與切線有關的計算與證明探析

雷英托

[摘 要]近幾年，全國各省市中考題中，與切線有關的計算與證明多有呈現.文章結合典型例題，從四個方面對與切線有關的計算與證明問題進行探析，以夯實學生的基本知識與技能，進一步發展學生的空間觀念和邏輯推理能力.

[關鍵詞]切線;證明;計算

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）14-0034-02

新課標要求學生探索并掌握相交線、平行線、三角形、四邊形和圓的基本性質與判定，掌握基本的證明方法和基本的作圖技能.在研究圖形性質和運動、確定物體位置等過程中，進一步發展學生的空間觀念;體會通過合情推理探索數學結論，運用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數學活動中，發展合情推理與演繹推理的能力.“圓的切線”是“圓”這一部分知識的重要內容，其綜合了以前學過的眾多幾何知識，在計算與證明的過程中可進一步發展學生的空間觀念與邏輯推理能力.與切線有關的計算與證明主要包括求線段的長、求角度、求三角函數值、判定四邊形形狀等.下面對相關類型進行探析.

一、求線段的長

求線段的長，一般有以下三條途徑：一是通過勾股定理求直角三角形的邊長;二是通過三角形相似，利用對應邊成比例求邊長;三是利用特殊角的三角函數值求直角三角形的邊長.而直角三角形可通過已知、直徑或切線得到.

評注：圖形中存在直角三角形，利用勾股定理求線段的長，圖形中還有兩組平行線，可兩次使用平行線分線段成比例定理求線段的長，這些都是求線段長的方法與手段.

二、求角度

求角的大小，可以考慮以下思路：一是通過三角形全等、等弧或同弧得到等角;二是通過三角形內角和等于180°;三是通過三角函數求得特殊三角形的內角度數，而圓的切線為我們提供了直角.

評注：本題求第一個角度時，主要利用了“直徑所對的圓周角是直角”，求第二個角度時，主要利用了圓的切線垂直于經過切點的半徑，它們都是圓中常見的垂直關系.

三、求銳角三角函數值

銳角三角函數是在直角三角形中定義的，所以求銳角三角函數值時，可以通過作垂線構造直角三角形，也可以通過等角將所求的角轉化到直角三角形中，然后利用邊與邊的比得到銳角三角函數值，而圓的切線恰給我們提供了直角.

評注：通過平行線將直角轉移，從而證得圓切線，是證明圓切線常用的方法;本題在求線段PE長時，兩次運用三角形相似，利用中間量將CP的長進行轉化，這是此題較難的地方.

四、判定四邊形的形狀

在圓中判定四邊形的形狀，常表現為條件開放型試題，分析時應假定它是某一特殊四邊形，推出應具備的條件，綜合時再從這個條件出發寫出推理過程.

評注：OD所在的直線既是圓O的對稱軸，也是半圓[ACB]的對稱軸，本題在判定兩個四邊形的形狀時，多次使用了這種對稱性，使證明過程簡化了許多;另一方面遇到圓切線，需要將圓心與切點連接.

總之，與切線有關的計算與證明問題，一方面考查學生基本的知識與技能，另一方面也考查了學生的抽象能力與推理能力等，近幾年，各省市中考題中都有所呈現，應引起關注.

（責任編輯 陳 昕）