基于彩虹技術的霧化液滴群粒徑分布測量

方 興，王大林，張 彪，許傳龍，李 健

(1.浙江省空氣動力裝備技術重點實驗室，浙江 衢州 324000;2.北京航天自動控制研究所，北京 100854;3.火電機組振動國家工程研究中心(東南大學)，江蘇 南京 210096)

霧化是將連續相流體破碎成微小液滴的過程，目前已廣泛地應用于化工、動力、能源、環境、輕工、農業等領域。霧化液滴的參數對產品質量、生產效率、環境污染控制等各方面都有著重大的影響[1-3]。如汽輪機中的液滴會對葉片造成水蝕和損傷，對機組的運行可靠性和使用壽命有著較大的影響[4]。在農藥噴灑中，液滴過量會產生浪費和環境污染，不足則會引起作物的病蟲害[5]。在動力設備的燃油霧化燃燒過程中，若油滴粒徑過大，則會導致燃燒不完全，從而降低了設備的熱效率，并增加了污染物的排放[6]。

目前，各種用于計算和預測霧化液滴粒徑等過程參數的理論模型，廣泛地應用于各個領域。與此同時，通過各種實驗測量手段，對各理論模型進行驗證也是不可或缺的一個環節[7]。因此長期以來，液滴測量技術的研究及在線儀器的開發，在工業生產各部門越來越受到重視，并逐步發展為現代測量學中一個重要分支[8]。光學測量技術作為測量領域的重要分支，長期以來被眾多專家學者深入研究，各種光學測量技術不斷地被提出[9]。上世紀80年代誕生的彩虹技術是一種基于光散射原理的液滴參數測量技術，其優點為非接觸、實時快速、測量精度高、自動化程度高等[10]。

本文基于彩虹技術，對霧化液滴群的粒徑分布測量分別進行了數值模擬和實驗研究。在數值模擬中，利用Nussenzveig理論建立正向求解模型，通過Mie理論計算獲得的霧化液滴群彩虹光強角分布作為測量值，分別利用截斷奇異值法和量子微粒群算法反演了液滴群粒徑的單峰及雙峰分布，并考察了測量誤差的影響，最后設計搭建了霧化液滴群彩虹測量系統實驗臺，利用量子微粒群算法反演了霧化液滴群的粒徑分布。

1 彩虹散射原理

1.1 幾何光學理論

圖1 液滴彩虹光強角分布示意圖

自然界中常見的彩虹主要是由入射光在液滴內經歷一次內反射后，形成的散射光，即n=2。根據幾何光學的原理可以得出，一階幾何彩虹散射角公式[11]

θ=π-4β+2α

(1)

sinα=m·sinβ

(2)

由上式可見，一階幾何彩虹散射角與入射角及液滴的相對折射率有關，在一階幾何彩虹散射角附近，有大量密集的光線被一次內反射后折射出射，一階彩虹的光強主峰位于一階幾何彩虹散射角附近，代入純水的折射率m=1.33，得到一階幾何彩虹散射角的大致范圍為138°～140°之間。

1.2 Mie理論

麥克斯韋電磁波理論誕生后，彩虹散射光強分布的計算可等同為一個計算電磁平面波被一均勻球體散射的問題。利用光的電磁波性質，可應用麥克斯韋方程對散射顆粒形成邊界條件，求得振幅函數和散射函數，從而得到關于粒子散射的全面嚴格的數學解。Mie理論給出了均勻平面電磁波被球形均勻介質散射的精確描述，其中包含了各種散射光線對散射場的貢獻。利用Mie理論計算得到垂直于散射面和平行于散射面的光強分別為[12]

(3)

(4)

式中I0——入射光強大小;

S1(θ)和S2(θ)——散射光振幅函數，其表達式為

(5)

(6)

(7)

(8)

式中an和bn——Mie系數;

πn和τn——角度系數;

ψn(x)和ξn(x)——半奇階的第一類Bessel函數和第二類Hankel函數;

1.3 Nussenzveig理論

Nussenzveig理論又稱為復角動量理論，是由Nussenzveig于1969年提出的，它是一種對球形顆粒的散射光強分布進行數學描述的一種散射理論。Nussenzveig理論引入各種近似解析求解來取代無窮級數的計算過程，由此可以顯著地減少散射光強分布的計算量。為了描述的一階彩虹的峰值，Nussenzveig通過分析一致逼近的角度范圍，限制了接近和遠離彩虹的角域范圍，從而得出在外表面直接反射的光線和經一次內反射的散射光線分別對一階彩虹光強分布的貢獻[13]

f0=-d·exp[-2i·x·sin(θ/2)]·

(9)

(10)

式中f0和f2——n=0和n=2時的彩虹光強;

e——相對散射角,e=θ-θrg;

θrg——一階幾何彩虹角;

d——液滴的直徑;

A、B、C、c、s——僅有折射率決定的系數。

2 反問題模型

2.1 截斷奇異值分解(TSVD)

對矩陣A進行奇異值分解[14]

(11)

式中 左奇異向量ui和右奇異向量vi——矩陣U∈Rm×m和V∈Rn×n的正交列向量，奇異值σi滿足σ1≥σ2≥…≥σm。從而有

(12)

由于小的奇異值會對誤差進行放大，因此必須對其截斷，即所謂的TSVD

(13)

其中，k起到截斷奇異值的作用。

2.2 量子微粒群算法(QPSO)

量子微粒群算法是由Sun在2004年首次提出[15]。量子微粒群算法將PSO系統看成是一個量子系統，每個粒子具有量子行為，量子的狀態由波函數ψ決定，|ψ|2為粒子的位置Xi=(xi1,xi2,…,xij,…,xiN)的概率密度。在第t次迭代中，粒子i在N維搜索空間內以粒子的局部吸引因子Qi=(qi1,qi2,…,qij,…,qiN)為中心在領域內搜索。

用蒙特卡洛法模擬后，位置Xi=(xi1,xi2,…,xij,…,xiN)可由下式表示

(14)

(15)

Lij=2α|pm,j-xij|

(16)

(17)

式中R、R1和R2——[0,1]區間內服從均勻分布的隨機數;

C1和C2——加速系數;

pij——粒子i的個體歷史最優位置在第j維上的坐標;

pg,j——群體歷史最優位置在第j維上的坐標;

α——吸引擴散系數，在α<1.781時可以保證量子微粒群的全局收斂。

3 結果與討論

3.1 液滴群粒徑分布測量的數值模擬

為了驗證Nussenzveig理論的計算精度，以單個液滴為例，假設液滴粒徑d=100 μm，折射率為m=1.33，激光的入射波長為λ=0.532 μm。Nussenzveig理論只計算n=0和n=2時的液滴彩虹散射光在135°～142°內的光強角分布，計算結果如圖2所示。從圖中可以看出Nussenzveig理論由于引入了部分近似，導致計算結果有一定的誤差，但是它仍然能夠體現出液滴彩虹低頻的Supernumerary結構和高頻的Ripple結構，它的絕對平均誤差為0.047。Nussenzveig理論的計算效率約為Mie理論的60倍，而且這個效率差距隨著粒徑的增大有更明顯的增加。因此，Nussenzveig理論在霧化液滴群粒徑分布的反演中適合作為彩虹散射光強的求解模型。

圖2 Nussenzveig理論計算結果驗證

當激光照射液滴群時，忽略液滴之間的多次反射，假設單個液滴形成的彩虹能夠簡單線性疊加，則一階全場彩虹的表達式為

(18)

式中Ig——全場彩虹光強;

I——直徑為di的單個液滴彩虹光強;

f(di)——粒徑為di的液滴體積頻率密度;

Δdi——粒徑為di的區間寬度。

假設一個粒徑服從單峰對數正態分布的液滴群，其分布函數關系式如下式所示，它的粒徑范圍為0～400 μm，液滴折射率為m=1.33，激光的入射波長為λ=0.532 μm，將液滴群粒徑分成40個均勻的子區間，利用Mie理論計算液滴群的一階彩虹光強角分布作為測量值，Nussenzveig理論作為正向求解模型，分別通過量子微粒群算法在非獨立模式下和截斷奇異值分解法在獨立模式下反演了液滴群的粒徑分布，反演結果如圖3所示

圖3 無測量誤差時單峰對數正態分布反演結果

(19)

從圖中可以看出，兩種算法粒徑分布的反演結果基本反映了真實分布的主峰位置和分散寬度，但QPSO算法的精度要更高，且TSVD算法在小粒徑部分的反演結果出現的了震蕩，且存在粒徑頻率密度為負值的現象。

通常測量時會含有一定的測量誤差，為了驗證TSVD和QPSO算法的抗噪能力，在Mie理論的計算結果上加上10%的隨機誤差，它們的反演結果如圖4所示。從圖中可以看出，QPSO算法仍然具有較好的反演效果，而TSVD算法已經基本失真，說明QPSO算法具有比較高的抗噪性能。

圖4 含10%測量誤差時單峰對數正態分布反演結果

假設一個粒徑服從雙峰對數正態分布的液滴群，其分布函數關系式如式(20)所示，它的粒徑范圍為0～400μm，其他粒徑參數和實驗條件同單峰分布。分別通過TSVD和QPSO算法反演液滴群的粒徑分布，結果如圖5所示。從圖中可以看出，QPSO算法粒徑分布的反演結果基本反映了真實分布的主峰位置和分散寬度，TSVD算法也反映了主峰位置和分散寬度，但是精度明顯較差，且同樣在小粒徑部分出現了震蕩和負值。

圖5 無測量誤差時雙峰對數正態分布反演結果

(20)

3.2 液滴群粒徑分布測量的實驗研究

為了對基于彩虹技術的反演算法進行實驗研究，本文設計搭建了霧化液滴群粒徑分布測量實驗系統，如圖6所示。系統主要包括噴霧發生器和光學平臺以及布置于其上的光學支架、激光器、平面鏡、接收透鏡組、CCD相機等。激光器(波長0.532 μm、功率14 μW)發出的平行光經平面鏡反射后，照射到噴霧發生器產生的液滴群后發出散射光線。平面鏡被安裝在帶有角度刻度的可旋轉底座上，主要作用為調節被測對象的入射光與接收透鏡組、CCD相機所在滑軌的夾角，從而調整CCD相機拍攝不同折射率液滴時的散射角域。接收透鏡組主要用于匯聚被測對象發出的散射光線，使其能被CCD相機接收。線陣CCD相機的分辨率為2 048×100像素，每個像元的大小為14×14 μm，具有12位數據輸出精度，最大線掃描率為68.5 kHz。

圖6 霧化液滴群彩虹測量系統圖

由于彩虹測量技術中，需要獲取彩虹的光強角分布，因此在測量之前需要對CCD像素和散射角度之間做一個對應的標定實驗。保持平面鏡位置和角度不動，在噴霧處安裝一個帶旋轉底座的平面鏡，通過旋轉平面鏡將激光光斑在CCD上的成像從左側移動到右側，記錄其中等刻度的6組角度位置，從照片上找到相應的光斑成像像素中心，線性擬合得到CCD像素編號與散射光線角度的如下函數

θ=0.004 3×np+136.822 0

(21)

保持壓力打開噴霧發生器，待噴霧穩定后利用線陣CCD相機采集，液滴群的一階彩虹圖像，如圖7所示，從圖中可以看出相機獲得了明顯的具有明亮相間的彩虹條紋，相比較單液滴或液柱的彩虹來說，液滴群的彩虹不是很整齊。

圖7 霧化液滴群彩虹圖像

由于彩虹不是很整齊，這里取中間一層像素的彩虹圖像灰度值進行歸一化，根據像素和散射角的擬合公式，得到霧化液滴群彩虹光強角分布曲線，如圖8所示。利用實驗采集得到的液滴群彩虹光強角分布通過量子微粒群算法反演了液滴群的粒徑分布，如圖9所示，反演的殘差為6.7×10-3，說明量子微粒群算法具有良好的精度，本系統的噴霧發生器所產生的霧化液滴中心粒徑為68.146 μm，分散系數為31.243。

圖8 彩虹光強角分布曲線

圖9 霧化液滴群粒徑分布反演結果

4 結論

本文利用彩虹現象對霧化液滴群的粒徑分布測量分別進行了數值模擬和實驗研究，得到如下結論：

(1)對比了Mie理論與Nussenzveig理論對純水液滴群彩虹光強角分布的計算，它們吻合的很好，但Nussenzveig理論的計算效率要遠遠大于Mie理論，因此在后續反演中利用Nussenzveig理論建立了霧化液滴群的彩虹散射光強求解模型；

(2)分別利用TSVD和QPSO算法在獨立和非獨立模式下反演了液滴群的粒徑分布，對于單峰分布而言它們都具有較好的反演效果，但是當增大測量誤差時QPSO算法表現了更高的抗噪性，而且它對雙峰分布的反演也具有很高的精度；

(3)設計搭建了霧化液滴群彩虹測量系統實驗臺，利用量子微粒群算法反演獲得霧化液滴群的粒徑分布，實驗中量子微粒群算法反演殘差為6.7×10-3，表明測量結果具有良好的精度。