淺析動力學問題正交分解時坐標系的建立

焦健生

[摘? ?要]解決多個力作用于物體的動力學問題，通常采用正交分解法分析物體所受的力，這時就需要建立適當的坐標系。在處理相關問題的過程中，不少學生由于不能結合實際問題建立直角坐標系，導致解題過程變得比較復雜，甚至導致解答錯誤。文章結合教學實踐探討用正交分解法分析物理所受的力時坐標系的建立。

[關鍵詞]正交分解;坐標系;動力學問題

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）14-0036-03

解答物理習題是學生在物理學習過程中掌握知識、形成技能、發展能力的重要環節，也是培養學生物理學科核心素養的重要途徑。通過解題，學生的物理觀念和科學思維得以培養，分析問題和解決問題的能力得以提升。

解題有方法、講技巧，方法技巧運用得當，可以事半功倍。高中物理動力學方面的習題是解題技巧性較強的一類習題，學生解題時往往有兩大困難，一是對物體進行受力分析時發生錯誤;二是對物體所受的力不能正確地進行合成與分解。如果學生掌握了一定的知識、方法和技巧，那么，學生解題速度和正確率都會大大提高。本文就運用正交分解法解答動力學問題時建立直角坐標系的方法、技巧進行分析探討。

一、解決物體受力平衡問題時，以少分解力為原則建立坐標系

動力學方面的習題可分為平衡類和非平衡類兩大類，這兩類習題一般可按如圖1所示的思維流程圖求解。其中“建坐標”和“分解力”是正交分解的兩個關鍵步驟。正交分解法作為分解力的一種方法，對處理涉及三個以上力的問題時優勢非常明顯，利用正交分解法分解力的關鍵是建立直角坐標系。

物體若受到多個力作用而平衡，由于沒有加速度，物體所受的合外力等于零，解決此類多力平衡問題時，我們常用正交分解法對力進行分解，由于物體處于平衡狀態，可以在任意方向建立一個直角坐標系。原則上來說，坐標系的建立是隨意的，但若真的隨意建立坐標系，往往會使解題過程復雜化，錯誤率也會增加。要想使解題既簡便又準確，那就得講方法、講技巧，于是，我們應該盡可能地將直角坐標系的兩個軸與物體所受的力中的某些力的作用線重合，以達到少分解力的目的。

（1）木塊與斜面間的摩擦力大小;

審題后，我們首先要對木塊進行受力分析，容易發現，FN與Ff 垂直，重力mg與水平力F垂直，于是可以選擇沿FN與Ff 的方向建立直角坐標系。

受力分析：物體受4個力作用，如圖3所示：推力F、重力mg、彈力FN、摩擦力[Ff] 。

建立坐標：建立如圖3所示的直角坐標。將重力mg和推力F分解到x、y兩坐標軸上，根據力的平衡分別列出兩個平衡方程，得：

本題中由于重力mg與水平力F垂直，所以，也可以F的作用線為x軸，以mg的作用線為y軸，按直角方向分解FN、Ff 來求解。

二、解決物體非平衡的直線運動問題時，可以加速度方向為一坐標軸建立坐標系

勻變速直線運動的物體所受合外力一定不為零，也一定有加速度，根據牛頓第二定律可知，合外力和加速度必定同向。運用力的合成或分解求出合外力是解決動力學問題的關鍵，如何挖掘合外力呢？正交分解法是常用的方法，對物體進行受力分析后，以加速度方向為一坐標軸建立直角坐標系，進而分解不在坐標軸上的力，這是求解這類題的關鍵。

[例2]如圖4所示，質量為m的小木塊放在傾角為θ的斜面上，小木塊和斜面間的動摩擦因數為μ。如沿水平方向加一個力F，使小木塊沿斜面向上以加速度a做勻加速直線運動，則F大小是多少？

審題后，我們知道本題中小木塊的加速度沿斜面向上。以加速度方向即沿斜面向上的方向為x軸正方向建立直角坐標系，然后將力沿平行于斜面和垂直于斜面兩個方向分解，分別利用兩個方向的合力與加速度的關系列出方程，即可求解。

受力分析：物體受4個力作用（如圖5所示），它們是推力F、重力mg、彈力FN、摩擦力Ff。

建立坐標：建立如圖5所示的直角坐標系，并按直角方向分解F和mg;

建立如下兩個方程并求解：

本題若以“橫平豎直”來建立直角坐標，則需要分解傾斜向上的加速度，雖可求解本題，但高中物理一般情況下不要求分解加速度，以免增加解題的難度。

三、解決圓周運動的動力學問題時，選過圓心的直線為一個坐標軸建立直角坐標系

求解圓周運動的動力學問題，挖掘向心力至關重要。向心力是做圓周運動的物體指向圓心的合外力，在向心力作用下物體的速度方向不斷改變，其大小與線速度、角速度、周期和頻率等存在一定的關系。如何挖掘向心力呢？在分析物體受力情況后，如果用正交分解法對力進行分解，則應選過圓心的直線為一個坐標軸，建立直角坐標系。

[例3]如圖6所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線的夾角[θ=30°]，一條長為l的繩，一端固定在圓錐體的頂點O，另一端系一個質量為m的小球（可視為質點），小球以速率v繞圓錐體的軸線在水平面內做勻速圓周運動。試分析討論v從零開始逐漸增大的過程中，球受圓錐面的支持力及擺角的變化情況。

審題后，我們發現本題由于小球剛好對錐面沒有壓力時，小球受重力和繩子的拉力，由于小球受兩力作用做圓周運動，可用平行四邊形定則來合成兩個力，求得指向圓周運動圓心的合力，即為小球的向心力。當然也可以用正交分解法建立一軸過小球做圓周運動的圓心的直角坐標分解拉力，從而獲得指向圓心的合力，即向心力，設此時小球的速率為v0，則有[F向=mgtan 30°=mv20lsin30°]，解得[v0=36gl]，這是小球剛好對錐面沒有壓力時的臨界速度。

當[v

由表達式可知，小球速度越大，支持力越小。

聯立上面兩式求解可知，速度越大，繩與軸線夾角φ越大，拉力也越大。

四、若物體所受各力垂直，有時也可按正交分解法分解加速度

當物體受到的各個力相互垂直且加速度不在受力方向上時，如果以加速度的方向為一個軸建立直角坐標系，那么分解的力會較多，這樣比較煩瑣。此時，我們可以根據物體的受力情況，讓盡可能多的力位于直角坐標系的兩個軸上，少分解力，轉而分解加速度，從而達到化繁為簡和快速求解的目的。

[例3]如圖9所示，一超市的斜坡電梯與水平面的夾角為30°，現要測試電梯性能，讓其以一個較小的恒定加速度a向上運動，電梯站有一人，若他對梯面壓力是其重力，則人與梯面間的摩擦力是其重力的多少倍？

對人進行受力分析后可知，重力mg、支持力FN、摩擦為Ff，這三個力相互垂直（如圖10所示），剛好可以落在直角坐標的兩個軸上。我們可以考慮分解加速度而不分解力，建立如圖11所示的直角坐標系，選Ff的方向為x軸正方向，分解加速度a，可得[ax=acos 30°]，[ay=asin 30°]。

建立方程并求解，由牛頓第二定律有：

綜上所述，方法是解決問題的鑰匙，在解決力學問題時，靈活而得法地建立直角坐標系是分析處理作用力的關鍵。在教學過程中，既要培養學生的思維能力，也要培養學生解決問題的能力。

（責任編輯 易志毅）