淺談化歸與轉化思想在高中數學教學中的應用

黃慶彬

新課程標準明確提出了高中生通過數學課程的學習要達到獲“四基”、提“四能”的目標。獲“四基”，即學生獲得數學基礎知識、基本的技能、思想和活動經驗;提“四能”，即提高學生從數學角度發現并提出問題、分析和解決問題的四種能力。縱觀近年來高考數學試題的編制及考查的內容，都很好地反映了課程改革理念，加大了數學思維能力的考查，注重學科思想方法的運用，這就要求教師在數學教學中要“兩手抓”，既要加強基礎知識與基本技能的教學，又要注意以素養為導向，以能力為重，加大各種思想方法的滲透。

在中學數學思想方法中，最基本、最核心的就是化歸與轉化思想，它是解決數學問題思想方法的精髓。化歸與轉化，即運用轉化、歸結的數學手段，通過一定的數學過程，把一個復雜、陌生或者未解決的問題轉化到已解決或較易解決的問題上來，從而破解原問題的一種方法。數學家笛卡爾對此方法給予了高度評價，稱之為解決數學問題的萬能方法。它對培養學生的解題能力和數學素質起至關重要的作用，故教師在平時教學中應注意引導學生抓基礎與注重轉化能力的培養兩者并重，這是學好數學的金鑰匙。以下便是其模式。

一、高中數學中應用轉化與化歸思想遵循的原則

應遵循4個原則：（1）熟悉化原則，即“化生為熟”，把陌生問題轉化成熟悉問題。（2）簡單化原則，即“化繁為簡”，把復雜問題轉化成簡單問題。（3）直觀化原則，即“化抽象為直觀”，把較抽象的問題轉化為較直觀的問題（如數形結合思想，立體幾何問題轉化成平面幾何問題）。（4）正難則反原則。若問題直接求解困難時，可考慮運用反證法或補集法，或用逆否命題間接地解決問題。

二、高中數學中常見的轉化與化歸方法

共有10種：在解決數學問題時，有的可用直接轉換法、換元法、數形結合法，有的可用參數法、構造法、坐標法，還有的可用類比法、特殊法、一般化、等價轉換法來解。這些方法在一些題目中可能單獨使用，也可能相互交叉使用，是不能完全分割開的。

三、高中數學中轉化與化歸思想主要的應用情形

主要有6種：（1）在三角函數和解三角形問題中，公式的“三用（順用、逆用、變形用）”、角度的轉化、函數的轉化、通過正弦定理和余弦定理實現邊角關系的相互轉化等。（2）函數問題中，把一個較難或較復雜的函數、方程、不等式轉化為較簡單、較容易的函數、方程、不等式。（3）在有平面向量與三角函數，又有平面幾何、解析幾何的交叉綜合題目中，進行語言相互轉化。（4）將一般的陌生的數列轉化為常見的等差數列或等比數列求解。（5）將函數的單調性、極值（最值）、切線問題轉化為其導函數f'（x）構成的方程、不等式問題來求解。（6）有關解析幾何、立體幾何的問題，常常用數形結合思想，通過數形轉化來解決。

四、結合例題淺析高中數學中轉化與化歸思想的基本類型

1.特殊與一般的轉化

當一個問題難以解決時，首先應觀察這個問題的特殊與簡單情況并分析，發現其中特殊的數量或關系結構或部分元素，然后推廣至一般情形，從而完成從特殊問題到一般問題的解答，即所謂的特殊化的化歸策略。有的數學題目具有一般性，有的則具有特殊性，解題時根據需要，要么化一般問題為特殊問題，要么化特殊問題為一般問題來解決。如何解這類題？關鍵點是：先確立轉化對象，一般情況下把要解決的問題看成轉化對象，接著尋找轉化元素，也就是特殊元素和一般元素，然后再根據轉化對象與特殊元素或一般元素的關系，把它轉化為新的需要解決的問題，最后得出結論。這一類問題多以選擇填空題的形式出現，難度適中，屬中檔題型。

題后反思：一般化與特殊化是解題過程中對一些一般性問題作特殊化處理，或把一些特殊問題作一般性處理。本題抓住了直線AB垂直于OP這個特殊情況，求出AB，MN的最小值和最大值，很好地解決了問題。

2.命題的等價轉化

當遇到陌生或繁難的問題時，我們可運用等價轉化的思想方法，把命題轉化成我們熟知的基本問題，從而化繁為簡、化生為熟。此類問題主要涉及函數、解析幾何中有關存在性問題和排列組合中含有“至多”“至少”詞語的題目。這一類問題多以選擇填空題的形式出現，難度適中，屬中檔題型。

題后反思：遇到類似從正面難以解答，或運算較繁的問題，可先“反面進攻”，運用補集思想使正面得到解決。“正難則反”有時能帶來“柳暗花明又一村”的解題妙處。

3.常量與變量的轉化

在解決多變量的數學問題時，當題中的常量（或參數）在特定范圍內取值，要求算出變量x的范圍時，往往進行常量與變量之間角色的轉化，即可選取其中的常數（或參數），把它看成變量，把變量當作常量，從而達到簡化運算的目的。此類問題既有填空題也有解答題，難度適中，屬中檔題，主要涉及參數的取值范圍問題。

4.函數、方程與不等式之間的轉化

函數、方程與不等式三者之間聯系密切，在解決方程、不等式的問題時常常需要用到函數這一解題工具，而解決函數的問題也往往離不開方程、不等式的數學工具，故借助函數、方程、不等式進行轉化與化歸，可將問題化繁為簡，往往把不等式的恒成立問題轉化為函數的最值問題，把證明不等式問題轉化成函數的單調性與最值問題，把方程的求解問題轉化成函數的零點問題、兩個函數圖象的交點問題等。

5.形體位置關系的轉化

在立體幾何中，遇到計算空間角和距離的題目時，往往要把它轉化到平面內來求解。而形體位置關系的相互轉化一般要先分析形體特征，根據形體特征確立需要轉化的對象，然后進行位置轉化，把不規則幾何體通過切割、挖補、延展等方式轉化為便于觀察、計算的常見幾何體。由于新的幾何體是轉化而來，一般需要對新的幾何體的位置關系、數據情況進行分析，準確理解新的幾何體的特征，最后在新的幾何結構中解決目標問題。

題后反思：本題把立體幾何問題轉化為平面幾何問題，把沿表面兩點的距離問題轉化為平面上兩點間的距離問題。

在高中數學中，轉化與化歸思想是需要學生熟練掌握的重要且常用的思想方法，在一切數學思想方法中居于核心地位。教師在教學中應注重學生熟練運用轉化與化歸思想的訓練，培養學生有意識地對問題進行靈活變換的學科思維，以利于提高學生解決數學問題的應變能力、分析解決問題能力，最終提高學科素養和數學能力。