探究規(guī)律之美　感悟數(shù)形結合

蔣明玉

【設計理念】

對大腦的科研成果表明，大腦的兩半球具有不同的功能，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，講究規(guī)范嚴謹，穩(wěn)定封閉，如數(shù)的運算、代數(shù)式的運算、邏輯推理、歸納演繹等。右半腦功能則偏重于形象思維，講究直覺想象，自由發(fā)散，如猜想、假設、奇異創(chuàng)造等。左、右半腦的功能各有特征，如果互相補充就會使大腦功能更加健全和發(fā)達。數(shù)形結合就同時運用了左、右半腦的功能，在培養(yǎng)形象思維能力時，也促進了邏輯思維能力的發(fā)展。

從兒童思維特點來看，小學生的思維是從以具體形象思維為主要形式逐步向抽象邏輯思維過渡，但這時的邏輯思維是初步的，且在很大程度上仍具有具體形象性。通過數(shù)與形的有機結合，把形象思維與抽象思維有機地結合起來，能夠有的放矢地幫助學生多角度、多層次地思考問題，可以養(yǎng)成多向性思維的好習慣，甚至為學生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造條件。鑒于此，筆者嘗試開展了“數(shù)形結合找規(guī)律”的設計、教學與研究。

【教學目標】

1.讓學生在生動有趣的活動中觀察、尋找圖形的特點，結合圖形從不同的角度觀察得出不同的數(shù)學規(guī)律。

2.應用數(shù)形結合，訓練和培養(yǎng)學生數(shù)學直覺思維能力、發(fā)散思維能力和創(chuàng)造性思維能力。

3.通過以形助數(shù)的直觀生動性，體會數(shù)形結合，感受數(shù)學的規(guī)律美。

【教學過程】

一、欣賞廬山美景，利用古詩導入新課

教師先讓學生欣賞廬山的美景，邊看邊問。當學生看到了瀑布的美景時，問學生想到了哪兩句詩？（飛流直下三千尺，疑是銀河落九天。）接著繼續(xù)欣賞美景，還想到了哪首詩？蘇軾的《題西林壁》。蘇軾用哪兩句詩高度概括了廬山的美？（橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同。）

師：這兩句詩什么意思？

生：從不同的角度看廬山，廬山的模樣各不相同。

師：其實在數(shù)學學習中也是如此，對待同一個問題，如果從不同角度去觀察、去思考，得出的結論、規(guī)律也就不同。

師：廬山的美是高山、流水、瀑布、云霧、大樹等的美，是大自然的美。意大利數(shù)學家伽利略說：“數(shù)學總是美的，數(shù)學是美的科學。”數(shù)學的美指的是什么呢？帶著這個問題，我們開始今天的學習。

【設計意圖】從學生比較熟悉的古詩導入新課，非常簡明。以此遷移到數(shù)學學習中也要善于從不同角度觀察和思考問題，為后面新知的學習埋下伏筆。從“自然美”遷移到“數(shù)學美”，顯得大氣有力。

二、多角度觀察，多層次探究

1.探究從1起連續(xù)n個奇數(shù)的和

師（依次出示圖1、圖2、圖3）：分別說說這些圖是由幾個小圓點組成的。

師：想象一下圖4會是什么樣子的？一共有多少個圓點？

師：你是怎么想到圖4會有16個小圓點的？仔細觀察這組圖，你還有什么發(fā)現(xiàn)呢？

（學生暢談自己的發(fā)現(xiàn)）

師：同學們不僅能用一個數(shù)表示每幅圖的圓點數(shù)，而且還能用算式來表示這組圖的規(guī)律，真了不起。根據(jù)這個規(guī)律，想一想第5幅圖是怎樣的？一共有多少個圓點？第8幅圖呢？第100幅圖呢？第n幅圖呢？

師：通過剛才的觀察，我們發(fā)現(xiàn)每幅圖的圓點總數(shù)都可以看作是兩個相同的數(shù)相乘的積，這些算式還可以用平方數(shù)的形式來表示。那剛才我們是怎樣觀察的？

生：橫著觀察的。

師：像這樣的，我們稱為正方形數(shù)。

[教師板書2×2（22）、3×3（32）、4×4（42）]

師：剛才我們是橫著看這個圖形的，還可以怎么看呢？

生：豎著看。

（多數(shù)學生笑了，一樣的還是2個2、3個3、4個4）

生：斜著看。

師：斜著看，好主意。

（教師提供課件展示如下圖）

形成板書：

1+2+1=22

1+2+3+2+1=32

1+2+3+4+3+2+1=42

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：最中間那個數(shù)是幾，這樣一組數(shù)的和就是幾的平方。

師：能不能再換個角度來看這個圖形呢？

（學生再次沉默）

師：如果我們換個角度觀察，課件出示“ ”劃分的圖，要求每幅圖的圓點總數(shù)又可以列成怎樣的算式？

師：下面這些式子也是表示每幅圖圓點的總數(shù)，和剛才的算式一樣嗎？

1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42

師：仔細觀察這些等式，左邊的式子有什么特征？右邊呢？左右聯(lián)系起來看你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生：從1起連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個數(shù)的平方。

生：從1起連續(xù)n個奇數(shù)的和等于n的平方（n2）。

師：回顧剛才的3種觀察角度，橫著看、斜著看、拐一個直角看，你有什么體會？

生：橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同。

生：多種角度看圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律各不同。

師（小結）：剛才我們對于同一組圖，從不同角度觀察，找到了這么多不同的規(guī)律。同學們真了不起。老師想告訴大家，早在2500多年前，古希臘的數(shù)學家畢達哥拉斯就是借助這些小圓點去擺圖形，進而找到了這些有趣的規(guī)律。我覺得我們班的同學已經(jīng)超過了古希臘的數(shù)學家，已經(jīng)具有了未來數(shù)學家的風范。

師：我們再回憶一下，剛才我們是怎樣找到這些規(guī)律的？和什么結合起來找的？

（板書課題：數(shù)形結合找規(guī)律）

師：數(shù)形結合是一種特別重要的數(shù)學思想方法，希望同學們在以后的學習中經(jīng)常使用數(shù)形結合思想方法，幫助我們解決一些實際問題。

【設計意圖】數(shù)形結合思想方法之一是借助“形”的生動和直觀性認識“數(shù)”。通過觀察前3個圖，使得學生從整體上觀察圖形的圓點排列特點。然后，想象一下圖4會是什么樣子的，一共有多少個圓點，進而做出大膽的猜想、合理的假設，并得出試探性的結論，訓練了學生數(shù)學直覺思維能力。教師引導學生主動而有效地觀察圖形，培養(yǎng)學生從圖中讀懂重要信息并整理信息的能力，以及提出問題、分析問題、解決問題的能力，養(yǎng)成自主探索、自我評價、合作交流的學習習慣，增強對數(shù)形結合思維模式的認知，體會圖形對數(shù)學規(guī)律形成的意義。教師引導學生經(jīng)歷觀察、操作、歸納、類比、猜測等過程，發(fā)展合情推理能力，運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決數(shù)學問題并進行交流，體會圖形發(fā)現(xiàn)的樂趣，初步感受圖形的美和推理的價值。

2.探究從2起連續(xù)n個偶數(shù)的和

師：從1起連續(xù)奇數(shù)的和的規(guī)律你能聯(lián)想到什么？

生：從2起連續(xù)偶數(shù)的和的規(guī)律。

師：你能像古希臘數(shù)學家那樣，運用數(shù)形結合的方法，擺出圖形來思考嗎？

（教師故意擺一些不規(guī)則圖形，以引起學生的探究欲望，在學生困惑之時，教師出示3個算式：2+4、2+4+6、2+4+6+8）

師：你能在圖中劃一劃，分一分，使每幅圖的圓點總數(shù)能用右邊的式子來表示嗎？

（學生在學習材料的左邊一列圖中獨立劃分后反饋）

師：換個觀察角度，再看這個圖形還能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

師：如果換個角度再觀察這組圖，你還能用什么式子來表示每幅圖的圓點總數(shù)呢？在右邊一列圖中分一分，并用算式表示。然后分小組討論你們的發(fā)現(xiàn)。

生：從2起連續(xù)n個偶數(shù)的和等于n乘比n大1的數(shù)，即n×（n+1）。

生：從2起連續(xù)n個偶數(shù)的和等于1+2+3+……n+n+……+3+2+1。

生：從2起連續(xù)n個偶數(shù)的和等于n的平方加n，即n2+n。

【設計意圖】教師通過這道探索性的題目，讓學生去研究、去探討、去發(fā)現(xiàn)，讓學生進行一系列探索性思維活動，以“數(shù)”解“形”，使學生更準確地把握“形”，將已有的思維方式大跨度地遷移，進而發(fā)現(xiàn)蘊含在圖形中的數(shù)學規(guī)律。

三、舉一反三，拓展運用

師：學完這節(jié)課，你對數(shù)學的美有什么認識？

生：數(shù)學美是一種“數(shù)學規(guī)律的美”。

師：今天我們研究了什么內(nèi)容？

生：從1起連續(xù)n個奇數(shù)的和是n2。

生：從2起連續(xù)n個偶數(shù)的和是n2+n或n×（n+1）。

師：由此，我們很自然地想到了“從1起連續(xù)n個自然數(shù)的和”是否也存在某種規(guī)律？

1+2=

1+2+3=

1+2+3+4=

1+2+3+4+5=

師：古希臘數(shù)學家把這些數(shù)叫作“三角形數(shù)”。你能借助這些“三角形數(shù)”發(fā)現(xiàn)“從1起連續(xù)n個自然數(shù)的和”的規(guī)律嗎？

【設計意圖】在總結階段，教師回到課始提出的問題：什么是數(shù)學的美？首尾呼應，突出主題。既有效激發(fā)了學生探究規(guī)律的興趣，又培養(yǎng)了學生獨立探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，感受了數(shù)學規(guī)律的美妙和有趣。再次讓學生運用“數(shù)形結合”的方法，提出猜想，進行驗證，讓學生在發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證中體驗數(shù)學規(guī)律的形成過程，從而讓學生帶著問題走出課堂。

（作者單位：江蘇省丹陽市華南實驗學校東校區(qū)）