拓展Lü系統的穩定性及有界性分析

王申鵬，崔巖，孫觀，周六圓，趙少卿

（上海工程技術大學 機械與汽車工程學院，上海 201620）

0 引言

1892年，Lyapunov發表博士論文《運動穩定性的一般問題》，系統性給出了穩定性的科學概念和研究方法，即Lyapunov穩定性理論。該理論簡單、協調和恰當，逐步成為研究最充分、應用最廣泛的穩定性理論。近年來，Lyapunov指數的概念引起了廣泛興趣，并與混沌理論結合了起來。文獻［1］研究了一類帶外部噪聲的不確定分數階非線性系統有限時間穩定性及自適應滑模同步控制，文獻［2］基于分數階Lyapunov穩定性理論構造了控制器以及分數階的參數自適應規則，實現了兩個超混沌系統的同步。文獻［3］針對分數階時滯混沌系統設計了一種時滯相關的反饋控制器，利用Lyapunov函數法對整個誤差控制系統的穩定性進行了證明。文獻［4］運用Lyapunov穩定性理論，獲取混沌金融系統達到漸近穩定的條件，構造其時滯系統控制器，進而實現混沌控制。文獻［5］針對參數未知分數階混沌Chen和R?ssler系統的同步問題，選取了一個具有較強魯棒性分數階積分滑模面，應用Lyapunov穩定性理論，設計了自適應滑模控制器，利用模糊逼近的方法使系統到達滑模面的時間和抖振性能綜合最優，最后實現了混沌系統的同步。文獻［6］基于Lyapunov穩定性定理，通過輸出反饋控制使得非線性分數階系統穩定。文獻［7］研究一類具有混沌同步的Lorenz時滯系統在零平衡點處的穩定性以及Hopf分支，得到了系統的穩定性開關和Hopf分支出現的條件，并討論出分支周期解的分支方向、穩定性和分支周期的變化律。

在混沌系統的定性分析中，較為重要的是有界性，其能夠將系統的全局化為局部，無窮變成有限[8-9]。文獻［10］通過構造合適的Lyapunov函數，分別研究了T系統、分數階金融系統與NSG系統的有界性問題。文獻［11］研究了無刷直流發電機系統和一個新三維混沌系統，利用廣義Lyapunov函數理論和優化理論研究了全局吸引集和正向不變集，實現了系統的全局同步。文獻［12］運用Lyapunov函數直接方法和比較方法，結合Razumikhin技巧，分別討論了系統解的有界性、一致有界性、最終有界性和系統關于兩個測度的有界性的幾個結論。文獻［13］提出了具有唯一平衡點或兩個平衡點的四維超混沌系統，通過構造恰當的Lyapunov函數證明不存在同宿軌與異宿軌， 表明此系統是非Shil’nikov意義下的超混沌。

本文提出了一種新的拓展Lü系統，從穩定性和有界性兩方面對其進行整體性分析。穩定性是指系統通過內部的Lyapunov指數變化達到一種穩定狀態。有界性是指系統在相平面內運動的過程中，其吸引子存在一個整體的有界范圍。

1 拓展Lü系統

新三維二次型混沌系統可用以下形式描述：

其中a=-1，b=2。

2 穩定性分析

2.1 整體穩定性控制

通過非線性系統中的Lyapunov指數可以對其運動狀態進行判斷。若Lyapunov指數中存在一個正指數，則該系統是處于混沌狀態，若Lyapunov指數均為負指數，則該系統是處于穩定狀態。采用Lyapunov控制法[14]，可以控制非線性系統從混沌狀態轉變為穩定狀態。

系統（1）屬于三維二次型自治方程，當Lyapunov指數全部為負數時，該系統處于整體穩定狀態。為此，可以令整個系統穩定控制在點A（2，3，5），Lyapunov指數為σ1=-2，σ2=-3，σ3=-2。

根據上述原理和參數設計控制器，實現系統的整體穩定性控制。

原系統表示為f，可得：

該系統的Jacobi矩陣為：

在系統中加入σ1，σ2，σ3，則受控系統的線性矩陣項為：

得出受控系統的常數項：

構造合適的線性控制器：

新的受控系統可以表示為：

2.2 數值仿真

采用MATLAB軟件對新的受控系統進行數值仿真，令初始點為。

圖2 受控系統y變量軌線穩定圖

圖3 受控系統z變量軌線穩定圖

從圖1、2、3中可以看出，通過添加一個線性控制器，系統中的Lyapunov指數均為負值，且運動狀態能夠快速收斂到點A（2，3，5），原系統的混沌現象被完全控制，從而得出該方法可以有效地實現對于拓展Lü系統的整體穩定性控制。

圖1 受控系統x變量軌線穩定圖

3 有界性分析

3.1 整體有界函數構造

通過全局吸引域可表現出系統的整體有界性，因此可以采用對拓展Lü系統進行整體函數構造的方法分析其整體有界性。

系統方程在全局吸引域中的整體性理論概述如下[15-17]：系統方程為設為混沌系統的解。若系統中存在常數則可通過構造Lyapunov函數表示整體有界性，若Lyapunov函數存在則有因此整個系統的軌線是呈現出一種收縮狀態，整個系統的全局吸引域可以表示為若和則有整個 吸引域表現為正向的，呈現出整體有界狀態。若系統中存在常數滿足則可以得出Lyapunov指數不等式：該不等式一直成立，通過Lyapunov函數可以表示為系統的有界性為 。

因此系統（1）的Lyapunov有界性可以表示為：

證明：可以構造Lyapunov函數分析拓展Lü系統的整體有界性，該函數表示式如下：

對函數進行求導可得：

令

定義該函數：

分析函數可知，該函數 為二次函數，其局部最大值就是全局的極大值，即該函數的Lagrange極值 。

對函數求一階偏導數

因此

3.2 整體有界性分析

利用構造出的Lyapunov函數中的不同取值，，從而得出有界域的估計方程。

（1）若m取值為0，則整體有界性估計式如下：

該有界性表現為一個圓柱形。

（2）若m取值為1，則整體有界性估計式如下：該有界性表現為一個球形。

該有界性表現為一個橢球形。

綜上，該系統的整體有界性是在一定的范圍內出現的。

4 結語

本文主要從穩定性和有界性兩方面對拓展Lü系統進行整體性分析。根據Lyapunov穩定性理論，為使得整個系統達到穩定狀態，通過控制系統內的Lyapunov指數，使其均為負值，可以實現系統穩定在期望點上。為證明該系統的整體有界性是在一定范圍內出現的，可以通過構造合適的Lyapunov函數，分析其整體有界性。綜上可以看出該拓展Lü系統有著較強的整體性，為其在保密通信等實際工程中的應用提供了更豐富的理論依據。