深度研讀教材策略之二：再現數學知識的形成過程(3)

王貴平 李竹華

【導讀】

“認識面積”是人教版數學三年級下冊的內容。該內容是在學生已經掌握了長方形和正方形的特征，并學習了長方形和正方形周長的基礎上進行的。小學生從學習長度到學習面積，是從一維到二維的一個跨度，是空間形式認識發展上的一次飛躍。學好這部分內容，有利于發展學生的空間觀念，為后續學習其他平面圖形的面積和立體圖形的體積計算打下基礎。來自昆明市盤龍區新迎第二小學的王貴平老師，帶領學生經歷了面積概念形成的完整學習過程，再現了建構主義在課堂教學中的實際應用。

【案例】

課堂實錄：

一、情境導入

師：爸爸假期帶明明去海邊玩，右邊這幅圖是他們留下的，你知道哪些是爸爸的腳印，哪些是明明的腳印？

……

（板書：認識面積）

二、初步認識面積

師：什么是面積呢？請看一下黑板的面和課桌的面，哪個面大，哪個面小？

……

師：（拿起數學書）請同學們看老師手中的數學書，誰來摸一摸它的封面。（學生踴躍上臺摸摸數學書的封面，也有的同學摸摸自己數學書的封面）

師：數學書封面的大小，就叫作它的面積。誰能像老師這樣說說嗎？

……

師：你能像這樣說說其他物體表面的面積嗎？

生1：黑板表面的大小就是黑板表面的面積。

生2：課桌面表面的大小就是課桌面的面積。

……

生3：我知道了，只要有面的物體都有面積，不管是平的面還是彎曲的面。

師：總結得真好，是個愛動腦筋的孩子。所以物體表面的大小就是物體表面的面積。

三、進一步認識面積

師：（課件出示字典封面圖和茶葉罐圖）說一說老師標記的這個面的面積。

……

師：這兩個圖形哪個大，哪個小？

……

師：判斷一下，這些圖形有面積嗎？如果有請你說一說它的面積;如果沒有，請你說說理由。

……

四、統一面積單位的必要性

（課件出示兩個長方形，一大一小）

師：這兩個長方形哪一個面積大？

……

師：? ? ? ? ? ? ?再看現在這組長方形呢？

……

師：這樣能比較出哪個長方形面積大嗎？

生1：不可以，重合在一起，還是都有剩余。

生2：我們小組想到的方法是把它們剩下的部分剪下來，再比較。

師演示：是這樣嗎？

（學生竊竊私語，可是剪開以后還是有剩余啊，還是沒有辦法知道哪個大，哪個小？）

師：當然，如果我們像這樣一直剪下去，是可以比較出誰的面積大、誰的面積小的，但是……

生3：這樣太麻煩了！

……

師：你聽懂小精靈的話了嗎？如果選擇一種圖形作單位，這個圖形可以是什么形狀呢？

生1：我想選擇長方形。

生2：我想選擇三角形。

生3：我想選擇圓形。

生4：我想選擇正方形

……

師：老師為每個小組準備了一些學具，四人小組合作完成。

……

師：（課件演示）不管選擇哪個圖形作單位，都能量出這兩個長方形的面積大小。在同學們選擇的這些圖形中，你認為用哪個圖形作單位測量出來的面積最準確，為什么？小組討論。

生1：我認為用長方形和正方形好，因為它們沒有縫隙。其余兩種圖形都有縫隙。

師：像這樣能鋪滿，并且沒有縫隙，我們數學上叫作密鋪。

生2：我認為用正方形更好一些，因為它的四條邊都一樣長，不管怎么擺放都可以。

師：你真是個會思考的孩子，數學家們也和你想到一塊啦！因為正方形不僅可以密鋪，而且不受擺放位置和方向的限制，所以國際上就是用規定大小的正方形作為面積的單位。

……

五、練習、鞏固對面積的認識

1.下面兩幅圖的面積一樣嗎？請說明理由。

2.比較每組中的A、B兩個圖形的面積，你發現了什么？

……

3.分別在兩個相同的長方形A、B中挖去5個小正方形，它們剩下的面積是否相等，請說明理由。

……

4.涂色比賽。

師：下面兩幅圖，老師要涂上顏色，如果讓你選，你會選擇哪個圖形，為什么？

生（齊）：選圖形B。

……

師：那只能老師選圖形A了，這是圖形A、B對應的涂色工具。

生1：我們上當啦，用這個工具肯定是圖形A涂的快。

師追問：為什么？

……

六、小結

師：今天你有什么收獲？

……

師：在后續知識的學習中，我們也可以像今天這樣摸一摸、擺一擺，這樣感受才深刻。

【思考】

“認識面積”是“面積”這個單元的“開門課”，對后續學習面積的相關知識起著決定性的作用。面積的本質就是物體表面或平面圖形內部包含面積單位個數的多少，是另一種形式的“測量”。但是本節課不涉及標準的面積單位，怎樣幫助學生建立完整的面積概念？來自昆明市盤龍區新迎第二小學的王貴平老師，創設生活化的情境，帶領學生在動手操作中充分感知，獲取鮮明的表象。在此基礎上，逐步抽象出“面積”的概念。王老師這節課，真實詮釋了本工作室“再現數學知識的形成過程”這一深度研讀教材的策略。具體體現在以下四個方面：

1.利用直覺，初步感知。在導入部分通過比較明明和爸爸腳印的大小，讓學生初步感受比較的是“面”的大小（包括圖形的“邊緣”和“內部”），從直覺上感受到了面積和周長是不一樣的（周長只是圖形的“邊緣線”）。這種最粗淺的感知經驗，雖然不規范、很淺表，但對于學生進一步深入探索面積的本質來說，是無法跨越的第一步。王老師乘勝追擊，介紹了面積的“文本定義”之后，讓學生比較數學書封面和側面的大小，再選擇身邊物品表面比較大小，把生硬的文字表述轉化為可見的觸摸感覺，讓生硬的文本定義變得觸手可及。

2.借助工具，觀察比較。在學生對物體表面可以憑直覺判斷面積大小之后，王老師把具體的物象逐步剝離，讓學生體會到物體表面在數學上其實就是一個封閉的平面（或曲面），這個面的大小就是封閉平面圖形的面積。當我們無法用直覺觀察和重疊比較來判斷兩個封閉圖形面積大小的時候，該怎么辦呢？這時候我們就需要借助工具來進行“精確”的測量。在測量過程中，充分尊重學生的個體差異，允許學生選擇自己喜歡的圖形作為標準來進行測量。然后在對比中發現：用正方形作為面積測量標準，使用起來最方便。這個教學過程是艱辛的，但學生的學習體驗卻是快樂的。借助“第三方”進行評判，類似行為在人類社會事務中比較普遍，但小學生未必能夠理解。這樣的體驗活動，有助于學生在今后的認知活動中建立選擇事物“標尺”的良好思維習慣。

3.異中求同，切入本質。通過前兩個板塊的學習，可以說學生已經和“面積”零距離“對接”了。但學生是否真正掌握了面積這一概念，需要讓他們“把學到的知識在新的情境中進行辨認、再現和應用”。所以王老師設計了三組變式題，讓學生在比較面積大小的過程中，更加深入地理解面積的本質——只與這個圖形內部所包含面積“標準”的個數有關，與整個圖形的“長相”無關。通過這樣的辨析練習，讓學生在“異中求同”的思維過程中，對面積概念的本質理解得更加透徹。

4.回歸生活，解釋應用。“讓數學回歸生活，用數學知識解決生活中的實際問題，凸顯數學的工具實用價值。”這是新課標倡導的課改方向。王老師巧妙設計了一個生活問題：給面積不同的A、B兩個圖形涂色，你會選擇哪一個？為什么？學生在定式思維影響下，都選擇了面積比較小的圖形B。當老師給出涂色工具之后，學生們都大呼“上當”啦。當老師追問為什么圖形A涂起來比較快時，學生一開始是用生活經驗來回答“因為刷子比較大”。當老師進一步追問時，學生終于明白了：涂色工具大也就是每一筆涂過的面積更大。這樣柳暗花明、峰回路轉的變式練習，不僅讓學生們興致盎然，同時也對面積概念的本質理解更加深入了。

“讓學生經歷知識形成的完整過程”不僅僅是寫在課標中的一句話，更要成為一線教師課堂教學中實實在在的行動。