分類討論思想在高中數學解題中的應用

吳愛民

【摘要】隨著新課程改革工作的不斷推進，高中數學教學也開始進入到全面調整階段，原本的教學理念無法滿足當前數學學科的教學需求，需要引入更加先進的教學思想.分類討論思想是高中數學解題主要運用的思想之一，其不僅能夠以分類方式將原本復雜的問題梳理開，也能讓學生的邏輯思維能力得到鍛煉.本文就分類討論思想在高中數學解題中的應用展開研究，首先明確分類討論思想的應用價值，然后對其進行標準劃分，最后闡述具體的應用過程.

【關鍵詞】分類討論思想;高中數學;解題

引言

高中階段的數學知識抽象且復雜，充分展現出數學學科的系統性和科學性，新課標要求學生具備扎實的數學基礎知識，并掌握多種數學能力.而學生如果在學習數學知識時沒有學習新的解題思想，那么必然會在學習過程中感到解題困難，甚至會出現理解偏差的情況.為提升學生的數學綜合能力，教師需要鍛煉學生的解題思維，將分類討論思想引入數學解題過程當中，使學生靈活運用數學解題方法，快速解決數學問題，并提升解題準確率.

一、分類討論思想在高中數學解題中的應用價值

分類討論思想是對特定題型出現的不同情況，分不同的條件討論，從而得到結論的一種思想，即當該題目無法在唯一情況下討論時，就應根據某種標準對該題目進行人為的劃分，然后分別對各部分進行解答，最后綜合解題過程得到答案.例如，函數、數列、幾何等的題目，只從某一方面思考不能得到完整答案，這就要求學生根據題目進行分類論證.這實質上是邏輯分類的思想，是一種“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學戰略，體現了學生對數學問題的理解和解決能力.在解題過程中，我們僅須抓住主要的問題因素，然后再確定變化的條件范圍和問題發展的方向，就能根據不同情況進行分類，運用不同的解題技巧分類討論.在運用分類理念的過程中，學生樹立了分類的意識，明確了如何進行分類研究，并對分類結果進行整合分析.運用分類思維解高中數學問題，可以不斷地提高學生們的邏輯思考能力.高中階段的數學知識內容較抽象，因此解題的難度會增大，但只要學生在解題時能夠利用分類思想，把握數學問題的發展方向，就可以提高解題的效率，提高答案正確率.

二、分類討論思想的劃分標準

分類討論思想在高中數學解題中的應用不斷增多，為我們更加快速而準確的解答數學習題創造了良好的條件.因此我們需要對分類思想類型進行準確詳細劃分，這樣才能更好地應用分類討論思想.首先，按照數學的概念知識進行科學合理的劃分，很多知識內容都是按照分類思想定義的.其次，按照運算法則、定理、公式等進行劃分.最后，按照圖形位置進行合理劃分.在圖形習題的解題中，應用分類討論思想比較多，比如函數圖像和立體幾何等.

三、分類討論思想在高中數學解題中的具體應用

（一）分類討論思想在高中函數解題中的應用

函數問題一直都是高考當中的重要考查點，不管是在選擇題部分還是填空題部分都有和函數相關的題目.但函數本身知識概念繁雜，且抽象邏輯性也比較強，很多學生剛接觸函數知識的時候就感覺恐懼，導致對課堂上學習到的函數知識理解并不透徹，在后續解答函數題目的時候也會耗費大量時間.長期處于這種學習狀態下，學生會逐漸喪失學習函數知識的自信心，即便是耗費大量的時間和精力記憶了函數的知識概念，但在解函數題的時候依然無法從容運用知識點，在無法掌握解題技巧的情況下，總是混淆函數的各類概念.學生學習函數知識，不僅要區分函數的基本形式，也需要在掌握函數概念的情況下區分不同類別的函數題目.教師在教學過程中要滲透分類討論思想，并引導學生形成該種解題思想，使學生在遭遇函數問題的時候，能夠想到采用分類討論思想解答問題.從而，學生的數學解題思維更加豐富，更具備數學學科的特性.分類討論思想能夠幫助學生在學習過程中提升解題效率，改善學習心態，并在考試當中獲取更好的成績.為此，本文討論具體的函數案例，將分類討論思想運用到函數當中，體現分類討論思想對解函數題的作用.

例如，如果a是實數，函數f（x）=x2+x-a+1，x∈R，根據上述函數條件，求函數f（x）的最小值.

應用分類討論思想，我們可以完成該題目求解，遵循下述解析步驟：當x

（二）分類討論思想在高中概率解題中的應用

函數知識是學生在高中時期需要重點學習的知識內容，除此之外，概率知識也是高中數學的重點內容，更是人們日常生活中會經常接觸的知識內容.概率主要是指隨機現象規律，屬于獨立的學科，但也納入數學學科當中.概率能夠促使人們秉承客觀思想認識世界，形成客觀思維，并在解決問題的時候采用科學的解題思路.高中階段我們所學習的概率知識主要是了解隨機現象和概率的意義，明確概率所具備的基本性質，并且在形成簡單概率模型的情況下，探究概率條件下的隨機現象，為統計學研究奠定了堅實理論基礎.在學習概率知識以后，學生能夠利用隨機模擬方法對簡單隨機事件進行概率計算.將分類討論思想運用到概率問題解答過程的主要目的是加深學生對概率性質的理解，讓學生了解隨機事件發生所具備的不確定性與頻率所具備的穩定性之間的聯系和差別.如此，學生才能夠真正意義上掌握概率的含義.在此之前，學生雖然感覺概率知識比較好學，但真正理解起來卻有些困難.而教師在教學過程中過于重視向學生灌輸知識，忽視了思想引導，導致學生雖然能夠記憶概率的知識概念，但無法靈活運用概率知識進行問題解答.學生需要教師根據分類討論思想進行引導，先從概率問題的本質著手，分析問題的概率類型，在明確已知條件以后，對概率題目中涉及的個數進行編號處理，并將編號按照特定的順序排列起來.此時學生可以根據自身所整理的數據進行可能性數值假設，最終得出概率的具體數值結論.

例如，教師為了夯實學生在概率的知識基礎，根據學生的學習水平和學習狀態，展示如下練習題：在區間[-3，3]，選取隨機數值x，并且要保證x+1-x-2≥1這個不等式成立，求概率.學生解答該問題的時候，并不知道該從哪個方面入手.在沒有掌握解題技巧的情況下，學生消耗大量時間厘清各類數值.但教師引導學生采用分類討論思想思考問題，讓學生按照如下思路進行解答：如果x<-1，則可以得出不等式-x-1+x-2≥1，此時不等式無解.如果-1≤x≤2，則可以得到不等式x+1+x-2≥1，此時可以得到1≤x≤2.如果x>2，則可以得出不等式為x+1-x+2≥1，不等式恒成立.綜上，我們可以明確x+1-x-2≥1的解集是[1，+∞）.通過上述過程，即得出要求解的概率，學生不僅捋順相關問題的解題思路，也在解題過程中也能鍛煉自身的思維能力.

（三）分類討論思想在高中數列解題中的應用

數列是高中數學的基本內容，處于知識交匯點的位置，與許多知識有著緊密的聯系，不僅能幫助我們深度復習方程的問題，還能回顧許多重要數學問題，如一次函數、二次函數的問題，等比性質等.數列在高中數學中占有非常重要的位置，數列問題可以鍛煉學生對數學問題的思考能力、分類能力和歸納能力，對以后數學的學習起到良好的促進作用.例如，在認識數列的過程中，教師將分類討論思想融入教學中，學生就可以動態地認識數列.在學習等差數列、求和最大值學習時，教師都可將分類討論思想融入其中，從而可以提高學生解題的效率，提高答案正確性.

結語

綜合上述分析，我們能夠明確在高中數學教學過程中需要梳理眾多知識難點，學生不能以死記硬背的方式學習知識，而是需要靈活運用知識的技巧，采用分類討論的方式將原本復雜煩瑣的題目轉化為簡單的解題過程.例如數列、函數等比較難以理解的抽象知識點，運用分類討論思想均能夠得到細化分解.教師帶領學生采用更加簡便的方式來解決數學問題，能夠促使學生靈活運用數學知識內容和方法技巧解答數學問題，從而提升學生的數學學習的興趣.

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