巧用對比　加深感悟

劉兆偉

小學數學教學不應當只關注顯性的知識與技能，還應當關注知識技能背后的數學思想。如何將隱含的數學思想凸顯出來，對比感悟是個好方法。下面以數形結合思想為例，談談筆者的實踐與思考。

一、在抽象與直觀的對比中，感悟數形結合思想

數學概念是數學知識體系的基石，正確、深入地理解數學概念對于后續的數學學習有著十分重要的作用。數學概念是抽象的，而小學生的思維以形象思維為主，數學概念的抽象性與學生思維的形象性形成了一個矛盾，數形結合思想就是解決這個矛盾的有效方法。在教學抽象的數學概念時，教師可以借助圖形讓學生感悟數學概念的本質內涵，同時通過圖形的直觀性與數學概念的抽象性的對比，讓學生感悟數形結合思想。

如教學蘇教版數學教材五年級下冊“質數和合數”一課時，教材中對于質數和合數是這樣描述的：“2、3、5這幾個數只有1和它本身兩個因數，像這樣的數叫作質數（或素數）。”“6、8、9這幾個數除了1和它本身還有別的因數，像這樣的數叫作合數。”這樣的描述是抽象的，不利于學生理解質數和合數的本質內涵。在教學這一內容時，筆者在研究得到20以內的質數后，讓學生思考用質數個同樣的小正方形拼長方形或大正方形有幾種不同的拼法，學生通過畫圖與觀察，發現都只有一種拼法。接著讓學生用合數個同樣的小正方形拼長方形或大正方形，學生通過畫圖與觀察，發現都不止一種拼法（如圖1）。

隨后，筆者讓學生思考為什么用質數個小正方形拼長方形或大正方形只有一種拼法，而合數個小正方形拼長方形或大正方形不止一種拼法。通過思考學生發現，表示質數的乘法算式只有一個，即1與這個質數相乘，所以拼成的長方形只有一種。而表示合數的乘法算式卻有兩個或兩個以上，所以拼成的長方形或大正方形不止一種。這樣，質數和合數的概念就與相應圖形聯系起來了，它們在學生頭腦中就不再是抽象的文字，而是變成了可以感知、可以想象的圖形，原本抽象枯燥的數學概念就變得形象生動了。

二、在復雜與簡單的對比中，感悟數形結合思想

計算是小學數學的重要內容，一般的算式只要按照運算順序和法則就能夠算出得數，而有些存在規律的算式，如果按照常規運算順序進行計算，過程可能會非常復雜，而如果能通過數形結合找到其中的規律，計算就會變得很簡單。在復雜與簡單的對比中，讓學生感悟數形結合思想及其價值。

如教學蘇教版數學教材五年級下冊“解決問題的策略”例2，教材中先讓學生計算[12+14+18+116]，然后借助圖形讓學生發現這道算式可以轉化成[1-116]來計算（如圖2）。

筆者為了讓學生對數形結合思想產生強烈的感覺，將“練一練”中的[12+14+18+116+132+164+1128]調整為例題來教學。首先，讓學生嘗試計算這道算式，有的學生按照運算順序依次計算，還有的學生先將所有分數通分成同分母分數再計算。不管用哪種方法計算，過程都非常復雜。此時有些學生產生了尋求更簡單的算法的需要。隨后，筆者引導學生觀察算式中加數的特點，學生通過觀察發現前一個分數是后一個分數的兩倍。接著，引導學生像教材例題中那樣，用一個正方形表示1，并在這個正方形中表示[12+14]，然后引導學生依據圖形發現[12+14]與[1-14]的計算結果相等，接著讓學生繼續結合圖形發現，[12+14+18]與[1-18]的計算結果相等，[12+14+18+116]與[1-116]的計算結果相等。最后，學生根據算式中加數的特點歸納出，這些算式都可以用1減去最后一個加數來計算。按照這樣的規律加下去，“練一練”中的算式可以用[1-1128]來計算，并且按照這樣的規律繼續加下去，仍然可以用這樣的方法來計算。

三、在困難與容易的對比中，感悟數形結合思想

在解決問題教學中，常用畫線段圖的方法幫助學生分析與理解題意。線段圖能夠直觀地表示出文字敘述的條件和問題，使原本抽象的數學問題變得易于理解。在教學中，很多教師先要求學生畫線段圖表示題目中的條件和問題，然后讓學生根據線段圖思考解決問題的路徑。雖然學生根據線段圖能夠很容易想到解題思路，但由于畫線段圖是按照老師的要求做的，所以學生無法感受到數形結合思想的價值。教學時，我們不妨先讓學生獨立嘗試解決問題，在學生探尋解題思路遇到困難時，再讓他們用畫線段圖的方法來幫助思考，找到解決問題的思路或突破口，從而在困難與容易的對比中，讓學生感悟數形結合思想及其價值。

如教學蘇教版數學教材四年級下冊“解決問題的策略”時，教材中例1：小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？筆者在出示例題后，讓學生解決這個問題。有的學生想到“去多法”，即先把小春比小寧多的12枚去掉，此時兩人的郵票枚數就同樣多了，郵票總枚數就變成了72-12=60（枚），再用60÷2=30（枚），得到小寧的郵票枚數，最后用30+12=42（枚），得到小春的郵票枚數。還有的學生想到“補少法”，即先給小寧補上12枚郵票，此時兩人的郵票枚數也變得同樣多，郵票總枚數就變成了72+12=84（枚），再用84÷2=42（枚），得到小春的郵票枚數，最后用42-12=30（枚），得到小寧的郵票枚數。此時，筆者讓想出這兩種方法的學生講解自己的解題思路，有不少學生難以解釋自己的解題思路，說明這些學生對解題思路的認識是模糊的。

于是，筆者讓學生畫線段圖表示題目中的條件和問題，當有了線段圖后，原本不能解釋自己解題思路的學生能夠清晰地解釋自己的想法，原本沒有解題思路的學生很容易理解了上述兩種解題思路，但仍有少部分學生還不能明白這兩種解題思路。此時，筆者用課件分別將線段圖與兩種解題步驟中的每一道算式同步動態演示。演示完后，有不少學生能根據兩種解題思路中的共同點（都是先將小寧和小春的郵票枚數變得同樣多）想到了“均分法”（如圖3）。

四、在模糊與精確的對比中，感悟數形結合思想

數形結合思想在數學中的應用主要有兩類，分別是“以形助數”和“以數解形”。在小學數學教學中，在解決很多與圖形相關的問題時，如果僅依據對圖形的觀察，憑直覺去判斷，有時是不夠準確的，甚至會出現錯誤，而如果賦予圖形恰當的數值，通過具體數值的精確計算能夠幫助學生深入地理解圖形問題，做出準確的判斷。從而讓學生在模糊與精確的對比中，感悟數形結合思想及其價值。

如教學蘇教版數學教材五年級下冊“整理與復習”中的一道習題時（如圖4），為了讓學生感悟數形結合思想，在教學此題時，筆者先呈現三幅圖形，并將此題改為：“將三塊一樣大的正方形鐵皮，分別按右圖剪下不同規格的圓片，剩下的鐵皮面積相等嗎？”由于將原題中“邊長都是12厘米”去掉了，解決此問題時，學生只能根據直覺進行判斷，大部分學生認為第一張鐵皮剩下的面積最大，最后一張鐵皮剩下的面積最小;還有些學生認為剩下的鐵皮面積相等。由于這兩類學生的判斷都是依據模糊的直覺，所以都不能說服對方。有部分學生開始想到用假設法來進行解釋，即假設正方形的邊長是4厘米、8厘米、12厘米……并通過計算發現，不管正方形的邊長是多少厘米，剪掉的圓的總面積都相等，所以剩下的鐵皮面積也相等。并且還有學生想到，按照這樣的方式在這張正方形鐵皮中剪去9個、25個、36個同樣大小的圓片，剩下的鐵皮面積也是一樣的。

（作者單位：江蘇省高郵實驗小學）