斜拋運動問題多解分析

王燕

[摘? ?要]斜拋運動問題是運動學中的典型問題，對初學者而言，這類問題不容易處理。文章結合一道典型例題分析探討幾種不同的解答方法。

[關鍵詞]斜拋運動;多解;合成與分解

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）14-0055-02

斜拋運動是日常生活中比較常見的實際問題，高考中也時常出現，分析解答這類題有一定的難度，解答方法也比較多，能有效考查學生的綜合能力。下面結合一道例題的分析解答，介紹這類題的多種解法。

[例題]如圖1，滑雪運動員從初始滑道（光滑）上下降45 m后起跳，起跳角度與水平面夾角為30°，且起跳不損失動能。降落滑道可看作一個傾斜角為30°的斜面，求運動員在空中飛行的時間，以及落地后速度與斜面的夾角。（重力加速度取10 m/s2）

思維導引：本題是斜面下滑運動與斜拋運動的結合，亦是“直線運動”與“曲線運動”的有機結合。難點是斜拋運動與斜面相遇，學生難以對物體的運動情況做出正確判斷。具體解答時，可從運動的合成與分解、斜拋運動軌跡方程、斜拋運動射程方程、運動矢量圖等不同角度做出復雜或簡捷的幾類不同解法[1]。

解法1.運動的合成與分解

思路點撥：水平面上的斜拋運動是比較熟悉的情境，而此題是斜面上的斜拋運動，如何將陌生的情境轉化為熟悉的情境，是解答本題的關鍵。

解析：學生習慣了沿水平和豎直方向建立坐標系，如果按照這種思維定式進行下去，需要分解的物理量較多，這樣一來問題就變得復雜了，如何合理建立坐標系呢？

如圖2，可以嘗試以降落滑道為x軸，以垂直于降落滑道為y軸，對其進行簡要分析可知x和y軸方向上的初速度為：

思路點撥：這和我們熟悉的水平面上的斜拋運動，又有點區別，區別在哪里呢？

原來重力產生的加速度豎直向下，會使物體在x和y軸方向上的運動分別為勻加速直線運動和勻減速直線運動，因此需要對加速度沿坐標軸方向進行分解。

這樣的話，運動員在y方向上就相當于豎直上拋運動。

落到斜面上時速度在x和y軸方向上的分量分別為

解法2.斜拋運動軌跡方程

解析：本題中斜面是直線，而運動員運動軌跡為曲線，從數學的角度來看本題為曲線運動與直線運動相結合的問題。如若建立合適的直角坐標系，利用斜拋運動軌跡方程與斜面方程求解交點，則成了我們熟悉的一類數學問題了。

思路點撥：為了便于理解，在這里簡要給出斜拋運動軌跡方程的推導過程。

推導過程：如圖3所示，取拋出點為坐標原點，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向，拋射角為[θ]，拋出時t取0，對任何斜拋，小球有：

消去時間t，得拋體運動軌跡的方程

以起跳點為坐標原點O，建立如圖3所示的直角坐標系。

解析：一旦交點P坐標確定了，即可通過水平位移或豎直位移求時間，進而求出水平速度與豎直速度，這樣求解落地速度與豎直方向的夾角就水到渠成了。

故落地速度與水平方向夾角為60°，與斜面方向夾角為30°

解法3.運用斜拋運動射程方程

思路點撥：因滑雪運動員起跳速度、起跳角度與斜面傾角都已為定值，因此我們推知斜面落點固定，換言之，此斜拋運動的射程應該是由速度和傾角決定的物理量，因此可以在解法2的基礎之上，大膽推導斜拋運動的射程方程。

當運動員飛向滑道時，剛飛起時速度與水平方向夾角為[θ=60°]，滑道與水平方向夾角為[α=-30°]，設射程為s，在滑道上落點P的坐標為：

將兩式代入斜拋運動軌跡方程得：

同解法2可得落地速度與斜面方向夾角為30°。

解法4.運用矢量圖，并結合正弦定理

思路點撥：此種解法較為特殊，但卻極為簡便，由高中物理知識可知，位移為矢量，遵循平行四邊形法則或者三角形法則。我們設想若無重力或重力加速度，運動員將與沿水平方向成30°斜向上方向運動，若無初速度，將沿豎直向下的方向運動。因此實際的運動是這兩種運動的合成，真實的位移亦是這兩種位移的合成，最終運動員落在傾角為30°的斜面上[2]。

解析：數學是物理的工具，由正弦定理尋找角與邊的內在聯系，合理建立比例方程，求解運動時間。

如圖4所示，由正弦定理可知：

同解法1或2可得落地時速度方向與斜面的夾角為30°。

【解后反思】

作為運動學中一類典型的斜拋問題，解法1是利用運動的合成與分解的常規解法，但明顯耗時耗力。解法2和解法3不僅要求考生熟練掌握斜拋運動軌跡方程，對學生的數理結合能力要求也很高。解法4則巧妙運用運動矢量圖，化繁為簡，準確而快速地求解。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 沈衛.莫管方法“老”，只看“巧”不“巧”：論拋體運動問題中正交分解法的應用[J].物理教學，2020（5）：56-58.

[2]? 林曼虹，以“問題解決”為導向的高端備課：以“整體法和隔離法的交叉應用”為例[J].物理教師，2018（7）：31-32+36.

（責任編輯 易志毅）