淺談化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學教學中的應用

黃慶彬

新課程標準明確提出了高中生通過數(shù)學課程的學習要達到獲“四基”、提“四能”的目標。獲“四基”，即學生獲得數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本的技能、思想和活動經(jīng)驗;提“四能”，即提高學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)并提出問題、分析和解決問題的四種能力。縱觀近年來高考數(shù)學試題的編制及考查的內(nèi)容，都很好地反映了課程改革理念，加大了數(shù)學思維能力的考查，注重學科思想方法的運用，這就要求教師在數(shù)學教學中要“兩手抓”，既要加強基礎(chǔ)知識與基本技能的教學，又要注意以素養(yǎng)為導向，以能力為重，加大各種思想方法的滲透。

在中學數(shù)學思想方法中，最基本、最核心的就是化歸與轉(zhuǎn)化思想，它是解決數(shù)學問題思想方法的精髓。化歸與轉(zhuǎn)化，即運用轉(zhuǎn)化、歸結(jié)的數(shù)學手段，通過一定的數(shù)學過程，把一個復雜、陌生或者未解決的問題轉(zhuǎn)化到已解決或較易解決的問題上來，從而破解原問題的一種方法。數(shù)學家笛卡爾對此方法給予了高度評價，稱之為解決數(shù)學問題的萬能方法。它對培養(yǎng)學生的解題能力和數(shù)學素質(zhì)起至關(guān)重要的作用，故教師在平時教學中應注意引導學生抓基礎(chǔ)與注重轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)兩者并重，這是學好數(shù)學的金鑰匙。以下便是其模式。

一、高中數(shù)學中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想遵循的原則

應遵循4個原則：（1）熟悉化原則，即“化生為熟”，把陌生問題轉(zhuǎn)化成熟悉問題。（2）簡單化原則，即“化繁為簡”，把復雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題。（3）直觀化原則，即“化抽象為直觀”，把較抽象的問題轉(zhuǎn)化為較直觀的問題（如數(shù)形結(jié)合思想，立體幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題）。（4）正難則反原則。若問題直接求解困難時，可考慮運用反證法或補集法，或用逆否命題間接地解決問題。

二、高中數(shù)學中常見的轉(zhuǎn)化與化歸方法

共有10種：在解決數(shù)學問題時，有的可用直接轉(zhuǎn)換法、換元法、數(shù)形結(jié)合法，有的可用參數(shù)法、構(gòu)造法、坐標法，還有的可用類比法、特殊法、一般化、等價轉(zhuǎn)換法來解。這些方法在一些題目中可能單獨使用，也可能相互交叉使用，是不能完全分割開的。

三、高中數(shù)學中轉(zhuǎn)化與化歸思想主要的應用情形

主要有6種：（1）在三角函數(shù)和解三角形問題中，公式的“三用（順用、逆用、變形用）”、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化、通過正弦定理和余弦定理實現(xiàn)邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化等。（2）函數(shù)問題中，把一個較難或較復雜的函數(shù)、方程、不等式轉(zhuǎn)化為較簡單、較容易的函數(shù)、方程、不等式。（3）在有平面向量與三角函數(shù)，又有平面幾何、解析幾何的交叉綜合題目中，進行語言相互轉(zhuǎn)化。（4）將一般的陌生的數(shù)列轉(zhuǎn)化為常見的等差數(shù)列或等比數(shù)列求解。（5）將函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）、切線問題轉(zhuǎn)化為其導函數(shù)f'（x）構(gòu)成的方程、不等式問題來求解。（6）有關(guān)解析幾何、立體幾何的問題，常常用數(shù)形結(jié)合思想，通過數(shù)形轉(zhuǎn)化來解決。

四、結(jié)合例題淺析高中數(shù)學中轉(zhuǎn)化與化歸思想的基本類型

1.特殊與一般的轉(zhuǎn)化

當一個問題難以解決時，首先應觀察這個問題的特殊與簡單情況并分析，發(fā)現(xiàn)其中特殊的數(shù)量或關(guān)系結(jié)構(gòu)或部分元素，然后推廣至一般情形，從而完成從特殊問題到一般問題的解答，即所謂的特殊化的化歸策略。有的數(shù)學題目具有一般性，有的則具有特殊性，解題時根據(jù)需要，要么化一般問題為特殊問題，要么化特殊問題為一般問題來解決。如何解這類題？關(guān)鍵點是：先確立轉(zhuǎn)化對象，一般情況下把要解決的問題看成轉(zhuǎn)化對象，接著尋找轉(zhuǎn)化元素，也就是特殊元素和一般元素，然后再根據(jù)轉(zhuǎn)化對象與特殊元素或一般元素的關(guān)系，把它轉(zhuǎn)化為新的需要解決的問題，最后得出結(jié)論。這一類問題多以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度適中，屬中檔題型。

題后反思：一般化與特殊化是解題過程中對一些一般性問題作特殊化處理，或把一些特殊問題作一般性處理。本題抓住了直線AB垂直于OP這個特殊情況，求出AB，MN的最小值和最大值，很好地解決了問題。

2.命題的等價轉(zhuǎn)化

當遇到陌生或繁難的問題時，我們可運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法，把命題轉(zhuǎn)化成我們熟知的基本問題，從而化繁為簡、化生為熟。此類問題主要涉及函數(shù)、解析幾何中有關(guān)存在性問題和排列組合中含有“至多”“至少”詞語的題目。這一類問題多以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度適中，屬中檔題型。

題后反思：遇到類似從正面難以解答，或運算較繁的問題，可先“反面進攻”，運用補集思想使正面得到解決。“正難則反”有時能帶來“柳暗花明又一村”的解題妙處。

3.常量與變量的轉(zhuǎn)化

在解決多變量的數(shù)學問題時，當題中的常量（或參數(shù)）在特定范圍內(nèi)取值，要求算出變量x的范圍時，往往進行常量與變量之間角色的轉(zhuǎn)化，即可選取其中的常數(shù)（或參數(shù)），把它看成變量，把變量當作常量，從而達到簡化運算的目的。此類問題既有填空題也有解答題，難度適中，屬中檔題，主要涉及參數(shù)的取值范圍問題。

4.函數(shù)、方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化

函數(shù)、方程與不等式三者之間聯(lián)系密切，在解決方程、不等式的問題時常常需要用到函數(shù)這一解題工具，而解決函數(shù)的問題也往往離不開方程、不等式的數(shù)學工具，故借助函數(shù)、方程、不等式進行轉(zhuǎn)化與化歸，可將問題化繁為簡，往往把不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，把證明不等式問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，把方程的求解問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點問題、兩個函數(shù)圖象的交點問題等。

5.形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化

在立體幾何中，遇到計算空間角和距離的題目時，往往要把它轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)來求解。而形體位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化一般要先分析形體特征，根據(jù)形體特征確立需要轉(zhuǎn)化的對象，然后進行位置轉(zhuǎn)化，把不規(guī)則幾何體通過切割、挖補、延展等方式轉(zhuǎn)化為便于觀察、計算的常見幾何體。由于新的幾何體是轉(zhuǎn)化而來，一般需要對新的幾何體的位置關(guān)系、數(shù)據(jù)情況進行分析，準確理解新的幾何體的特征，最后在新的幾何結(jié)構(gòu)中解決目標問題。

題后反思：本題把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，把沿表面兩點的距離問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離問題。

在高中數(shù)學中，轉(zhuǎn)化與化歸思想是需要學生熟練掌握的重要且常用的思想方法，在一切數(shù)學思想方法中居于核心地位。教師在教學中應注重學生熟練運用轉(zhuǎn)化與化歸思想的訓練，培養(yǎng)學生有意識地對問題進行靈活變換的學科思維，以利于提高學生解決數(shù)學問題的應變能力、分析解決問題能力，最終提高學科素養(yǎng)和數(shù)學能力。