基于螺旋理論的管道蠕動并聯機構的奇異性研究

朱錦翊，張春燕，盧晨暉

（上海工程技術大學機械與汽車工程學院,上海 201620）

機構奇異位形通常指機構失穩、其運動學及動力學性能發生瞬時突變或傳遞運動及動力的能力失常時機構的位形［1］。多年來許多學者對機構奇異進行了大量研究，其中典型的研究方法有Gosselin等［2］提出的基于機構輸入輸出速度的分析法、Kumar［3］提出的基于對偶螺旋的概念法、Ma 等［4］提出的機構特征法和Collins 等［5］提出的代數法。另外，針對不同類型的并聯機構，Joshi等［6］討論了少自由度并聯機構的雅可比矩陣，并分析了3-RPS 和3-UPU 機構的奇異位形；Wu等［7］提出了可以避免密集的雅可比矩陣計算和方程求解的方法來得到機構奇異位形。上述的分析方法普遍基于代數理論對機構奇異位形進行分類和定義，或基于機構的一些特殊性質對其奇異位形進行求解。由于代數法自身的復雜性及機構的多樣性，有些學者采用空間幾何解析方法來快速分析機構奇異位形。如：Merlet［8］在并聯機構研究中引入線幾何法；Zhang等［9］采用線幾何法來分析3-RSR多模式移動并聯機構在運動過程中的奇異問題；Alamdar等［10］提出在不求解運動學方程的基礎上采用幾何解析方法求解5R球形并聯機構的奇異位形。

輸流或傳質管道是工農業生產中重要的物質輸送工具，近年來得到大量應用。輸送管道在使用過程中會產生管道堵塞、管道泄漏等問題，需要配套的巡檢和清理裝備［11］。管道機器人正是隨著輸送管道的大量應用而得以快速推廣和應用的。研發性能優良的管道機器人具有工程迫切性［12］。本文提出一種可在管道內進行監測和探傷的管道蠕動并聯機構，并研究其在移動過程中的奇異問題。奇異是機構的固有特性，處于奇異位置的機構的運動與力學特性均會改變［13］，因此分析機構尤其是移動機構的奇異性具有重要意義［14］。并且，管道蠕動并聯機構在結構及蠕動方式上的特殊性使得其一旦發生奇異就會使管道和機構本身不可避免地受到損傷和破壞，尤其是在彎管中，奇異可能會導致機構堵塞或卡死在管道內。因此，采取措施預防機構在管道內移動時發生奇異是十分必要的。由于管道蠕動并聯機構在移動過程中的雅可比矩陣十分復雜且求解效率較低，用代數方法求解并不適合。故本文主要通過螺旋理論結合線幾何方法，在Fang 等［15］提出的奇異分類的基礎上提出并聯機構在移動過程中的奇異分析方法。首先分析機構自身支鏈間的關系，得到其相應的奇異幾何關系，再進一步分析機構在移動時發生奇異的約束情況，從而得出相應的機構奇異位形和奇異軌跡，以期為后續機構軌跡的規劃提供參考，為樣機制作提供理論依據。

1 管道蠕動并聯機構的工作原理

本文提出的可折展的管道蠕動并聯機構的結構和結構簡圖分別如圖1 和圖2 所示。其中：機器人主體為3-（P）URU（P）并聯機構，3 根連桿通過3 個移動副P 連接成自由度為1 的等邊三角形，構成并聯機構的上下平臺。3 條URU 支鏈分別通過兩等邊三角形頂點對稱相連，形成一個上下結構對稱的3-URU 并聯機構，其中連接支鏈與平臺的是2 個其軸線相互垂直的U 副。6 個驅動電機分別安裝在與上下平臺平行的UB，i2、UA，i2軸線上，通過對電機的協調控制，可實現上平臺（或下平臺）在X、Y向的轉動和Z向的移動共3 個自由度的運動，從而實現動平臺位姿的變化。調節上下平臺內的移動副可改變平臺的大小。機構整體為具有5 個自由度的3-（P）URU（P）并聯機構。

圖1 管道蠕動并聯機構的結構Fig.1 Structure of pipeline creeping parallel mechanism

圖2 管道蠕動并聯機構的結構簡圖Fig.2 Schematic diagram of pipeline creeping parallel mechanism

機構在管道內工作時，通過上下平臺的縮放，使平臺頂點交替與管道內壁接觸從而實現機構的蠕動。其蠕動過程如圖3 所示。其中：坐標系O-XYZ的原點O為下平臺的中心點，X向平行于A1A3，Y向指向A2點，Z向由右手定則確定。上下平臺通過移動副放大尺寸并與管道內壁接觸，利用摩擦力使接觸平臺成為定平臺，則另一平臺利用移動副縮小后成為動平臺；確定動定平臺后，機構的蠕動則依靠支鏈的運動。驅動定平臺一側的電機使得動平臺實現沿X、Y向的轉動和沿Z向的移動，因此可以滿足機構在管道內蠕動的自由度變化的要求［16］。

圖3 管道蠕動并聯機構的蠕動過程Fig.3 Creeping process of pipeline creeping parallel mechanism

機構的奇異性會對其蠕動過程造成重要影響，故須分析該機構在蠕動過程中的奇異性問題。機構的奇異主要是由于受到了支鏈的約束影響且在一次運動周期中動定平臺發生了轉換，為此須先分析3-（P）URU（P）機構自身支鏈產生奇異時的幾何關系，再分析機構在管道內蠕動時的奇異性。

2 并聯機構奇異分析流程

并聯機構的奇異可分為支鏈奇異、約束奇異和驅動奇異［15］。通常在機構工作空間內部發生約束奇異或驅動奇異，且其對機構的運動性能產生較大的影響，而支鏈奇異一般發生在機構工作空間的邊界區域，對其運動性能影響較?。?7］。若機構運動情況特殊，則支鏈奇異造成的影響并不可忽略。

2.1 支鏈奇異

建立機構支鏈i的運動螺旋系{$i}，并將其轉化為矩陣形式Ai，即：

式中：n為支鏈i中運動螺旋的個數。

Ai降秩時，支鏈運動螺旋間線性相關，此時支鏈間的幾何關系導致機構自由度減少，機構發生支鏈奇異［18］。

2.2 約束奇異

根據螺旋理論得出機構支鏈i的所有運動螺旋系{$i}，運用互易積運算求出支鏈i的約束螺旋系{$ri}，則機構所有的約束螺旋系構成機構的約束雅可比矩陣Jr，即：

式中：t為支鏈i的約束螺旋個數。

Jr降秩時，約束螺旋間線性相關，動平臺的約束減少，此時支鏈間的幾何關系導致機構自由度增多，機構發生約束奇異［19］。

2.3 驅動奇異

Jq降秩時，支鏈間的幾何關系導致機構仍存在自由度，機構發生驅動奇異［20］。

由Jr與Jq組合可得機構的完整雅可比矩陣J［9］：

綜上可知，并聯機構在移動過程中的奇異分析流程如圖4所示。

3 3-(P)URU(P)并聯機構奇異位形分析

3-（P）URU（P）關聯機構動平臺的自由度主要由URU支鏈決定，上下平臺的P副只改變平臺的大小，對機構的約束沒有影響。分析機構奇異位形時先分析3條支鏈間的幾何關系。并聯機構在管道內的蠕動是一個連續過程，即使在蠕動剛開始時機構奇異對其運動性能影響較小，但在后續的蠕動中該影響會累加，因此須分析機構的3種奇異位形。

3.1 支鏈奇異位形分析

3-（P）URU（P）機構的支鏈螺旋如圖5 所示。建立支鏈坐標系oi-xiyizi，支鏈軸線交匯點為原點oi，xi向平行于$i2軸線方向，zi向為$i1軸線方向，yi向按右手定則選取。

機構支鏈運動螺旋系為：

圖4 并聯機構奇異分析流程Fig.4 Singularity analysis process of parallel mechanism

圖5 3-(P)URU(P)并聯機構支鏈螺旋示意Fig.5 Schematic diagram of branched chain helix of 3-(P)URU(P)parallel mechanism

式中：b2、b3、b4、c3、c4、m5、n5為不等于0的螺旋參數。

URU 支鏈軸線上的特殊性導致式（5）中第4 列元素全部為零，所以Ai就簡化為5×5 的矩陣M，其秩r(Ai)的變化就可以通過detM來求解。

則：

根據式（7），可知detM=0有2種情況。

情況1：當m5=0時，$i5=( 0 0n5；0 0 0 )，可以看出$i1與$i5線性相關，支鏈幾何關系為$i1與$i5的軸線重合，如圖6（a）所示。

圖6 3-(P)URU(P)并聯機構支鏈奇異位形Fig.6 Branch chain singularity configuration of 3-(P)URU(P)parallel mechanism

3.2 約束奇異位形分析

以機構定平臺為下平臺、動平臺為上平臺為例分析機構約束奇異位形。機構約束力方向為圖7中約束螺旋方向，代表支鏈i所受的約束力，平面S為約束力平面。根據式（2）建立機構的約束雅可比矩陣：

圖7 3-(P)URU(P)并聯機構各支鏈約束螺旋Fig.7 Constraint screw of each branch chain of 3-(P)URU(P)parallel mechanism

由螺旋理論可知，3條力線矢只有共軸或共面交匯或共面平行時才線性相關［21］，如圖8所示。而機構的$ri1一旦發生線性相關，Jr一定發生降秩，此時機構支鏈間的幾何關系如圖9所示。

圖8 3條力線矢線性相關的幾何條件Fig.8 Geometric conditions for linear correlation of three force line vectors

圖9 3-(P)URU(P)并聯機構約束奇異位形Fig.9 Constraint singular configuration of 3-(P)URU(P) parallel mechanism

3.3 驅動奇異分析

如上所述，鋼化支鏈i的驅動副$i2。鋼化后機構支鏈約束如圖10所示。

圖10 鋼化后支鏈約束Fig.10 Branch chain constraint after toughening

如圖10所示，設驅動副的輸入角度為θi，連桿長度為d，則支鏈運動螺旋系為：

約束螺旋系為：

一旦Jq降秩，則會發生驅動奇異。根據式（8），可得機構6×6的完整雅可比矩陣J：

由螺旋的空間幾何性質可得機構雅可比矩陣中螺旋空間位置，如圖11所示。由此可得Jq中所有約束螺旋的空間位置，如圖12所示，表明各螺旋的方向均垂直于約束力平面S，其相互平行。

圖11 螺旋的空間位置Fig.11 Spatial position of the screw

圖12 約束螺旋$r,2i 的空間位置Fig.12 Space position of constraint screw

由螺旋理論可知［22］，此時最大線性無關組數為3。對機構而言，X、Y方向的轉動和Z方向的移動都受到限制。Jq不存在降秩情況，機構支鏈不存在發生驅動奇異的位置關系。

4 3-(P)URU(P)并聯機構在管道蠕動過程中的奇異分析

3-（P）URU（P）并聯機構在管道內的一次蠕動通過交替放大、縮小動定平臺，用其頂點與管道內壁接觸產生的摩擦力將定平臺固定，動平臺在3條支鏈的共同驅動下向前運動而得以實現。其中動定平臺發生了1次轉換，轉換后其自身結構沒有發生變化，動平臺的移動依然由在定平臺一側的電機驅動，機構支鏈間的奇異性質沒有隨著平臺的轉換而發生變化，機構依然等效為3-URU并聯機構，驅動副在定平臺上。

機構在蠕動過程中的奇異情況會隨著管道環境的不同而不同，因此分在直管和彎管內蠕動兩種情況分析機構的奇異位形。建立3-（P）URU（P）并聯機構的結構示意圖，如圖13 所示。其中：K為A2A3的中點，B為上平臺的中心點；RA，RB分別為AA2、BB2的長度；Ai、Ci的坐標分別為(xAi，yAi，zAi)和(xCi，yCi，zCi)。

圖13 3-(P)URU(P)并聯機構的結構示意圖Fig.13 Schematic diagram of the structure of 3-(P)URU(P)parallel mechanism

4.1 機構在彎管內蠕動

當機構在彎管內蠕動時，協調控制定平臺一側的電機，使得動平臺中心點可有效地沿彎管中心軸線移動。在機構蠕動過程中動平臺位姿發生變化，而且由于彎管存在X、Y兩個方向的空間變化，機構在沿彎管中心軸線移動時只可能發生支鏈奇異。其奇異位形如圖14所示。

由上述分析可得，當機構支鏈位形如圖6（a）所示而Jr降秩時，支鏈運動的反螺旋系為式（13），其奇異位形如圖14（a）所示。

按照圖6（a）所示的幾何約束，則圖13 中A1、C1、B1三點形成一條直線。動平臺中心B所能形成的幾何約束方程是以B1為球心、半徑為RB的球面f(B1，RB)與動平面SB1B2B3相交所得的方程f（B1）。依據d、RB和θ1=60°可得B1的坐標。A1A′1為SB1B2B3的法向量，A1的坐標已知，A1在SB1B2B3上的投影點A′1可通過式（14）求得。在得知A′1坐標后，可求得平面方程f(B1，B2，B3)。

圖14 機構在彎管內蠕動時的支鏈奇異位形Fig.14 Branched chain singular configuration of mechanism creeping in elbow

式中：n為平面SA1B1K的法向量。

由此可得f（B1）的方程式，結合式（16），求解f(B1)即得此時機構奇異位形的奇異軌跡。

當機構支鏈位形如圖6（b）所示而Jr降秩時，支鏈運動的反螺旋系為式（17），其奇異位形如圖14（b）所示。

按照圖6（b）所示的幾何約束，則圖13中A1、B1兩點重合，而由于2個U副的間隙導致只能$2與$4重合。動平臺中心B所能形成的幾何約束方程是以B1為球心、半徑為RB的球面f(B1，RB)與平面SA1B1K相交所得的方程f(B2)。已知Ai的坐標且SA1B1K為過A1的中垂面，得平面SA1B1K的方程f(A1，B1，K)。由此可得f(B2)的方程式，結合式（19），求解f(B2)即得此時機構奇異位形的奇異軌跡。

式中：T1、T2、T3分別為RA、RB、d的任意值。

由式（13）和式（17）可知，在該支鏈奇異下，支鏈對動平臺的約束增加，機構的自由度將減少。機構在彎管內蠕動時，一旦平臺處于上述奇異位形，則彎管轉向與奇異所增加的約束一致會導致機構處于卡死位置，極大影響機構后續的蠕動。

4.2 機構在直管內蠕動

當機構在直管內蠕動時，同步驅動定平臺一側的電機，使得動平臺可以沿直管方向移動。同理，在確定動定平臺后機構在蠕動過程中同樣存在奇異問題，會影響后續的蠕動。由于機構在直管內運動，其在X，Y方向都將受到約束，因此不會發生支鏈奇異，只可能發生約束奇異。其約束奇異位形如圖15所示。

圖15 機構在直管內蠕動時的約束奇異位形Fig.15 Constrained singular configuration of mechanism creeping in straight pipe

按照圖9所示的幾何約束，則圖13中C1、C2、C3三點重合為一點Q。已知|AiBi|=|BiCi|，可得如下約束方程：

d已知，則Ci點坐標就能確定，且Ci點坐標就是Q點坐標，代入式（16）得其幾何約束方程f（B3）。結合式（22），求解f(B3)即得此時機構奇異位形的奇異軌跡。根據尺寸條件，可求得輸入角度θi=arccos。

4.3 奇異軌跡仿真

圖16 機構在工作空間內的3種奇異軌跡Fig.16 Three kinds of singular trajectories in mechanism workspace

當機構在彎管中發生支鏈奇異時，盡管由式（15）和式（18）可知奇異軌跡呈圓形，但是受到式（16）和式（19）所示的尺寸約束限制，其軌跡只能為圓的一部分，即為弧線，如圖16 中處于工作空間邊緣的f（B1）、f（B2）方程軌跡。當機構在直管中發生約束奇異時，圖7中原先轉化為一個垂直于約束平面的約束力偶和2個約束力［23］會發生變化，此時機構的約束力偶會消失，機構將增加一個沿Z向轉動的自由度，并產生繞X、Y、Z三個方向的轉動，導致機構動平臺中心會形成球面軌跡，即圖16 中f（B3）方程軌跡，其處于工作空間的中心位置。

5 結 論

1）依據螺旋理論，提出了一種管道蠕動并聯機構的奇異分析方法，并將此方法應用于3-（P）URU（P）并聯機構的奇異分析中。分析了機構支鏈間的約束關系，求解了支鏈矩陣的行列式，從而得到2種矩陣降秩情況，依此得到了機構支鏈奇異的2種幾何位置關系。

2）根據所提出的方法，建立了機構約束雅可比矩陣Jr，并通過線幾何的相關性得到發生約束奇異的一種機構幾何位形。建立機構驅動雅可比矩陣Jq，并通過分析得出Jq不會降秩，該機構支鏈不存在發生驅動奇異的幾何位形。依據Jr和Jq建立了該移動機構螺旋形式的完整雅可比矩陣J。

3）在分析了機構支鏈存在的奇異幾何位形后，結合其在管道內的蠕動過程，分析了在蠕動過程中機構的奇異問題。判斷出機構在彎管內會發生支鏈奇異，而在直管內會發生約束奇異，并根據幾何約束關系求得奇異約束方程及其軌跡。支鏈奇異軌跡為位于工作空間邊緣的弧線，支鏈奇異會導致機構自由度減少，如果位置特殊，會導致機構卡死。約束奇異軌跡為位于機構工作中心的球面，會導致機構蠕動的不確定性，也須避免。研究為后續機構在管道中蠕動步態的規劃奠定了理論基礎。