可以直接得到具有低碰撞區的寬間隔跳頻序列集周期漢明相關的理論界.

推論5.2設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的寬間隔跳頻序列構成的集合，LHZ為跳頻序列集S的周期漢明相關低碰撞區，令

那么

在定理5.1中，令跳頻序列集S的周期部分漢明相關低碰撞區LPHZ＝N－1，則直接導出寬間隔跳頻序列集周期部分漢明相關的理論界.

推論5.2設F是一個頻率集，其元素個數為q，S是由F中M個長度為N的寬間隔跳頻序列構成的集合，部分漢明相關窗長度為L（1≤L≤N），令

那么

在推論5.2中令跳頻序列集S的部分漢明相關窗長度為L＝N，則直接導出寬間隔跳頻序列集周期漢明相關的理論界.

推論5.3設F是一個頻率集，元素個數為q，S是由F中M個長度為N的寬間隔跳頻序列構成的集合，令

那么

特別地，在（52）式中，令M＝1，得到一個長度為N的寬間隔跳頻序列最大漢明自相關的理論界，那么

其中r＝Nmodq.

6 結論

跳頻序列一直是擴頻通信領域的基礎理論研究課題.跳頻序列理論包括理論界與序列設計2個方面.長期以來，跳頻序列設計的研究成果很豐富，但跳頻序列理論界的研究結果不多.直到本世紀初，我國學者提出了“低碰撞區跳頻序列”的概念，并建立了相應的研究方法，為跳頻序列的研究開創了一個新方向.從此開始，在國內外掀起了一股跳頻序列的研究熱潮，許多學者從事跳頻序列理論的研究，大量研究成果被報道.文獻［5］全面論述了常規跳頻序列理論界的研究成果.本文完整地系統地闡述具有低碰撞區的跳頻序列理論界的研究成果.可以看到，低碰撞區跳頻序列理論界不但包含常規跳頻序列理論界作為特例，而且得到了一些新的更緊的常規跳頻序列理論界.

關于低碰撞區跳頻序列設計的研究成果，將另外撰文論述.